６.對數學起重要作用的物理學的公理化。
１９３３年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方麵取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。
７.某些數的超越性的證明。
需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那麼αβ一定是超越數或至少是無理數（例如，２槡２、ｅπ）。蘇聯的蓋爾封特（Ｇｅｌｆｏｎｄ）於１９２９年、德國的施奈德（Ｓｅｉｄｅｒ）及西格爾（Ｓｉｅｇｅｌ）於１９３５年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。
８.素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。
素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）猜想、哥德巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決。其中，哥德巴赫猜想的最佳結果屬中國數學家陳景潤，華人數學家張益唐於２０１３年在孿生素數猜想領域做出了突破性的貢獻。
９.一般互反律在任意數域中的證明。
證明在１９２１年由日本的高木貞治，１９２７年由德國的阿廷（Ｅ。Ａｒｔｉｎ）各自給以基本解決，而類域理論至今還在發展之中。
１０.能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解。
求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖（約２１０—２９０，古希臘數學家）方程可解。１９５０年前後，美國數學家戴維斯（Ｄａｖｉｓ）、普特南（Ｐｕｔｎａｎ）、羅賓遜（Ｒｏｂｉｎｓｏｎ）等取得關鍵性突破。１９７０年，巴克爾（Ｂａｋｅｒ）、費羅斯（Ｐｈｉｌｏｓ）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。１９７０年，蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一係列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯係。
１１.一般代數數域內的二次型論。
德國數學家哈塞（Ｈａｓｓｅ）、西格爾（Ｓｉｅｇｅｌ）在２０世紀２０年代獲重要結果。６０年代，法國數學家魏依（Ａ。Ｗｅｉｌ）取得了新進展。
１２.類域的構成問題。
將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。
１３.一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。１７４２年６月３０日，歐拉在給哥德巴赫的回信中，明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由於歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以後，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力於證明哥德巴赫猜想。可是直到１９世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。
６.對數學起重要作用的物理學的公理化。
１９３３年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方麵取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。
７.某些數的超越性的證明。
需證：如果α是代數數，β是無理數的代數數，那麼αβ一定是超越數或至少是無理數（例如，２槡２、ｅπ）。蘇聯的蓋爾封特（Ｇｅｌｆｏｎｄ）於１９２９年、德國的施奈德（Ｓｅｉｄｅｒ）及西格爾（Ｓｉｅｇｅｌ）於１９３５年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。
８.素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。
素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）猜想、哥德巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決。其中，哥德巴赫猜想的最佳結果屬中國數學家陳景潤，華人數學家張益唐於２０１３年在孿生素數猜想領域做出了突破性的貢獻。
９.一般互反律在任意數域中的證明。
證明在１９２１年由日本的高木貞治，１９２７年由德國的阿廷（Ｅ。Ａｒｔｉｎ）各自給以基本解決，而類域理論至今還在發展之中。
１０.能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解。
求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖（約２１０—２９０，古希臘數學家）方程可解。１９５０年前後，美國數學家戴維斯（Ｄａｖｉｓ）、普特南（Ｐｕｔｎａｎ）、羅賓遜（Ｒｏｂｉｎｓｏｎ）等取得關鍵性突破。１９７０年，巴克爾（Ｂａｋｅｒ）、費羅斯（Ｐｈｉｌｏｓ）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。１９７０年，蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一係列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯係。
１１.一般代數數域內的二次型論。
德國數學家哈塞（Ｈａｓｓｅ）、西格爾（Ｓｉｅｇｅｌ）在２０世紀２０年代獲重要結果。６０年代，法國數學家魏依（Ａ。Ｗｅｉｌ）取得了新進展。
１２.類域的構成問題。
將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。
１３.一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。１７４２年６月３０日，歐拉在給哥德巴赫的回信中，明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由於歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以後，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力於證明哥德巴赫猜想。可是直到１９世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。