回到比較嚴肅的話題上來。在咀嚼了德布羅意的思想後，薛定諤決定把它用到原子體係的描述中去。我們都已經知道，原子中電子的能量不是連續的，它由原子的分立譜線而充分地證實。為了描述這一現象，玻爾強加了一個“分立能級”的假設，海森堡則運用他那龐大的矩陣，經過複雜的運算後導出了這一結果。現在輪到薛定諤了，他說，不用那麼複雜，也不用引入外部的假設，隻要把我們的電子看成德布羅意波，用一個波動方程去表示它，那就行了。
薛定諤一開始想從建立在相對論基礎上的德布羅意方程出發，將其推廣到束縛粒子中去。為此他得出了一個方程，不過不太令人滿意，因為沒有考慮到電子自旋的情況。當時自旋剛剛發現不久，薛定諤還對其一知半解。於是，他回過頭來，從經典力學的哈密頓-雅可比方程出發，利用變分法和德布羅意公式，最後求出了一個非相對論的波動方程，用希臘字母ψ來代表波的函數，最終形式是這樣的：
這便是名震整部20世紀物理史的薛定諤波動方程。當然對於一般的讀者來說並沒有必要去探討數學上的詳細意義，我們隻要知道一些符號的含義就可以了。三角△叫做“拉普拉斯算符”，代表了某種微分運算。h是我們熟知的普朗克常數。E是體係總能量，V是勢能，在原子裏也就是 。在邊界條件確定的情況下求解這個方程，我們可以算出E的解來。
如果我們求解方程sin(x)＝0，答案將會是一組數值，x可以是0，π，2π,或者是nπ。sin(x)的函數是連續的，但方程的解卻是不連續的，依賴於整數n。同樣，我們求解薛定諤方程中的E，也將得到一組分立的答案，其中包含了量子化的特征：整數n。我們的解精確地吻合於實驗，原子的神秘光譜不再為矩陣力學所專美，它同樣可以從波動方程中被自然地推導出來。
現在，我們能夠非常形象地理解為什麼電子隻能在某些特定的能級上運行了。電子有著一個內在的波動頻率，我們想象一下吉他上一根弦的情況：當它被撥動時，它便振動起來。但因為吉他弦的兩頭是固定的，所以它隻能形成整數個波節。如果一個波長是20厘米，那麼弦的長度顯然隻能是20厘米、40厘米、60厘米……而不可以是50厘米。因為那就包含了半個波，從而和它被固定的兩頭互相矛盾。假如我們的弦形成了某種圓形的軌道，就像電子軌道那樣，那麼這種“軌道”的大小顯然也隻能是某些特定值。如果一個波長20厘米，軌道的周長也就隻能是20厘米的整數倍，不然就無法頭尾互相銜接了。
從數學上來說，這個函數叫做“本征函數”（Eigenfun），求出的分立的解叫做“本征值”（Eigenvalue）。所以薛定諤的論文叫做《量子化是本征值問題》，從1926年1月起到6月，他一連發了四篇以此為題的論文，從而徹底地建立了另一種全新的力學體係——波動力學。後來有人聲稱，薛定諤的這些論文“包含了大部分的物理學和全部化學”。在這四篇論文中間，他還寫了一篇《從微觀力學到宏觀力學的連續過渡》的論文，證明古老的經典力學隻是新生的波動力學的一種特殊表現，它完全地被包容在波動力學內部。
薛定諤的方程一出台，幾乎全世界的物理學家都為之歡呼。普朗克稱其為“劃時代的工作”，愛因斯坦說：“……您的想法源自於真正的天才。”“您的量子方程已經邁出了決定性的一步。”埃侖費斯特說：“我為您的理論和其帶來的全新觀念所著迷。在過去的兩個禮拜裏，我們的小組每天都要在黑板前花上幾個小時，試圖從一切角度去理解它。”薛定諤的方程通俗形象，簡明易懂，當人們從矩陣那陌生的迷宮裏抬起頭來，再次看到自己熟悉的以微分方程所表達的係統時，他們都像聞到了故鄉泥土的芬芳，有一種熱淚盈眶的衝動。但是，這種新體係顯然也已經引起了矩陣方麵的注意，哥廷根和哥本哈根的那些人，特別是海森堡本人，顯然對這種“通俗”的解釋是不滿意的。
海森堡在寫給泡利的信中說：
“我越是思考薛定諤理論的物理意義，就越感到厭惡。薛定諤對於他那理論的形象化的描述是毫無意義的，換一種說法，那純粹是一個Mist。”Mist這個德文，基本上相當於英語裏的bullshit或者crap。
薛定諤也毫不客氣，在論文中他說：
“我的理論是從德布羅意那裏獲得靈感的……我不知道它和海森堡有任何繼承上的關係。我當然知道海森堡的理論，它是一種缺乏形象化的，極為困難的超級代數方法。我即使不完全排斥這種理論，至少也對此感到沮喪。”
矩陣力學，還是波動力學？全新的量子論誕生不到一年，很快已經麵臨內戰。
回顧一下量子論在發展過程中所經曆的兩條迥異的道路是饒有趣味的。第一種辦法的思路是直接從觀測到的原子譜線出發，引入矩陣的數學工具，用這種奇異的方塊去建立起整個新力學的大廈來。它強調觀測到的分立性，跳躍性，同時又堅持以數學為唯一導向，不為日常生活的直觀經驗所迷惑。但是，如果追究根本的話，它所強調的光譜線及其非連續性的一麵，始終可以看到微粒勢力那隱約的身影。這個理論的核心人物自然是海森堡，波恩，約爾當，而他們背後的精神力量，那位幕後的“教皇”，則無疑是哥本哈根的那位偉大的尼爾斯·玻爾。這些關係密切的科學家們集中資源和火力，組成一個堅強的戰鬥集體，在短時間內取得突破，從而建立起矩陣力學這一壯觀的堡壘來。
而沿著另一條道路前進的人們在組織上顯然鬆散許多。大致說來，這是以德布羅意的理論為切入點，以薛定諤為主將的一個派別。而在波動力學的創建過程中起到關鍵的指導作用的愛因斯坦，則是他們背後的精神領袖。但是這個理論的政治觀點也是很明確的：它強調電子作為波的連續性一麵，以波動方程來描述它的行為。它熱情地擁抱直觀的解釋，試圖恢複經典力學那種形象化的優良傳統，有一種強烈的複古傾向，但革命情緒不如對手那樣高漲。打個不太恰當的比方，矩陣方麵提倡徹底的激進的改革，摒棄舊理論的直觀性，以數學為唯一基礎，是革命的左派。而波動方麵相對保守，它強調繼承性和古典觀念，重視理論的形象化和物理意義，是革命的右派。這兩派的大戰將交織在之後量子論發展的每一步中，從而為人類的整個自然哲學帶來極為深遠的影響。