我再舉一個學習圓周率的例子。圓周率是幾何學中的一個重要概念，它在計算與圓有關的數據時起著非常重要的作用。一般來講，我們的數學教師往往把教學的重點放在如何通過圓的切割及組合來計算圓周率上，最後會得出一個靠近3左右的近似值。在我看來，學習圓周率最重要的不是計算的問題，而是如何計算，且為什麼必須這樣計算的問題。如果我們要把學生帶入深度的學習之中，至少我們應引導學生討論一下幾個問題。第一，首先不是計算圓周率的問題，而是有沒有圓周率的問題，換句話說，怎麼證明所有圓的周長除以它的直徑得出的“值”是一個不變的常數？第二個問題是，實際上，我們可以通過實際測量來直接計算圓周率，隻要這個圓足夠大，我們的計算的誤差就會足夠小。可是，為什麼數學家們偏偏要通過圓內接正多邊形的辦法來計算圓周率呢？割圓術的原理與實際測量的方法到底有什麼根本區別？這個區別具有什麼意義？第三個問題是，在當時沒有現代數學三角函數定理的背景下，他們是怎樣通過割圓術來計算圓周率的？他們使用的計算工具是什麼（引出勾股定理和算籌）？第五個問題是，如果古人確實采納了割圓術，那麼，後人是可以在前人的基礎上不斷計算下去的，但為什圓周率的計算並沒有連續地進行下去，而是經常中斷，甚至最後隻留下了結果，而看不到計算過程？第六個問題，圓內接正多邊形每增加一倍，圓周率的數值就會被“更新”一次，它是變大了還是變小了呢？第七個問題，如果使用計算機來計算圓周率，應該如何設計這個程序？當然，我上麵提到的這些問題，隻是就圓周率本身而展開的，並不一定適用於所有年級。但是，我們至少可以從中挑選一些問題作為引導學生思考討論的線索。這些問題，不是可有可無的，它們構成了圓周率問題的整個知識基礎，不了解這個基礎，就不會達到深度的學習的目標。如果我們要想進一步強化學生對圓周率問題的研究興趣，我們甚至還可以給學生介紹“英國威爾特郡的麥田怪圈”。
據香港《大公報》報道，這個麥田圈在2008年6月較早前在英國威爾特郡一個鐵器時代的山上城堡巴伯裏堡(Barbury Castle)出現，起初發燒友和專家都覺得這個四十五米寬的圖案深不可測，但曾在密蘇裏州立大學任教的天體物理學家裏德日前宣布破解了它的意思。他對該麥田圈的照片作出分析後發覺它是圓周率π頭十個數字的圖案呈現。圓心外麵，一個個的圓形大多隻劃到一截曲線，直徑便中途拉長，而若把整個圈平分為十分，那些曲線所占的"十分之一"的數量可以象征3.141592654的十個數字；接近圓心的圓點相當於小數點。他說：“我昨天注意到巴伯裏城堡外形的一張照片。它顯然是代表圓周率--圓圈的周長和直徑之比--小數點後10位數的編碼圖片。第10個數字甚至於被適當地舍入。中心附近的小圓點其實就是圓周率的小數點。密碼是根據十個成角片斷編成的，而放射狀擴散則代表每個片斷。”科學家認為這是英國有史以來最複雜的麥田圈。
我再舉一個學習圓周率的例子。圓周率是幾何學中的一個重要概念，它在計算與圓有關的數據時起著非常重要的作用。一般來講，我們的數學教師往往把教學的重點放在如何通過圓的切割及組合來計算圓周率上，最後會得出一個靠近3左右的近似值。在我看來，學習圓周率最重要的不是計算的問題，而是如何計算，且為什麼必須這樣計算的問題。如果我們要把學生帶入深度的學習之中，至少我們應引導學生討論一下幾個問題。第一，首先不是計算圓周率的問題，而是有沒有圓周率的問題，換句話說，怎麼證明所有圓的周長除以它的直徑得出的“值”是一個不變的常數？第二個問題是，實際上，我們可以通過實際測量來直接計算圓周率，隻要這個圓足夠大，我們的計算的誤差就會足夠小。可是，為什麼數學家們偏偏要通過圓內接正多邊形的辦法來計算圓周率呢？割圓術的原理與實際測量的方法到底有什麼根本區別？這個區別具有什麼意義？第三個問題是，在當時沒有現代數學三角函數定理的背景下，他們是怎樣通過割圓術來計算圓周率的？他們使用的計算工具是什麼（引出勾股定理和算籌）？第五個問題是，如果古人確實采納了割圓術，那麼，後人是可以在前人的基礎上不斷計算下去的，但為什圓周率的計算並沒有連續地進行下去，而是經常中斷，甚至最後隻留下了結果，而看不到計算過程？第六個問題，圓內接正多邊形每增加一倍，圓周率的數值就會被“更新”一次，它是變大了還是變小了呢？第七個問題，如果使用計算機來計算圓周率，應該如何設計這個程序？當然，我上麵提到的這些問題，隻是就圓周率本身而展開的，並不一定適用於所有年級。但是，我們至少可以從中挑選一些問題作為引導學生思考討論的線索。這些問題，不是可有可無的，它們構成了圓周率問題的整個知識基礎，不了解這個基礎，就不會達到深度的學習的目標。如果我們要想進一步強化學生對圓周率問題的研究興趣，我們甚至還可以給學生介紹“英國威爾特郡的麥田怪圈”。