最近，顧雲爍已經有不少同事在問，他為什麼突然關心起基礎數學來了？
這種事情，一般是在一個教授將近退休或者退休之後，才會開始考慮。
這時候他們沒有少年的雄心壯誌，沒有中年的精力旺盛。
隻想為數學學科添磚加瓦，想完善整個數學體係的教材，為數學事業盡自己最後一份力。
顧雲爍隻能說自己的研究達到了瓶頸，想試試基礎數學能不能給自己提供靈感？
嗯，別說是基礎數學了，等女朋友自學到初中教材，基礎物理，基礎生物，基礎化學自己都要研究一遍。
小學教材中，語文和英語，池千洛憑借自學，都能解決掉。
笨笨說了，這兩科隻要保持在九十分以上就行，但是數學，池千洛表示臣妾做不到呀。
離期末還有一個月的，池千洛已經學到小學四年級的課本了。
這時候的數學課本裏，出現的加法結合律和加法交換律。
a+b+c\u003d(a+c)+b
a+b+c\u003db+a+c
池千洛本著探究精神，問了一句為什麼？
顧雲爍沒有了脾氣，小學課本裏1+2＋3\u003d6，三個數無論怎麼調換位置都會得到6。
但是實際上，它的證明很複雜，對比小學生的頭腦來說很複雜。
“首先我們需要一個前置公理——皮亞諾公理，別問我為什麼，聽我說。
公理1：0是自然數。這個的作用就是給出了計數的起點。
公理2：任意的自然數n都有且僅有一個後繼數n\u0027，並且n\u0027也是自然數。這個作用是定義了自然數之後的下一個數。
公理3：0不是任何數的後繼數。意思是錨定了0作為自然數起點的地位，和下一公理聯合還有其他作用。
公理4：不相等的自然數其後繼數也不等。公理3加上公理4保證了計數時不會循環。
公理5；對於給定的集合S，如果0∈S且當a∈S時a的後繼數a\u0027∈S則S\u003dN。
這是規定了自然數的可以由0不斷取後繼數產生，換句話說這是自然數的定義。另一方麵，這個公理保證了數學歸納法的正確性。”
顧雲爍有時候認為女朋友是上天送來的磨人的，每天晚上的講解活動，自己的數學大廈構建的更加完美了。
“行，記住這五點，我再給你稍微解釋一下。”
池千洛這時候一般都會乖乖聽話，是讓自己的大腦跟上男朋友的思路。
“行，然後我們來講加法的定義。
如果a∈N，定義a+0\u003da。①
再定義a+n的意義，它被定義為a+(n+1)\u003d(a+n)\u0027 。②”
這個知識點池千洛之前已經學過了，也沒有問題。
“這兩點我們都知道了，就可以開始證明了。
先再次說明一下結合律的內容：對於任意的自然數a，b，c， (a+b)+c\u003da+(b+c)。
我們用數學歸納法。
先看c\u003d0的情況。
根據①
(a+b)+0\u003da+b❶ b+0\u003db
∴a+(b+0)\u003da+b❷
由❶❷，(a+b)+0\u003da+(b+0)
下麵再假設c\u003dn時成立即
(a+b)+n\u003da+(b+n)❸
根據②
(a+b)+(n+1)\u003d[(a+b)+n]\u0027
再用❸代換
(a+b)+(n+1)\u003d[(a+b)+n]\u0027\u003d[a+(b+n)]\u0027
再用一次②(將b+n看作n)
[a+(b+n)]\u0027\u003da+[(b+n)+1]
繼續用②(真的把n看作0再用①)
[a+(b+n)]\u0027\u003da+[(b+n)+1]\u003da+(b+n)\u0027
然後還是②(真的把n看作n)
[a+(b+n)]\u0027\u003da+(b+n)\u0027\u003da+[b+(n+1)]
聯係首尾就是
(a+b)+(n+1)\u003da+[b+(n+1)]
根據數學歸納法，加法結合律得證。”
求為愛發電～