“要多大有多大——大到不能再大；要多近有多近——近到不能再近；要多小有多小——小到不能再小............”這些話聽起來似乎怪怪的，似懂非懂似是而非神乎其神。似乎它們是鬼魂一樣的存在。數學家們似乎覺得這樣叫無窮小太土氣了，沒有一絲冠冕堂皇道貌岸然。喪失了數學一貫的“嚴密的思維邏輯”的內在。因此，有人把無窮小敘述為“對任意給定的實數ε＞0，都有相應的δ＞0，使當-δ＜x-a＜δ時都有-ε＜x-0＜ε則稱f（x）當x——﹥a時為無窮小量。”綜上可知，無窮小量不是一個數，是一個變量。它的終極可表現為0。不是數，卻可以寫作0，這似乎有些不講理，卻似乎又通情達理。說它是0，是因為它無限地接近於0，在計算的結果中可以被像0一樣舍去，而不會影響計算結果；說它不是0，是因為它首先連數都不是，盡管再小也不是0。就像貓再小也不能說它是老虎。其次，在計算過程中，它又不是0，不僅可以做分母，而且可以約分——約去分子分母中的無窮小因子。就這樣，無窮小是一個既是0又非0的存在。這種認識對於不懂微積分的人是無法理解的，然而，它是微積分的重要思想之一。這就是數學的魅力。下麵的例子充分地說明了無窮小的存在
烏龜每小時前行一米，兔子每小時前行10米。若烏龜在兔子前方10米的地方，他們同時向前方行走，那麼1小時、1+1/10小時、1+1/10+1/100小時、1+1/10+1/100+1/1000、............兔子與烏龜之間的距離對應是1米、1/10米、1/100米、1/1000米、............隨著時間的延長龜兔之間的距離越來越短趨近於零。那麼，它們之間的距離能否真正是零呢？回答是肯定的，否則兔子就追不上烏龜了。這是被實踐證明了的事實。但是，從下麵的分析我們卻可以得出相反的結論。請看第一小時兔子追上10米，這1小時烏龜又前行1米；兔子追上這1米，用了1/10小時，這1/10小時烏龜又前行1/10米；兔子追上這1/10米，用1/100小時，這1/100小時烏龜又前行1/100米............由此可知，兔子每追上1/10ⁿ路程，烏龜就向前爬1/10^n+1路程。盡管距離越來越小，但永不為零。即永遠追不上。這和事實是不符的。原因是我們不承認“無窮小是零。”倘若我們承認“無窮小是零”，就追上了。“無窮小和零”的關係是非常微妙的，它既是零又不是零。完全由我們根據具體情況而定。一般地在計算過程中它不是零，可以參與約分；在計算結果中可以是零——舍去。
零是什麼？——看得見摸不著的存在。就像影子一樣在你的身前身後形影不離。最先認識它的時候是小學一年級，僵死的記著：零表示一個物體也沒有。那時，零還不是自然數，但還是給了她一個名分——整數。在整數家族中，零的地位最低——零是最小的整數。在自然數的書寫中，零還有一個作用，就是表示數位。比如，十寫作10.個位上一個數也沒有，用“0”來頂位。有了它，前麵的非零數字才有意義。類似的100、1000等等。接觸了數軸得知，零還表示起點，在坐標係中，零也有相同的作用。在生活和科學研究中，零還有把矛盾的雙方分開，過渡緩衝的作用。比如，數軸的正數與負數之間；溫度計的零上與零下；海拔的海平麵上與下，都離不開“0”。似乎讓我們看到“0”具有豐富的內涵，包羅萬象氣象萬千，海市蜃樓般的魔幻。
曾幾何時，零終於被自然數家族所接納，成為自然數家族的一員。享受著自然數的地位和待遇。她雖然不產生於數物體，卻應用於自然數的計數與運算。發揮著自然數的作用。仿佛“零”是一個真實的存在，人們早忘記了她“表示一個物體也沒有”的真實內涵——它隻不過是一個虛幻的“傳說”。然而，人們卻瘋狂地迷戀她、追逐她，圍繞著她大做文章。湧現出“草木凋零”、“零打碎敲”、“七零八落”、“化整為零”等成語。誕生出“零和遊戲”、“零容忍”、“零添加”等新詞。
“零不能做除數”還是繞不開的話題。人們為什麼要對零做這個限製？這可能是因為“零”先天不足，或者其後天不守規矩。必須加以限製。否則其就會破壞數學家族的團結，造成數學家族的混亂。甚至造成數學大廈的崩塌。所以必須給“零”戴上嚼子，隻許規規矩矩不許亂說亂動。假如沒有這條限製，我們看看會有什麼後果。比如5÷0\u003d？假設等於0，根據乘法是除法的逆運算，可得0×0\u003d0≠5.因此，矛盾；假設結果是自然數8，即5÷0\u003d8.同樣可得8×0\u003d0≠5.即任何非0自然數除以0得不到結果。再看0÷0\u003d？我們很自然地想到0÷0\u003d0.這完全符合0×0\u003d0.但是我們發現6×0\u003d0；9×0\u003d0............即0除以0商可以是任何數。因為任何數乘零都得零，所以0÷0的商可以是任何自然數，即0÷0的商有無數個。這不符合數學運算結果必須是確定的規定。我們無法給出0÷0的商到底是0還是6或是9............綜上，如果零做除數就會有①沒有商。即在現實的自然數中還找不到一個數和“零”相乘等於一個“非零”數。②有無數個商。即，任何一個自然數都可以。這種“人皆可夫”在數學界是不可以的、不被允許的。所以，零不能做除數。