關於黑洞熱力學，一個裏程碑式的進展是關於黑洞的貝肯斯坦熵的發現，即黑洞熵正比於其視界麵的麵積
S\u003dA4GNS\u003d\\frac{A}{4G_{N}}
這是經典下的黑洞熵，考慮半經典的情況，會出現bulk時空中量子場的糾纏熵修正，整體是一個廣義熵
Sgen\u003dA4GN+SmatterS_{gen}\u003d\\frac{A}{4G_{N}}+S_{matter}
通常，廣義熵中的這兩項都是發散的，但是物質場糾纏熵的發散可以和麵積部分的牛頓常數的發散相互抵消，最終廣義熵是一個UV finite的量。
同時描述加速膨脹宇宙的de-Sitter時空，也和黑洞具有十分類似的結構，它也具有事件視界，同時也可以給這個事件視界定義溫度和熵之類的熱力學變量。
關於de-Sitter宇宙和黑洞的相似性，可以見筆者的回答
普遍理論認為，宇宙大爆炸的模型是從奇點開始，那麼與黑洞模型是否有相似之處？80 讚同 · 15 評論回答
這方麵的研究一個自然的問題是是否存在一個更加清晰的闡述，能夠說明為什麼物質場的熵是發散的，而廣義熵則是有限的，當然這個問題從重整化的角度有一些說明，然而最近Witten和Penington等人，通過代數的角度，給了這個問題一個更加清晰而深刻的理解。簡單介紹一下這方麵的進展，打算分為三部分介紹，首先在本文中做一些基礎的鋪墊，介紹一下馮諾依曼代數的構造及分類。
關於更為基礎的代數量子場論的知識，（例如什麼是對於一個代數cyclic 和seperating的態），請見本專欄的內容
代數量子場論簡單介紹 zhuanlan.zhihu.com 2020-12-20 12:30 Reeh-Schlieder定理： 考慮一個時空中的場 \\phi(x^{\\mu}) ,可以以此定義 \\phi_{f}\u003d\\int d^{D}x f(x,t) \\phi(x,t) 將這些算符作用於真空態上會形成希爾伯特空間 |\\Psi_{f}\\rangle\u003d\\phi_{f_{1}} \\phi_{f_{2}}....\\phi_{f_{n}}|\\Omega\\rangle 通常要求這些算符是定義在整個流形M上產生的態才是稠密（dense）的。 而 Reeh-Schlieder是說即使把這些算符 \\phi 的支集限製在一個很小的區域U中，也可 以產生同樣的希爾伯特空間，也是稠密的。即 \\phi_{x_{1}} \\phi_{x_{2}}....\\phi_{x_{n}}|\\Omega\\rangle, x_{1}.....x_{n} \\in U 證明稠密的意思則是我們無法找到一個態 |\\chi\\rangle 和其正交，除非這個 |\\chi\\rangle 是一個null state。 定義函數 \\langle \\chi |\\phi(x_{1})\\phi(x_{2}).....\\phi(x_{n})|\\Omega\\rangle ，沿著一 個類時的方向做變換 x_{n} \\to x_{n}+ut ，得到函數 g(u)\u003d\\langle \\chi|\\phi(x_{1})\\phi(x_{2})....exp(iHu)\\phi(x_{n})|\\Omega\\rangle 我們利用了 H|\\Omega \\rangle\u003d0 . 我們先考慮u很小，以至於這個變換仍然在U內，所以g(u)\u003d0 因為H正定，g(u)在u的複平麵的上半平麵是一個解析的函數。因此g(u)可以做 泰勒展開，並且隻要存在一段上它是0,這個泰勒展開就是嚴格為0的，因此保證了 g(u)在任何u的值的時候都是0. 所以函數 \\langle \\chi |\\phi(x_{1})\\phi(x_{2}).....\\phi(x_{n}+ut)|\\Omega\\rangle\u003d0 對 於任意的u都恒成立。，然後可以繼續進行這個操作，因為流形M上的任何一點， 都可以通過U上的點和類時的矢量往未來或者過去演化得到（想象zigzag的形 狀）。然後對於x1,x2都重複xn的操作，所以雖然開始限製了x點的取值在u內，但 其實根據上麵的敘述，這個限製是可以去掉的。這就是Reeh-Schlieder定理的證 明。 Reeh-Schilieder定理有一個簡單的推論： 考慮兩個類空的區域U，V，如果b算符在V內，假設 b\\Omega\u003d0 ，那麼再考慮U內的算符a。 我們有[a,b]\u003d0 b(a\\Omega)\u003dab\\Omega\u003d0 因為 a\\Omega 是稠密的，所以b\u003d0。 這樣如果本身 beq0 ，那麼就存在矛 盾。所以假設不對，因此得到 b\\Omega eq 0 . a和b的角色是對稱的，所以也能推得 a\\Omega eq 0 . 這個推論下給出兩個定義，對於U區域，有一個算子代數 \\mathcal{A}_{U} ,然 後 如果 a \\Omega, a \\in \\mathcal{A}_{U} 是稠密的，那麼我們說 |\\Omega\\rangle這個態對於算子代數是cyclic的。 對於不等於0的 a \\in \\mathcal{A}_{U} ,如果 a|\\Omega\\rangle eq 0 .就說 這個態對於算子代數是separating的 Reeh-Schlieder定理和它的推論給出了真空態是一個cyclic separating的矢 量。 Tomita Takasaki 理論和Modular Hamiltonian： 定義馮諾伊曼代數 \\mathcal{A} 和它的互補 \\mathcal{A}\u0027 起點是Tomita算子，即一個反線性的算符 S_{\\Omega}: \\mathcal{H} \\to \\mathcal{H} S_{\\Omega}O |\\Omega\\rangle\u003dO^{\\dagger}|\\Omega\\rangle S_{\\Omega} 是一個態依賴的算子，並且需要依賴於真空態的cyclicseparating的性質。通過定義易得 S^{2}\u003d1 , S|\\Omega\\rangle\u003d|\\Omega\\rangle ，同時定義 S^{\\dagger} 定 義在代數 \\mathcal{A}\u0027 上。 如果S是可逆的，那麼就有如下唯一的分解 S\u003dJ\\Delta^{1/2} , \\Delta 是modular算子， J 是一個反幺正的算符叫做 modular conjugation。 \\Delta \u003dS^{\\dagger}S ,著名的modular Hamiltonian就是通過這個算子得出 的， \\Delta\u003de^{-K} . 真空態算符在這些作用下都是不變的 J|\\Omega\\rangle\u003d\\Delta|\\Omega\\rangle\u003d|\\Omega\\rangle Tomita-Takasaki理論的核心是說,馮諾伊曼代數按照modular變換不變： \\Delta^{it} \\mathcal{A}\\Delta^{-it}\u003d\\mathcal{A} 同時modular conjugation誘導出這樣一個變化 JAJ\u003dA\u0027 Tomita-takasaki理論是能夠推導relative entropy的單調性的一種很直接的方 法，因此也就能夠比較直觀的證明糾纏熵的強次可加性。同時，這種通過J對於算符 的構造，比如 O\u0027\u003dJOJ 還可以應用到構造黑洞內部的算符的過程中。 最後看一下最簡單的情況下Modular Hamiltonian怎麼寫，通常來說， Modular Hamiltonian作為非局域算符是非常難以計算的。 在Rindler時空下，在假設希爾伯特空間可以factorize的時候， \\mathcal{H}\u003d\\mathcal{H}_{L} \\otimes \\mathcal{H}_{R} modular算符 \\Delta\u003d\\rho_{r} \\otimes \\rho_{l}^{-1} 因為態可以通過歐式路徑積分來表達，這時在做了歐式轉動之後，密度矩陣元 由boost算子給出 所以 \\Delta_{\\Omega}\u003dexp(-2\\pi K_{r})exp(2\\pi K_{l})\u003dexp(-2\\pi K