()一批產品共有個正品和個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出後不再放6102回,則第二次抽出的是次品的概率為.
.選擇題.
2()在事件A,B,C中,A和B至少有一個發生而C不發生的事件可表示為().
1()ACBC()ABCA∪B()ABCABCABC()ABCC∪∪D∪∪()在電爐上安裝了個溫控器,其顯示溫度的誤差是隨機的.在使用過程中,隻要有24兩個溫控器顯示的溫度不低於臨界溫度t,電爐就斷電,以E表示事件“電爐斷電”,而0
T()T()T()T()為個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值,則事件E為1≤2≤3≤44().
(){T()t}(){T()t}A1≥0B2≥0(){T()t}(){T()t}C3≥0D4≥0()設當事件A與B同時發生時,事件C必發生,則().
3()P(C)P(A)+P(B)-()P(C)P(A)+P(B)-A≤1B≥1()P(C)=P(AB)()P(C)=P(AB)CD∪()對於二事件A與B,與AB=B不等價的是().
4∪()AB()BA()AB=()AB=A?B?CD()設A,B是個隨機事件,且P(A),P(B),P(B|A)=P(B|A),520018則必有().
()P(A|B)=P(AB)()P(A|B)P(A|B)AB≠()P(AB)=P(A)P(B)()P(AB)P(A)P(B)CD≠()設A,B,C是個相互獨立的隨機事件,且P(C),P(A),則在下列6300給定的對事件中不相互獨立的是().
4()AB與C()AC與C()A-B與C()AB與CA∪BCD.從,,,…,等個數字中任意選出個不同的數字,試求下列事件的概率:30129103A={個數字中不含和};A={個數字中不含或};13052305A={個數字中含但不含}.
3305.隨機地向半圓yax-x2(a為正常數)內擲一點,點落在半圓內任何區40<<2域的概率與區域的麵積成正比,試求原點和該點的連線與x軸的夾角小於π的概率.
4.設位乘客在樓的底層進入電梯,樓上有層.電梯在每一層都停,乘客從第二層569起下電梯.假設每位乘客在樓上各層下電梯的概率是相同的.求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層下電梯的概率.
.袋中有黑、白球各一個,一次次地從袋中摸球,每次摸球後不把此球放回,而是放回6
一隻白球.求第n次摸球時摸到白球的概率.
.假設有箱同種零件:第一箱內裝件,其中件是一等品;第二箱內裝件,其72501030中件是一等品,現從兩箱中隨意挑出一箱,然後從該箱中先後隨機取兩個零件(取出的18零件均不放回).試求:()先取出的零件是一等品的概率p;1
()在先取出的零件是一等品的條件下,第二次取出的零件仍然是一等品的條件概2
率q.
λi.設一昆蟲產i個卵的概率為-λ(i=,,…),而每個卵能孵化為成蟲的概率為8i!e01p,且各卵的孵化是相互獨立的,試求這昆蟲的下一代有k隻的概率.
19第二章隨機變量及其分布基本要求.理解隨機變量的概念,了解分布函數的概念和性質,會計算與隨機變量相聯係的事1
件的概率.
.理解離散型隨機變量及其分布律的概念,掌握(-)分布、二項分布和泊鬆201()分布.
Poisson.理解連續型隨機變量及其密度函數的概念,掌握正態分布和均勻分布,了解指數分3
布.
.會根據自變量的概率分布求簡單隨機變量函數的概率分布.
4.重點:隨機變量的概念和性質,離散型隨機變量及其分布律,連續型隨機變量及其5
概率密度,掌握重要的分布,隨機變量函數的分布.
難點:離散型隨機變量及其分布律的計算,連續型隨機變量及其概率密度的計算,正態分布的概念和計算,隨機變量函數的分布.
內容提要隨機變量及其分布隨機變量:設隨機試驗E的樣本空間為Ω,若對每個ωΩ,都有唯一的實數X(ω)∈
與之對應,則稱X=X(ω)為隨機變量.按取值不同,分為離散型、連續型和混合型三種隨20機變量.
分布函數及其性質:隨機變量X的取值不大於實數x的概率稱為X的分布函數,記為F(x)=P(Xx).
≤分布函數F(x)有以下性質:性質P(xXx)=F(x)-F(x);11<≤221性質F(x)是x的不減函數,即若xx,則有21<2F(x)F(x);1≤2性質F(x),F(-)=F(x)=,x-30≤≤1∞lim→∞0F(+)=F(x)=;x+∞lim→∞1性質F(x)在任一點右連續,即F(x+)=F(x).
40離散型隨機變量及其分布律:若隨機變量X隻取有限個或可列無限多個不同可能值,則稱X為離散型隨機變量.X取其各個可能值xi(i=,,…)的概率P(X=xi)=12pi(i=,,…),稱為離散型隨機變量X的分布律,也稱分布列,其中pi,i=,,…,12≥012∞
pi=.
i=11
∑常見的離散型隨機變量有:(-)分布:記為X~(-),分布律是0101k-kP(X=k)=p(-p)1,k=,,p.
1010<<1二項分布:記作X~B(n,p),分布律是kkn-kP(X=k)=np(-p),k=,,,…,n,p.
C10120<<1泊鬆分布:記作X~π(λ),分布律是λkP(X=k)=-λ,k=,,,…,λ.
k!e012>0而當n充分大,且p相對很小時,有k
kkn-kλ-λnp(-p),其中λ=np.
C1≈k!e幾何分布:記為X~G(p),分布律是k-P(X=k)=p(-p)1,k=,,…,p.
1120<<1連續型隨機變量及其概率密度:如果對於隨機變量X的分布函數F(x),存在非負函x
數f(x),使對於任意實數x,有F(x)=f(t)t,則稱X為連續型隨機變量,函數-
∞df(x)稱為X的概率密度函數,簡稱概率密度∫.
概率密度具有以下性質:性質f(x),-x+;1≥0∞<<∞+
∞性質f(x)x=;2-d1∫∞21x
2性質P(xXx)=f(x)x,(xx);12x123<≤1d<性質若f(x)在點x處連續∫,則F''''(x)=f(x).
4常見的連續型隨機變量有:均勻分布:記為X~U[a,b],概率密度為ì
?1,axb,f(x)=íb-a≤≤?
?,其他.
0指數分布:記為X~E(λ),概率密度為λ-λx,x,f(x)=e>0λ.
{,x,>00≤0正態分布:記為X~N(μ,σ2),概率密度為(x-)μ2-σf(x)=122,-x+,其中σ.
σe∞02π當μ=,σ=時,X~N(,),稱為標準正態分布,概率密度為0101x
-2φ(x)=12.
e2π標準正態分布的分布函數記作Φ(x),有表可查,且具有性質:Φ(-x)=-Φ(x).
1一般正態分布X~N(μ,σ2)的分布函數F(x)與標準正態分布的分布函數Φ(x)有關係x-μF(x)=Φ().
σ隨機變量函數的分布若X為離散型隨機變量,其分布律為Xxx…xi…12k…i…pp1p2p則Y=g(X)也是離散型隨機變量,其分布律為Y(x)(x)…(xi)…g1g2gk…i…pp1p2pg(xi)有相同的值時要合並為一項,對應的概率相加.
若X為連續型隨機變量,概率密度是fX(x),則Y=g(X)的概率密度有兩種方法可求:定理法:當y=g(x)為一嚴格單調函數,其反函數x=h(y)有連續導數,則Y=22g(X)是連續型隨機變量,其概率密度為fX[h(y)]·|h''''(y)|,αyβ,fY(y)=<<{,其他.
0其中,α={g(-),g(+)},β={g(-),g(+)}.
min∞∞max∞∞分布函數法:先求Y=g(X)的分布函數FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y},≤≤然後求fY(y)=dFY(y).
yd
答疑輔導問.隨機變量與普通函數之間的關係?
?21答隨機變量是定義在隨機試驗的樣本空間Ω上,對試驗的每一個可能結果ωΩ,∈
都有唯一的實數X(ω)與之對應.從定義可知,普通函數的取值是按一定法則給定的,而隨機變量的取值是由統計規律性給出的,具有隨機性;又普通函數的定義域是一個區間,而隨機變量的定義域是樣本空間.
問.如何理解分布函數F(x)的連續性?
?22答定義左連續或右連續隻是一種習慣.有的教材定義分布函數F(x)左連續,但大多數教材定義分布函數F(x)為右連續.左連續與右連續的區別在於計算F(x)時,X=x點的概率是否計算在內.對於連續型隨機變量,由於P{X=x}=,故定義左連續或右10連續沒有什麼區別;對於離散型隨機變量,由於P{X=x},則定義左連續或右連續1≠0時F(x)值就不相同,這時,就要注意對F(x)定義左連續還是右連續.
問.不同的隨機變量,它們的分布函數是否一定不同?
?23答不一定.例如,擲一枚均勻的硬幣,可以令,正麵朝上,,反麵朝上,X=1X=11{-,反麵朝上;2{-,正麵朝上.
11顯然,X與X是兩個不同的隨機變量,因為它們有不同的對應法則,但它們的分布12函數是相同的,即?ì,x-,0<1?
F(x)=í1,-x,?1≤<1?2?,x.
1≥1典型例題例袋中有個白球和個紅球,每次從中任取一個,直到取得白球為止,有兩種取17323法:()取到的紅球均放回;1
()取到的紅球均不再放回.
2分別求取球次數X的分布律.
解()將每次取球看成是一次試驗,A表示事件“從袋中任取一個球為白球”,則1
P(A)=7,並且可認為試驗隻有兩個可能結果:A和A.
10從袋中有放回地摸球就是重複獨立試驗.由於X可能的取值為,,…,n,…,而事件12{X=k}表示“在k次試驗中,前k-次A不發生,第k次A發生”,故1
k-k-P(X=k)=(-7)1·7=(3)1·7,k=,,…,n,….
11210101010()X可能的取值為,,,.
21234由於X取值,當且僅當第一次取球就取到一個白球,故得1
P(X=)=7,1
10而X取值k(k),當且僅當進行k次無放回取球,前k-次取得紅球,第k次取2≤≤41得白球,因此k-2
[(-i)]·i=37()0PX=k=∏k-.
1(-j)j=10∏0於是得到X的分布律為X
1234P77711030120120例(.)設隨機變量X的分布函數為21991Ⅳì,若x-,?01?
解因為P(X=x)=P(Xx)-P(Xx)=F(x)-F(x-),0≤0<0000所以,隻有在F(x)的不連續點(x=-,,)處P(X=x)不為零,且113P(X=-)=F(-)-F(--)=.-=.,111004004P(X=)=F()-F(-)=.-.=.,111008040424P(X=)=F()-F(-)=-.=..
333010802故X的概率分布為X-113P(X=x)...
040402例設在隻同類型的零件中,有隻是次品,現每次不放回地取一隻零件,共取3152次,求取出的隻零件中所含次品的個數X的分布律.
33解X可能的取值為,,.
012當X=時,取出的隻零件都是合格品,故03P(X=)=13·12·11=22;0
15141335當X=時,取出的隻零件中有一隻是次品,該次品可能在第一次、第二次或第三次13被取出,故P(X=)=P{次,正,正}+P{正,次,正}+P{正,正,次}1
=2·13·12+13·2·12+13·12·2=12;15141315141315141335當X=時,取出的隻零件中有兩隻是次品,這兩隻次品可能在第一、第二次,第二、23第三次或第一、第三次被取出,故P(X=)=P{次,次,正}+P{正,次,次}+P{次,正,次}2
=2·1·13+13·2·1+2·13·1=1.
15141315141315141335於是得到X的分布律為X
012P22121353535例投擲兩顆均勻的骰子,設X為兩顆骰子中所出現的點數的最大者,求X的分4
布律及事件“最少有一顆骰子出現的點數大於”的概率.
4解X可能的取值是,,,,,.
123456設Ai表示事件“第一顆骰子出現i點”(i=,,,,,),Bj表示事件“第二顆骰子123456出現j點”(j=,,,,,),則Ai和Bj是相互獨立的,且123456P(Ai)=1,i,P(Bj)=1,j.
1≤≤61≤≤666由於{X=}=AB,所以111P(X=)=P(AB)=P(A)P(B)=1=1;111112636同理P(X=k)=P(AiBk)+P(AkBj)+P(AkBk)ikjk1∑≤<1∑≤<25=P(Ai)P(Bk)+P(Ak)P(Bj)+P(Ak)P(Bk)ikjk1∑≤<1∑≤