且B,B,B,B互不相容,=Ω,由全概率公式得0123i=∪0i-i3333-i969P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=CCC=..
i=i=(3)20089∑0∑0C15例考慮一元二次方程x2+Bx+C=,其中B,C分別是將一枚骰子接連兩次160先後出現的點數,求該方程有實根的概率p和有重根的概率q.
分析B,C是均可取,,,,,值,而且取每個值的概率均為1.
1234566
方程x2+Bx+C=有實根的條件是B2C,即0≥4p=P(B2C);≥4有重根的條件是B2=C,即q=P{B2=C}.
44基於基本事件總數為×=,因此求p,q的關鍵是判斷出滿足B2C和B2=6636≥4C的基本事件數.
4解
p=P{B2C}≥42
=P(B=,C=)+P(B=,(C=k))k=213∪146+P(B=,(C=k))+P(B=,(C=k))k=k=4∪15∪16
+P(B=,(C=k))k=6∪1=19,36q=P(B2=C)4
=P(B=,C=)+P(B=,C=)=1.
21441812例(.,)玻璃杯成箱出售,每箱隻,假設各箱含,,隻殘次品的概171988ⅣⅤ20012率相應為.,.和.,一顧客欲購買一箱玻璃杯,在購買時,售貨員隨意取一箱,而顧客080101隨機地驗看隻;若無殘次品,則買下該箱玻璃杯,否則退回.試求:4
()顧客買下該箱玻璃杯的概率α;1
()在顧客買下的一箱中,的確沒有殘次品的概率β;2
解設A表示事件“顧客買下所驗看的一箱”,Bi表示事件“箱中恰好有i件殘次品”(i=,,).
012由題設知P(B)=.,P(B)=.,P(B)=.;0081012014
P(A|B)=,P(A|B)=C19=4,0114C2054
P(A|B)=C18=12.
24C2019()由全概率公式得1
2α=P(A)=P(Bi)P(A|Bi)i=∑0=.×+.×4+.×12..
0810101≈094519()由貝葉斯公式得2
P(B)P(A|B).
β=P(B|A)=0008..
0P(A)≈.≈085094例將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去,接收站收到時,A被誤收作B的概率18為.,而B被誤收作A的概率為.,信息A與信息B傳送的頻繁程度為,若接0020012∶1收站收到的信息是A,問原發信息是A的概率是多少?
解設A表示事件“接收站收到的信息是A”,B表示事件“發出的信息是A”,B表12示事件“發出的信息是B”,則由題設可知P(B)=2,P(B)=1,1233P(A|B)=.,P(A|B)=.,10982001由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)1122=2×.+1×.=197.
09800133300根據貝葉斯公式得所求的概率為2×.
P(B)P(A|B)098P(B|A)=11=3=196=..
1P(A)0994919719730013例甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次,其命中率分別為.和..現已知目190605標被命中,則它是甲射中的概率為多少.
解用A表示事件“甲射中目標”,B表示事件“乙射中目標”,C表示事件“目標被命中”,則P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)∪
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=.+.-.×.=..
0506050608注意AAC,故P(AC)=P(A)=.,所求概率為?06P(AC)P(A).
P(A|C)===06=..
P(C)P(C).07508例(.,)設P(A),P(B),P(A|B)+P(AB)=,201994ⅣⅤ0<<10<<11則().
()事件和互不相容()事件和互相對立AABBAB()事件和互不獨立()事件和相互獨立CABDAB解由P(A|B)+P(A|B)=得1
P(A|B)=-P(A|B)=P(A|B),1
即P(AB)P(AB)P(A)-P(AB)==.
P(B)()-P(B)PB1於是P(AB)[-P(B)]=[P(A)-P(AB)]P(B).
1所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A和B相互獨立,故應選().
D例某工人看管三台機床,在一小時內這三台機床需要工人照看的概率分別是21.,.和.,又假定它們是否需要工人照看是互不影響的,求在一小時中:0908085()沒有一台機床需要照看的概率;1
()至少有一台機床不需要照看的概率;2
()至多有一台機床需要照看的概率.
3解設Ai表示事件“第i台機床在這一小時中需要照看”,i=,,,則P(A)=.
12310,P(A)=.,P(A)=.,且A,A,A是相互獨立的.
92083085123()沒有一台機床需要照看的概率為1
P(AAA)P(A)P(A)P(A)123=123=(-.)(-.)(-.)=.;10910810850003()至少有一台機床不需要照看的概率為2
P(AAA)=P(AAA)1∪2∪3123=-P(AAA)112314=-P(A)P(A)P(A)1123=-.×.×.=..
109080850388()設B表示事件“至多有一台機床需要照看”,則3
B=AAAAAAAAAAAA,123∪123∪123∪123由於上麵等式的右邊是四個互不相容的事件之並,所以由概率的有限可加性得P(B)P(AAA)P(AAA)P(AAA)P(AAA)=123+123+123+123P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)=123+123P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)P(A)+123+123=.×.×.+.×.×.
01020150902015+.×.×.+.×.×.
01080150102085=..
0059例要驗收一批(件)樂器.驗收方案如下:自該批樂器中隨機取件測試(設2210033件樂器的測試是相互獨立的),如果件中至少有一件在測試中被認為音色不純,則這批3
樂器就被拒絕接受.設一件音色不純的樂器經測試查出其為音色不純的概率為.;而一095件音色純的樂器經測試被誤認為不純的概率為..如果已知這件樂器中恰好有件0011004是音色不純的,試問這批樂器被接受的概率是多少?
解設A表示事件“這批樂器被接受”,Bi表示事件“隨機取出的件樂器中恰有i件3
3音色不純”,(i=,,,),則B,B,B,B互不相容,Bi=Ω,且0123i=0123∪0321123P(B)=C96,P(B)=C96C4,P(B)=C96C4,P(B)=C4.
03132333C100C100C100C100因為一件音色純的樂器,經測試被認為音色純的概率為.;而一件音色不純的樂099器,經測試被誤認為音色純的概率為.,並且件樂器的測試是相互獨立的,所以0053P(A|B)=(.)3,P(A|B)=(.)2×.,00991099005P(A|B)=(.)×(.)2,P(A|B)=(.)3.
20990053005由全概率公式得所求概率為3
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=.+.++=..
i=08574000550008629∑0例設每部機床在每一分鍾內需要修理的概率均為p(p).試求:230<<1()n部機床在同一分鍾內有k部機床需要修理的概率(kn);10≤≤()假定一位工人師傅負責n部這類機床的修理工作,且在同一分鍾內隻能修理一2
部,因此希望在同一分鍾內不止有一部機床需要修理的概率不能太大,比如說不超過%,這時一個工人最多能負責幾部機床?
1解把在某一分鍾內觀察某一部機床是否需要修理看成一次試驗,以A表示該機床需要修理,則P(A)=p(常數).同時觀察n部機床就相當於n次重複試驗,假定這些機床是否需要修理是相互獨立的,則得到一個n重貝努裏試驗概型,事件“在同一分鍾內有k15部機床需要修理”就是“在n重貝努裏試驗中A恰好發生k次”,將這一事件記為Bk,則得kkn-k()P(Bk)=np(-p),k=,,,…;1C1012()在同一分鍾內,不止有一部機床需要修理的概率為2
nnP(Bk)=P(Bk)=-P(B)-P(B)k01∪=k=122∑nn-=-(-p)-np(-p)1.
111現在要求在該概率不超過%的情況下,一個工人最多能負責多少部機床?
1nn-由-(-p)-np(-p)1.可得111≤001n-(-p)1(np+-p)..
11≥099n-所以對給定的p,滿足(-p)1(np+-p).的最大的自然數n,即是一個工11≥099人最多能負責的機床部數.
例有一批同類設備,各台的工作是相互獨立的,在一段時間內發生故障的概率24都是.,假定這段時間內一名維修工隻能修理一台.
001()現由一名維修工負責維修這類設備台,求設備發生故障時不能及時得到維修120的概率;()如果由三名維修工共同負責維修這類設備台,求設備發生故障時不能及時得280到維修的概率.
解()把考察每台設備是否需要維修看成一次試驗,A表示事件“該台設備需要維1
修”.考察台設備發生故障的情況,相當於次獨立重複試驗.“設備發生故障時不能及2020時得到維修”相當於“在次獨立重複試驗中,事件A至少發生次”.由於P(A)=.,202001故所求概率為20P(k)P()P()20=-20-20k=101∑2=-(.)20-×.×(.)19=..
109920001099001686()同理,有台設備時,可以看成次獨立重複試驗.在由名維修工共同負責其280803維修工作時,“設備發生故障不能及時得到維修”相當於“在次獨立重複試驗中,事件80至少發生次”(p=P(A)=.).故所求的概率為400180P(k)P()P()P()P()80=-80-80-80-80k=10123∑4=-(-p)80-1p(-p)7911C801-2p2(-p)78-3p3(-p)77C801C801=-.77[(.)3+.×(.)2109909908099+.×.+.]0316099008216=..
000866例甲、乙二人投籃,投中的概率分別為.和..現各投次,試求:2506073()二人投中次數相等的概率;1
16()甲比乙投中次數多的概率.
2解設Ak表示事件“甲在次投籃中投中了k次”(k=,,,),Br表示事件“乙在30123次投籃中投中了r次”(r=,,,),則30123kk-kP(Ak)=(.)(-.)3,k=,,,,C3061060123rr-rP(Br)=(.)(-.)3,r=,,,,C3071070123且Ak與Br互相獨立(k,r=,,,).
0123()所求概率為1
333P(AkBk)=P(AkBk)=P(Ak)P(Bk)k
∪=k=k=0∑0∑03
kk-kkk-k(.)(.)3(.)(.)3..
=33=k=C0604C070303210
()所求概率為∑2
P(ABABABABABAB)10∪20∪21∪30∪31∪32=P(AB)+P(AB)+P(AB)102021P(AB)P(AB)P(AB)+30+31+32=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)102021P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)+30+31+32=1×.×.2×0×.0×.3C30604C307031
rr-r2.2.[..3]+3×××3××C0604r=C0703∑02
rr-r3.3.0[..3]+3×××3××C0604r=C0703∑0=..
0243例(,)隨機事件A與B相互獨立,A與C相互獨立,262018ⅠBC=,P(A)=P(B)=1,P(ACABC)=1,?∪24則P(C)=.
P((AC)(ABC))P((ABC)(AC))解P(ACABC)=∩∪=∪∪P(ABC)P(AB)+P(C)-P(ABC)∪
P(AC)==P(AB)+P(C)-P(ABC)P(A)P(C)P(A)P(B)+P(C)-P()?
1P(C)=2=1,1+P(C)44
17所以P(C)=1.
4目標測試題.填空題.
1()某人在打電話時忘記了電話號碼的最後三個數字,隻記得這三個數字兩兩不同,1
於是他隨意撥最後三個數字(兩兩不同),則此人一次撥號就撥對了所要的電話號碼的概率是.
()設A,B為隨機事件,P(A)=.,P(A-B)=.,則P(AB)=.
20703()已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=,P(AC)=P(BC)=1,則事件A,3046B,C全不發生的概率為.
()將C,C,E,E,I,N,S等個字母隨機地排成一行,那麼恰好排成英文單詞47的概率為.
SCIENCE()假設一批產品中一、二、三等品各占%,%,%,從中任意取出一件,結果不5603010是三等品,則取到的是一等品的概率為.