(+x2)∞<<∞π13
求隨機變量Y=-X的概率密度fY(y).
1解先求出Y的分布函數FY(y).
3對任意實數y,FY(y)=P(Yy)=P(-Xy)≤1≤+
∞x=P(X(-y)3)=d()≥1-y3(+x2)∫1π1=1[π-(-y)3].
arctan1π233顯然,FY(y)是(-,+)上的連續函數,且有連續的一階導數,所以Y是連續型隨機∞∞變量,其概率密度為(-y)2fY(y)=dFy(y)=31,-y+.
y+(-y)6∞<<∞dπ11例(.)設隨機變量X,Y相互獨立,且X的概率分布為P{X=}=P{X192017Ⅰ0=}=1,Y的概率密度為2
2y,y,f(y)=20<<1{,其他.
0()求P{YE(Y)};1≤()求Z=X+Y的概率密度.
22
1解()E(Y)=yyy=2,則P{YE(Y)}=P{Y2}=3yy=4.
12d≤≤2d03309()先求Z的分布函數∫FZ(z).∫2
FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)≤≤=P{X=}P{X+YzX=}+P{X=}P{X+YzX=}0≤02≤2=1P{Yz}+1P{Yz-}.
≤≤222當z,z-,即z時,則FZ(z)=;<02<01≥31zz2當z,FZ(z)=1P(Yz)=1yy=;0≤<1≤2d2202∫1當z,FZ(z)=1P(Y)=1yy=1;1≤<2≤12d2202z-∫2當z,FZ(z)=1+1P(Yz-)=1+1yy=1+1(z-)2;2≤<3≤22d22222022所以Z的概率密度∫?ìz,z?0≤<1fZ(z)=F''''Z(z)=íz-,z?22≤<3?,其他.
0例設隨機變量X服從參數為λ=的指數分布,即X具有概率密度202-x2,x,fX(x)=2e>0{,x.
0≤0,X,令Y=0≤2{,X.
1>2試求隨機變量Y的分布律.
34解Y可能的取值為,,因而是離散型隨機變量.因為012
P(Y=)=P(X)=fX(x)x-
0≤2∞d0∫2=fX(x)x+fX(x)x-
∞d0d∫2-x∫-=+2x=-4;002ed1e++∫∞∞-x-P(Y=)=P(X)=fX(x)x=2x=4.
1>22d22ede所以隨機變量Y的分布律為∫∫X
01--P-441ee例隨機變量X服從正態分布N(,σ2),求當σ取何值時,X落入區間(,)的概21013率最大.
解由於P{x}=Φ(3)-Φ(1)g(σ),令1<<3σσ?
1·91·1--σ-σg''''(σ)=-3Φ''''(3)+1Φ''''(1)=322+122σ2σσ2σσ2eσ2e2π2π14-σ-σ=122[]-2=,σ2e13e02π解得σ.又0=2ln3-1()-4-9σ-σ-σ″(σ)20202202,g0=124=24σ2eσ3eσ5e<02π002π0故σ=2時,P{x}達到最大.
1<<3ln3例(.)設隨機變量X的概率密度為222003Ⅲ?ì?1,x[,],f(x)=í3x2∈18?3?,其他.
0F(x)是X的分布函數,求隨機變量Y=F(X)的分布函數.
分析先求出分布函數F(x)的具體形式,從而可確定Y=F(X),然後按定義求Y的分布函數即可.注意應先確定Y=F(X)的值域範圍F(X),再對y分段討(0≤≤1)論.
解易見,當x時,F(x)=;當x時,F(x)=.對於x[,],有81∈1835x
F(x)=1t=3x-.
31t2d13
設G(y)是隨機變量Y=F(X)∫的分布函數.顯然,當y時,G(y)=;當y<00≥1時,G(y)=.對於y[,),有1∈01G(y)=P(Yy)=PF(X)y≤(≤)=P(3X-y)=PX(y+)31≤(≤1)=F[(y+)3]=y.
1於是,Y=F(X)的分布函數為?ì,y?0<0G(y)=íy,y,?0≤<1?,y.
1≥1目標測試題.填空題.
1()已知隨機變量X~B(,p),且P(X)=19,則p=.
13≥127()設隨機變量X的概率密度為2
ì?1,x[,],?∈01?3f(x)=í?2,x[,],?∈36?9?,其他.
0若k使得P(Xk)=2,則k的取值範圍是.
≥3
()設隨機變量X的分布函數為3
ì,x,?00?
?,xπ.
?1≥2
則A=,P(|X|π)=.
<6
()一實習生用同一台機器接連獨立地製造個同種零件,第i個零件是不合格品的43概率為pi=1(i=,,),以X表示個零件中合格品的個數,則P(X=)=i+123321
36.
()設隨機變量X服從(,)上的均勻分布,則隨機變量Y=X2在(,)上的概率密50204度fY(y)=.
.選擇題.
2()設離散型隨機變量X的分布律為1
P(X=k)=pqk,k=,,…,12則常數p,q滿足條件().
()p,p+q=()q,p+q=A>01B>01()p,q,p+q=()p,q,p=1-C>0>01D>0>0q1()設隨機變量X的分布函數為2
ì,x-,?01?
3()()().().
A0B1C02D08()設函數f(x)在區間[a,b]上等於x,而在此區間外等於.若f(x)可以作為3sin0某連續型隨機變量的概率密度,則區間[a,b]為().
()[,π]()[,]()[-π,]()[,3π]A0B0πC0D0222()設隨機變量X的概率密度為φ(x),且φ(-x)=φ(x),F(x)是X的分布函數,4
則對任意實數a,有().
aa()F(-a)=-φ(x)x()F(-a)=1-φ(x)xA1dBd020()F(-a)=F(a∫)()F(-a)=F(∫a)-CD21()設隨機變量X和Y都服從正態分布,X~N(μ,2),Y~N(μ,2);記p=P(X5451μ-),p=P(Yμ+),則().
≤42≥5()對任何實數μ,都有p=p()對任何實數μ,都有ppA12B12.一輛汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅3
或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立,且紅綠兩種信號顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數.求X的概率分布.
.一大樓裝有個同類型的供水設備,調查表明在任一時刻t每個設備被使用的概率45為..設X為同一時刻被使用的設備數,試求:01()X的分布律;1
37()同一時刻至少有個設備被使用的概率.
23.設隨機變量X的分布函數為5
x-2A+B2,x,F(x)=e≥0{,x.
0<0試求:()係數A和B;1
()隨機變量X的概率密度;2
()隨機變量X落在區間(,)內的概率.
3ln4ln9.假設一廠家生產的每台儀器,以概率.可直接出廠;以概率.需要進一步調6070030試,經調試後以概率.可以出廠,以概率.定為不合格產品不能出廠.現該廠生產了080020n(n)台儀器(設各台儀器的生產過程相互獨立).試求:≥2()全部能出廠的概率α;1
()其中恰好有兩件不能出廠的概率β;2
()其中至少有兩件不能出廠的概率θ.
3.公共汽車車門的高度,是按男子與車門碰頭的機會在.以下來設計的.設男子身7001高為X,且X~N(,2),問車門的高度應如何確定?
1687.盒子裏裝有白球和黑球各一個,從中任取一球,取到白球時隨機地在[,)上取數801X,取到黑球時隨機地在[,)上取數X,試求X的分布函數.
23-X.假設隨機變量X服從參數為的指數分布.證明:Y=-2在區間(,)上服從921e01均勻分布.
38第三章多維隨機變量及其分布基本要求.理解多維隨機變量的概念,了解二維隨機變量的聯合分布函數.
1.了解二維離散型隨機變量的聯合分布律的概念及其性質,理解二維連續型隨機變2
量的聯合概率密度函數的概念及其性質,並會利用這些性質計算事件的概率.
.理解二維隨機變量的邊緣分布,掌握二維離散型及連續型隨機變量的邊緣分布計3
算.
.理解隨機變量的獨立性概念,會運用隨機變量的獨立性計算事件的概率.
4.會求兩個獨立隨機變量簡單函數的分布(和、差、商、極大、極小).
5.了解二維均勻分布,了解二維正態分布的概率密度.
6.重點:二維連續型隨機變量及其分布(聯合分布、邊緣分布、條件分布),隨機變量的7
獨立性概念,由聯合分布求其函數的分布,計算概率P(X,Y)D.
(∈)難點:已知聯合概率密度函數,求聯合分布函數,求條件概率,求邊緣分布,求兩個獨立隨機變量簡單函數的分布.
39內容提要二維隨機變量及其分布函數二維隨機變量:設E是一個隨機試驗,X=X(ω),Y=Y(ω)是定義在樣本空間Ω上的兩個隨機變量,則向量(X,Y)稱為二維隨機變量或二維隨機向量.
二維隨機變量的分布函數:對於任意實數x,y,二元函數F(x,y)=P(Xx,Y≤≤y)稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數,或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數,它表示隨機變量X的取值不大於x且隨機變量Y的取值不大於y的概率.
分布函數F(x,y)有以下性質:性質F(x,y)分別對x和y單調不減,即對於任意固定的y,當xx時,F(x,12>12y)F(x,y);對於任意固定的x,當yy時,F(x,y)F(x,y);≥12>12≥1性質F(x,y),且20≤≤1對於任意固定的y,F(-,y)=F(x,y)=,x-∞lim→∞0對於任意固定的x,F(x,-)=F(x,y)=,y-∞lim→∞0F(-,-)=F(x,y)=,x-∞∞lim→∞0y-→∞F(+,+)=F(x,y)=;x+∞∞lim→∞1y+→∞性質F(x,y)關於x右連續,關於y也右連續,即3
F(x,y)=F(x+,y),F(x,y)=F(x,y+);00性質對任意點(x,y),(x,y),若xx,yy,則411221<21<2F(x,y)-F(x,y)-F(x,y)+F(x,y).
22211211≥0上式表示隨機點(X,Y)落在區域[xXx;yYy]內的概率P(xX1<≤21<≤21<≤x,yYy).
21<≤2二維離散型隨機變量及其分布律:如果二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)是有限對或無限多對,則(X,Y)為離散型隨機變量,而稱P(X=xi,Y=Yj)=pij,i,j=,,…為(X,Y)的分布律,或稱為隨機變量X和Y的聯合分布律.
12列成表格為:Y
yy…yj…X12x…j…1p11p12p1x…j…2p21p22p2………………xiii…ij…p1p2p………………40聯合分布律pij滿足∞∞pij,pij=.
≥0i=j=1∑1∑1二維離散型隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y)定義為F(x,y)=pij,xixyjy∑≤∑≤其中求和是對所有滿足xix,yjy的點(xi,yj)進行.
≤≤二維連續型隨機變量及其概率密度:如果對於二維隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y),存在非負可積函數f(x,y),使對於任意任何實數x,y,有yxF(x,y)=f(x,y)xy,--∞∞dd則稱(X,Y)為二維連續型隨機變量,∫f(x∫,y)稱為(X,Y)的概率密度,或稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度.
概率密度f(x,y)具有以下性質:性質f(x,y);1≥0++∞∞性質f(x,y)xy=F(+,+)=;--2∞∞dd∞∞1性質∫在任意平麵區域∫D上,(X,Y)落在D內的概率為3
P{(X,Y)D}=f(x,y)xy;∈Ddd性質在f(x,y)的連續點(x,y)處?,有4
2F(x,y)?=f(x,y).
xy??
二維隨機變量的邊緣分布:設(X,Y)為二維隨機變量,則分量X的概率分布為(X,Y)關於X的邊緣分布,分量Y的概率分布為(X,Y)關於Y的邊緣分布.其分布函數、概率密度和分布律分別記為FX(x),FY(y);fX(x),fY(y);P(X=xi),P(Y=yj).
對離散型隨機變量(X,Y),有∞
FX(x)=F(x,+)=pij,∞xixj=∑<∑1∞
FY(y)=F(+,y)=pij,∞i=yjy∑1∑<∞
P(X=xi)=pij,i=,,….也記為pi·,j=12∑1∞
P(Y=yj)=pij,j=,,….也記為p·j.
i=12∑1對連續型隨機變量(X,Y),有x+∞
FX(x)=f(x,y)xy,--dd∫∫∞∞41+y∞
FY(y)=f(x,y)xy,--∞∞dd++∞∫∫∞fX(x)=f(x,y)y,fY(y)=f(x,y)x.
--∞d∞d二維隨機變量的條件分布∫:設(X,Y)為二維離散型隨機變量∫,其聯合分布律和邊緣分布律分別為P(X=xi,Y=yj)=pij,P(X=xi)=pi·,P(Y=yj)=p·j,i,j=,,….
12當j固定,且P(Y=yj)時,稱>0P(X=xi,Y=yj)pijP(X=xi|Y=yj)==,i=,,…P(Y=yj)p·j12為Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.同理,pijP(Y=yj|X=xi)=,j=,,…pi·12為X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.
設(X,Y)為二維連續型隨機變量,其聯合概率密度和邊緣概率密度分別為f(x,y),fX(x),fY(y),則當fY(y)時,在f(x,y)和fY(y)的連續點處,(X,Y)在條件Y>0=y下,X的條件概率密度為f(x,y)fX|Y(x|y)=.
fY(y)同理,(X,Y)在條件X=x下,Y的條件概率密度為f(x,y)fY|X(y|x)=.
fX(x)隨機變量的獨立性:若(X,Y)是二維隨機變量,如果對任意的x,y,有P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy),≤≤≤≤即
F(x,y)=FX(x)FY(y),則稱隨機變量X與Y相互獨立.
當(X,Y)為離散型隨機變量時,如果對(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj),有P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj),即
pij=pi··p·j,i,j=,,…,12則稱隨機變量X與Y相互獨立.
當(X,Y)為連續型隨機變量時,如果對所有x,y,有f(x,y)=fX(x)fY(y),則稱隨機變量X與Y相互獨立.
42二維隨機變量的函數的分布設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),Z=g(X,Y)是X,Y的函數,則Z的分布函數為FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=f(x,y)xy.
dd≤≤D:g(x,y)z≤
Z=X+Y的分布:若(X,Y)為離散型隨機變量,分布律為?
P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=,,…,12則Z的分布律為P(Z=zk)=P(X=xi,Y=yj),xi+∑yj=zk其中的求和範圍是一切使xi+yj=zk的xi及yj的值.
特別地,若X與Y相互獨立,則有P(Z=zk)=P(X=xi)·P(Y=yj).
xi+∑yj=zk若(X,Y)為連續型隨機變量,概率密度為f(x,y),則Z的概率密度為++∞∞fZ(z)=f(x,z-x)x=f(z-y,y)y.
--∞d∞d特別地,若X與Y相互獨立∫,則有卷積公式∫+
∞fZ(z)=fX(x)fY(y)=fX(x)fY(z-x)x-
*∞d+
∞∫=fX(z-y)fY(y)y.
-∞dX∫Z=的分布:若(X,Y)為連續型隨機變量,概率密度為f(x,y),則Z的概率密度Y
為+
∞fZ(z)=|y|f(yz,y)y.
-∞d特別地,若X與Y相互獨立,則∫+
∞fZ(z)=|y|fX(yz)fY(y)y.
-∞dZ=max(X,Y)或Z=min(X∫,Y)的分布:設X與Y是兩個相互獨立的隨機變量,其分布函數分別為FX(x)和FY(y),則Z=(X,Y)的分布函數為maxF(z)FX(z)FY(z).
max=Z=(X,Y)的分布函數為minF(z)=-[-FX(z)][-FY(z)].
min11143答疑輔導問.如何理解F(x,-)=,F(-,y)=,F(-,-)=和F(+?31∞0∞0∞∞0,+)=?
∞∞1答隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y)=P(Xx,Yy)可看作(X,Y)落在≤≤無窮矩形區域{(X,Y)|Xx,Yy}內的概率.所以對二維隨機變量分布函數幾個重≤≤要取值F(x,-)=,F(-,y)=,F(-,-)=和F(+,+)=,有如∞0∞0∞∞0∞∞1下幾何意義:F(x,-)就是將矩形的上邊界無限向下移,則“落在無窮矩形內”趨於不可能事∞
件,概率趨於;0
F(-,y)就是將矩形的右邊界無限向左移,則“落在無窮矩形內”趨於不可能事∞
件,概率趨於;0
F(-,-)就是將矩形的右、上邊界無限向左、下移,則“落在無窮矩形內”趨於∞∞不可能事件,概率趨於;0
F(+,+)就是將矩形的擴大為全平麵,則“落在無窮矩形內”趨於必然事件,概∞∞率趨於.
1問.如何求二維離散型隨機變量的聯合分布列?
?32答求二維隨機變量(X,Y)的聯合分布列P(X=xi,Y=yj)=pij,j=,,…,一12般分為三個步驟:第一,確定(X,Y)的所有可能取值;第二,求pij,一般情況下pij=P(X=xi)·P(Y=yj|X=xi),若X,Y相互獨立,則pij=P(X=xi)·P(Y=Yj);第三,驗證所有概率之和是否為.
1問.如何求概率P{(X,Y)D}和二維隨機變量的分布函數?
?33∈答當(X,Y)是離散型隨機變量時,P{(X,Y)D}=pij.注意必須找出D∈(xi,yj)D∑∈內所有使得pij的點(xi,yj),不能有遺漏.
≠0當(X,Y)是連續型隨機變量時,P{(X,Y)D}=f(x,y)xy.注意必須正dd∈(x,y)D∈
確確定出二重積分積分限,特別是在區域D要分塊計算時?.
在求(X,Y)的分布函數時,對R2平麵上各個區域的概率都要正確求出,並按順序累加求得F(x,y).
問.如何求二維隨機變量函數的概率密度?
?34答設(X,Y)是連續型隨機變量,其聯合概率密度為f(x,y),則隨機變量Z=g(X,Y)(g是連續函數)的概率密度可按如下步驟求出:44()先求出Z的分布函數1
FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=(x,y)xy;dd≤≤g(x,y)z≤
()對FZ(z)求導,即得Z的概率密度fZ(z),即?
2fZ(z)=FZ''''(z).
問.二維隨機變量的邊緣分布與一維隨機變量分布有何聯係和區別?
?35答通常情況下,可以認為二維隨機變量的邊緣分布就是對應的一維隨機變量的分布,並且邊緣分布具有一維隨機變量分布的所有性質.如二維隨機變量(X,Y)服從N(,,σ2,σ2,),其關於X的邊緣分布為N(,σ2),關於Y的邊緣分布為μ1μ212ρμ11N(,σ2),它們都是一維的正態分布.
μ22但嚴格來說,兩者是有區別的.二維隨機變量的邊緣分布函數是定義在平麵上,而一維隨機變量的分布函數是定義在實數軸上.如二維隨機變量關於X的邊緣分布函數FX(x)=P(Xx,Y+),表示(X,Y)落在區域{(X,Y)|Xx,y任意}上的概≤<∞≤率;而一維隨機變量X的分布函數F(x)=P(Xx),表示落在區間(-,x]上的概率.
≤∞問.如何判別二維離散型隨機變量分量的獨立性?
?36答()設(X,Y)是隨機變量,則X與Y相互獨立的充要條件是對於任意的實數x,1
y,總有F(x,y)=FX(x)FY(y);()若(X,Y)是離散型隨機變量,則X與Y相互獨立的充要條件是對於(X,Y)的所2
有取值(xi,yj),都有P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)(i,j=,,…);12()若(X,Y)是連續型隨機變量,則X與Y相互獨立的充要條件是對於任意實數x,3
y,總有f(x,y)=fX(x)fY(y).
另外,可由隨機試驗的獨立性直接判斷兩隨機變量的獨立性.直觀上如果一個隨機變量的取值情況與另一個的取值情況毫無關係,互不影響,則一般認為它們相互獨立.而隨機變量的取值又與隨機試驗相對應,因而由隨機試驗的獨立性可判斷隨機變量的獨立性.
典型例題例(.)設二維隨機變量的概率分布為12005ⅢY
X01.a004b.
101已知隨機事件{X=}與{X+Y=}相互獨立,則().
01()a=.,b=.()a=.,b=.
A0203B0401()a=.,b=.()a=.,b=.
C0302D010445解由題意:隨機事件{X=}的概率P{X=}=.+a;隨機事件{X+Y=}的概率P{X+00041Y=}=a+b.由於1
P(X=)·P(X+Y=)=(.+a)(a+b),0104P(X=,X+Y=)=a,a+b=.,0105則有a=.,b=..所以選().
0401B例(.)設隨機變量X與Y相互獨立,且均服從區間[,]上的均勻分布,22006Ⅰ03則P(X,Y)=.
(max≤1)解P(X,Y)=P(X,Y)=P(X)P(Y)(max≤1)≤1≤1≤1≤1=1×1=1.
339+
∞例設g(x),且g(x)x=,有3≥00d1ì
∫?g(x2+y2)?2,x,y+,f(x,y)=íx2+y20<<∞?π?,其他.
0問f(x,y)是否可作為二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度?
解顯然f(x,y),又≥0++++∞∞∞∞g(x2+y2)f(x,y)xy=2xy--∞∞dd00x2+y2ddπ
∫∫∫∫π+∞g(r)=22θrrdrdπ00+
∫∞∫=g(r)r=,0d1即f(x,y)符合概率密度的性質,所以可以是二維連續型隨機變量∫(X,Y)的概率密度.
例隨機變量(X,Y)的分布函數為4
xyF(x,y)=A(B+)(C+).
arctanarctan23求:()係數A,B,C;()(X,Y)的概率密度;()邊緣概率密度.問隨機變量X與Y是否123獨立?
解()根據分布函數的性質,有1
F(+,+)=A(B+π)(C+π)=,∞∞122F(-,+)=A(B-π)(C+π)=,∞∞02246F(+,-)=A(B+π)(C-π)=,∞∞022解得A=1,B=π,C=π.
2π22()(X,Y)的概率密度為2
2F(x,y)f(x,y)=?
xy??
xy=1?(π+)·?(π+)2xarctanyarctanπ?22?23=6.
2(+x2)(+y2)π49()關於X和關於Y的邊緣概率密度分別為3
++∞∞fX(x)=f(x,y)y=61y-d2(+x2)-+y2d∫∞π4∫∞9=2,(+x2)π4++∞∞fY(y)=f(x,y)x=61x-d2(+y2)-+x2d∫∞π9∫∞4=3.
(+y2)π9易見f(x,y)=fX(x)fY(y),故X與Y相互獨立.
例隨機變量(X,Y)的概率密度為5
A(R-x2+y2),當x2+y2R2,f(x,y)=≤{,當x2+y2R2.
0>求:()係數A;1
()隨機變量(X,Y)落在區域x2+y2r2(rR)內的概率.
2≤<++∞∞解()=f(x,y)xy11--dd∫∫∞∞=A(R-x2+y2)xyddx+yR22≤2R
?2π=A(R-ρ)ρρθ=Aθ(Rρ-ρ2)ρddddρR00≤
?Rρ2ρ3R∫∫R3=A·-=A·π.
2π()2303由此得A=3.
R3π
()記x2+y2r2這一區域為D,則2≤47P{(X,Y)D}=f(x,y)xy∈dd?D=3(R-ρ)ρρθR3ddρr≤πr
?2π=3θ(Rρ-ρ2)ρR3ddπ00∫Rρ∫2ρ3rr2r=6π(-)=3(-2).
R3R21Rπ2303例設連續型隨機變量X,Y相互獨立且服從同一分布,試證:P{XY}=1.
6≤2
證由於X,Y相互獨立且服從同一分布,設X的概率密度和分布函數分別為f(x),F(x),則(X,Y)的概率密度為f(x)f(y).
P{XY}=f(x)f(y)xydd≤xy≤
+++∞∞?∞=[f(x)f(y)y]x=f(x)[-F(x)]x-x-∞dd∞1d+
+∞∫∞∫∫=[-F(x)]F(x)=[F(x)-1F2(x)]=1.
-∞1d-2∞2例∫(.)已知隨機變量X和X的概率分布71999Ⅳ12é-ùéùê101úê01úX~êú,X~êú,1ê111ú2ê11ú?ê?ú?ê?ú42422而且P(XX=)=.
1201()求X和X聯合分布;112()問X和X是否獨立?為什麼?
212解()由P(XX=)=,可見11201P(X=-,X=)=P(X=,X=)=.
112111210因此,X和X的聯合分布有如下結構:12X
1-X1012∑ppp101121312
p1102202
1111
∑424於是,由上表易見X和X的聯合分布為1248X
1-X1012∑1110044211100221111
∑424()由以上結果,可見2
P(X=,X=)=,10200P(X=)P(X=)=1.
1020≠04
於是,X與X互不獨立.
12例在箱子裏裝有隻開關,其中隻是次品,在其中隨機地取次,每次取一隻,81222考慮種試驗:2
()放回抽樣;()不放回抽樣.
12定義隨機變量X,Y如下:,若第一次取出的是正品,,若第二次取出的是正品,X=0Y=0{,若第一次取出的是次品;{,若第二次取出的是次品.
11試分別就兩種情況求條件分布律.
解()有放回抽樣.
1P(X=,Y=)=10·10=25,00121236P(X=,Y=)=10·2=5,01121236P(X=,Y=)=2·10=5,10121236P(X=,Y=)=2·2=1.
11121236故X與Y的聯合分布律如下:X
p·jY0125550
363665111
36366pi·516649根據離散型隨機變量條件概率公式P(X=xi|Y=yj)=pij\/p·j,P(X=|Y=)=p\/p·=25\/5=5,000003666P(X=|Y=)=p\/p·=5\/5=1,101003666P(X=|Y=)=p\/p·=5\/1=5,010113666P(X=|Y=)=p\/p·=1\/1=1.
111113666()不放回抽樣的情況.
2P(X=,Y=)=P(X=)P(Y=|X=)00000=10·9=15,121122P(X=,Y=)=P(X=)P(Y=|X=)01010=10·2=5,121133P(X=,Y=)=P(X=)P(Y=|X=)10101=2·10=5,121133P(X=,Y=)=P(X=)P(Y=|X=)11111=2·1=1.
121166故X與Y的聯合分布律如下:X
p·jY0115550
223365111
33666pi·5166P(X=|Y=)=p\/p·=15\/5=9,0000022611P(X=|Y=)=p\/p·=5\/5=2,1010033611P(X=|Y=)=p\/p·=5\/1=10,0101133611P(X=|Y=)=p\/p·=1\/1=1.
111116661150例隨機變量(X,Y)的概率密度為9
x,當x,yx,f(x,y)=30<<10<<{,其他.
0求:()(X,Y)的邊緣概率密度;1
()(X,Y)的條件概率密度,問X與Y是否獨立.
2ｙ解()如圖-所示,131+穴１，１雪∞
fX(x)=f(x,y)y-
∞d∫ìxｙ＝ｘｘ＝１?xy=x2,x,=í03d30<<1?
∫?,其他.
0Ｏ１ｘ+
∞fY(y)=f(x,y)x-
∞d圖３－１∫?ì1?xx=3(-y2),y,=íy3d10<<1?2∫?,其他.
0()當y時,20<<1?ìx3,yx,f(,y)?<<1x(2)fX|Y(x|y)==í3-yfY(y)?1?2?,其他0
?ìx?2,yx,=í-y2<<1?1?,其他.
0當x時,0<<1?ìx?ì(,)?3,yx,?1,yx,fxy2fY|X(y|x)==íx0<<=íx0< ?,其他?,其他. 00易見f(x,y)fX(x)fY(y),故X與Y互不獨立. ≠例若(X,Y)的概率密度為10-(x+y)2,當x,y,f(x,y)=2e>0>0{,其他. 0求:()關於X的邊緣分布函數;()P(X+Y);12<2()fX|Y(x|y);()P(X|Y). 34<2<1+ ∞解()fX(x)=f(x,y)y1-d∫∞51+ ì∞-(x+y)-x?2y=2,x,=í02ed2e>0? ∫?,x. 0≤0-xx-2,x,FX(x)=P(Xx)=fX(x)x=1e>0-d{,≤∞x. ∫0≤0()P(X+Y)=f(x,y)xy22dd 1e2e1e-y+ ∞,y,()fY(y)=f(x,y)x=e>03-d{,其他∞. 0當y時∫,>0-xf(x,y)2,x,fX|Y(x|y)==2e>0fY(y){,x. 0≤0P{X,Y}()P(X|Y)=<2<14<2<1P{Y}<121-(x+y)x2yd2ed=001 ∫∫fY(y)y0d2-x1-y∫2x·y2eded-=00=-4. 1-y1e∫∫y0ed例(.)設二維隨機變量∫(X,Y)的概率密度為112005Ⅰ,x,yx,f(x,y)=10<<10<<2{,其他. 0求:()(X,Y)的邊緣概率密度fX(x),fY(y);1 ()Z=X-Y的概率密度fZ(z). 22解()當x時,10<<1+x∞2fX(x)=f(x,y)y=y=x;- ∞d0d2當x或x時,fX(∫x)=,即∫≤0≥10x,x,fX(x)=20<<1{,其他. 052+ ∞1y當y時,fY(y)=f(x,y)x=yx=-;0<<2-dd1∞22當y或y時,fY∫(y)=,即∫≤0≥10?ìy?-,y,fY(y)=í10<<2?2?,其他. 0()當z時,FZ(z)=;2≤00當z時,0<<2z2FZ(z)=P(X-Yz)=f(x,y)xy=z-;2dd≤x-yz2≤4當z時,FZ(z)=.? ≥21所以ìz?-,x,fZ(z)=í10<<1?2?,其他. 0例已知二維隨機變量(X,Y)的分布律為12(X,Y)(,)(,)(,)(,)(,)(,)000110112021P(X=x,Y=y)...... 010015025020015015試求Z=X+Y的分布律. 解Z的可能取值為,,,. 0123注意到事件{Z=}等價於{X=,Y=},所以000P(Z=)=P(X=,Y=)=.;000010事件(Z=)等價於(X=,Y=)(X=,Y=),所以101∪10P{Z=}=P{X=,Y=}+P{X=,Y=}10110=.+.=.. 015025040依此類推,為了便於表達,列表如下:(X,Y)(,)(,)(,)(,)(,)(,)000110112021X+Y011223P(X=x,Y=y)...... 010015025020015015將相同值的對應概率合並後依次排列,得Z=X+Y的分布律為X+Y0123P.... 01004003501553例設二維隨機變量(X,Y)在矩形G={(x,y)|x,y}上服130≤≤20≤≤1從均勻分布,試求邊長為X和Y的矩形麵積S的概率密度f(s). 解二維隨機變量(X,Y)的概率密度為?ì?1,若(x,y)G,ｙψ(x,y)=í∈ｘｙ＝ｓ?2?,若(x,y)G. 0?１設F(s)=P(Ss)為S的分布函數,則ｘｙ＞ｓ≤ 當s時,F(s)=;≤00當s時,F(s)=.ｘｙ＜ｓ≥21現在,設s.如右圖-所示,曲線ｓｘ0 足xys. xys>221s? =-1xsy=(+-s). 1sdxd1ln2ln22故∫∫ì ?1(-s),若s,f(s)=íln2ln0<<2?2?,若s或s. 0≤0≥2例在(,a)線段上隨機投擲兩點,試求兩點間距離的分布函數. 140解設X,Y分別是所投兩點的坐標,則(X,Y)的概率密度為?ì?1,xa,ya,f(x,y)=ía20<<0< ?,其他. 0設Z=|X-Y|,則Z的分布函數FZ(z)=P(Zz)=P(|X-Y|z). ≤≤當z時,FZ(z)=;當za時,FZ(z)=;≤00≥1當za時,0< =f(x,y)xydd-zx-yz≤≤xa0< =1xy=1S. a2dda2-zx-yz≤≤xa0<<ＤＣ?yaａ0<<其中S為平麵區域OABCDE的麵積(圖-),即33ＢS=a2-·1(a-z)(a-z)=az-z2,ｚ＝ｙ－ｘ222 故Ｅｚ＝ｘ－ｙì,z,?00?≤ＯＡａｘ?az-z2FZ(z)=í2,za,?a20<<圖３－３? ?,za. 1≥例設隨機變量X與Y獨立,並且X在區間[,]內服從均勻分布1501,x,fX(x)=10≤≤1{,其他. 0Y在區間[,]服從辛普生分布02?ìy,y,?0≤≤1fY(y)=í-y,y,?21<≤2?,其他. 0求隨機變量Z=X+Y的概率密度. 解由卷積公式+ ∞fZ(z)=fX(x)fY(z-x)x,- ∞d其中∫?ìz-x,x,xz+x,?0≤≤1≤≤1fX(x)fY(z-x)=í-z+x,x,+xz+x,?20≤≤11<≤2?,其他. 0x,x,當且僅當0≤≤1或0≤≤1時,{xz+x{+xz+x≤≤11<≤2fX(x)fY(z-x)不恒為零. 參考圖-可得341 ()當z時,fZ(z)=x=;1<000d0∫z()當z時,fZ(z)=(z-x)x=1z2;20≤≤1d02()當z時,∫31<≤2z-11fZ(z)=(z-x)x+(-z+x)xz-d2d∫1∫055=-z2+z-3;3 2ｚ()當z時,42<≤3z-３ｚ＝２＋ｘ12fZ(z)=(-z+x)x+xz-22d00d∫∫ｚ＝１＋ｘ=1z2-z+9;２3 22()當z時,5>3１ｚ＝ｘ1 fZ(z)=x=. 00d0綜上所述,得到Z=X+Y∫的概率密度為Ｏ１ｘ?ì1z2,z,?0≤≤1圖３－４?2? ?-z2+z-3,z,fZ(z)=í31<≤2?2? 1z2-z+9,z,?32<≤3?22?,其他. 0例設隨機變量X,Y,Z具有聯合概率密度16- (+x+y+z)4,x,y,z,f(x,y,z)=61>0>0>0{,其他. 0試求U=X+Y+Z的概率密度. 解設U的分布函數為F(u),則當u時,F(u)=;當u時,有≤00>0F(u)=f(x,y,z)xyzdddx+y+zu≤ u?u-xu-x-y=xy6zdd(+x+y+z)4d0001∫-∫u∫2uu-x=2·+x2y(+u)3d(+x+y)3d12001u2∫u∫u=--+1x(+u)3(+u)2(+x)2d1101u∫u2=-1--. 1u+(+u)2(+u)3111上式關於u求導得U的概率密度為?ìu2?3,u,()4fU(u)=í+u>0?1?,u. 0≤0例假設隨機變量X服從指數分布,則隨機變量Y={X,}的分布函數17min256(). ()是連續函數()至少有兩個間斷點AB()是階梯函數()恰好有一個間斷點CD解設X,Y的分布函數分別是FX(x),FY(y),則FY(y)=P(Yy)=P(X,)y≤(min2≤)=-P(X,)y1(min2>)=-P(Xy)P(y). 1(>)(2>)當y時,P(y)=;當y時,P(y)=;≥22>001--λx,x,而FX(x)=1e>0{,x. 0≤0?ì,y,?0≤0-λy所以FY(y)=í-,y,?1e0<<2?,y. 1≥2從而FY(y)隻有一個間斷點,故應選D. 例假設一電路裝有個同種電氣元件,其工作狀態相互獨立,且無故障工作時183間都服從參數為λ的指數分布.當個元件都無故障時,電路正常工作;否則整個電路>03不能正常工作.試求電路正常工作的時間T的概率分布. 解以Xi(i=,,)表示第i個電氣元件無故障工作的時間,X,X,X相互獨立123123且同分布,其分布函數為--λx,若x,F(x)=1e>0{,若x. 0≤0設G(t)是T的分布函數.當t時,G(t)=;當t時,有≤00>0G(t)=P(Tt)=-P(Tt)≤1>=-P(X,Xt,Xt)11>12>3>=-P(Xt)P(Xt)P(Xt)11>2>3>-λt=-[-F(t)]3=-3,111e-λt-3,t,所以G(t)=1e>0{,t. 0≤0於是T服從參數為λ的指數分布. 3例一旅客到達火車站的時間X均勻分布在早上:至點,而火車在這段時197558間開出的時刻為Y,且Y具有密度函數?ì?2(-y),y,fY(y)=í50<≤5?25?,其他. 057()求旅客能乘上火車的概率;1 ()求Z=Y-X的概率密度. 2解()因為X均勻分布在區間[:,:]上,將:作為時間軸(單位:分)的1755800755起點,則在區間[,]上服從均勻分布,其密度函數為05ì ?1,x,fX(x)=í0≤≤5?5?,其他. 0由於X與Y之間互不影響,可認為X與Y相互獨立,於是得(X,Y)的聯合概率密度為?ì?2(-y),x,y,f(x,y)=í50≤≤50≤≤5?125?,其他. 0設A={旅客能乘上火車}={(X,Y):Y-X},所以0≤≤5y 5P(A)=f(x,y)xy=y2(-y)xddd5dA00125?5∫∫=2(y-y2)y=1. 5d01253()令Z=Y∫-X,當-z時,Z的概率密度為25<<05 fZ(z)=2(-z-x)x=1(-z2). -z5d25125125當z時,∫0≤<5-z5 fZ(z)=2(-z-x)x=1(-z)2. 5d50125125故Z的概率密度為∫?ì1(-z2),-z,?255<<0?125fZ(z)=í?1(-z)2,z,?50≤≤5?125?,其他. 058目標測試題.填空題. 1()設(X,Y)的分布律如下表,且Z=X+Y,則P(Z=)=. 11X -Y112-5261 2020203312 202020()設X與Y相互獨立,都服從[,]區間上的均勻分布,則P{XY}=. 202≤()設二維隨機向量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=3 x+y,x,y,0≤≤10≤≤1{,其他. 0則當y時,(X,Y)關於Y的邊緣概率密度fY(y)=. 0≤≤1.選擇題. 2()設兩個相互獨立的隨機變量X,Y分別服從正態分布N(,)和N(,),則10111(). ()P(X+Y)=1()P(X+Y)=1A≤0B≤122()P(X-Y)=1()P(X-Y)=1C≤0D≤122()設隨機變量X與Y相互獨立,其概率分布為2 m-m-1111()P(X=m)11PY=m112222則下列式子正確的是(). ()X=Y()P{X=Y}=AB0()P{X=Y}=1()P(X=Y)=CD12 é-ùê101ú()設隨機變量Xi~êú(i=,),且P(XX=)=,則P(X=X)3ê111ú12120112??ú424等於(). ()()1()1()A0BCD14259()設X,Y是相互獨立的兩個隨機變量,其分布函數分別為FX(x),FY(y),則Z=4 {X,Y}的分布函數為(). max()FZ(z)={FX(x),FY(y)}Amax()FZ(z)={|FX(x)|,|FY(y)|}Bmax()FZ(z)=FX(x)FY(y)C ()FZ(z)=FX(z)FY(z)D .甲、乙兩人獨立地各進行兩次射擊,假設甲的命中率為.,乙的命中率為.,以X30205和Y分別表示甲和乙的命中次數.試求X和Y的聯合概率分布. .一射手進行射擊,擊中目標的概率為p(p),射擊進行到擊中目標兩次為40<<1止.設X表示第一次擊中目標時已經進行的射擊次數,Y表示第二次擊中目標時總共進行的射擊次數,試求X和Y的聯合分布律及條件分布律. .設ξ,η是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知ξ的分布律為P(ξ=i)=5 1,i=,,,又設X={ξ,η},Y={ξ,η}.試寫出二維隨機變量(X,Y)的分布律. 123maxmin3 .若在區間(,a)內隨機取一點X,再在區間內(X,a)隨機取一點Y,求(X,Y)的概60率密度及Y的邊緣概率密度. .設隨機變量X與Y相互獨立,其概率密度分別為7 ,x,-y,y,fX(x)=10≤≤1fY(y)=e>0{,其他;{,y,00≤0求隨機變量Z=X+Y的概率密度. 2.設隨機變量X和Y聯合分布是正方形G={(x,y):x,y}上的81≤≤31≤≤3均勻分布,試求隨機變量U=|X-Y|的概率密度p(u). .設某班車起點站上客人數X服從參數λ(λ)的泊鬆分布.每位乘客在中途下車9>0的概率為p(p),且中途下車與否相互獨立,以Y表示在中途下車的人數,求:0<<1()在發車時有n個乘客的條件下,中途有m個下車的概率;1 ()二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律;2 ()求關於Y的邊緣分布律. 360第四章隨機變量的數字特征基本要求.理解隨機變量數學期望與方差的概念,掌握它們的性質與計算方法. 1.了解-分布、二項分布、泊鬆分布、正態分布、均勻分布和指數分布的數學期望201與方差. .會根據隨機變量X的概率分布求其函數g(X)的數學期望E[g(X)],會根據隨3 機變量X和Y的聯合概率分布求其函數g(X,Y)的數學期望E[g(X,Y)]. .了解矩、協方差、相關係數的概念及其性質,並會計算. 4.重點:期望、方差、協方差、相關係數的概念、計算和性質,常用分布的數字特征,利5 用性質計算隨機變量函數的期望. 難點:計算隨機變量函數的期望. 內容提要隨機變量的數字特征數學期望:設離散型隨機變量X的分布律為P(X=xk)=pk,k=,,…. 12∞∞如果級數xkpk絕對收斂,則稱級數的和E(X)=xkpk為X的數學期望(簡稱期望k=k=∑1∑161或均值). +∞ 設連續型隨機變量X的概率密度為f(x),如果積分xf(x)x絕對收斂,則稱積- ∞d分的值∫+ ∞E(X)=xf(x)x- ∞d為X的數學期望(簡稱期望或均值).∫隨機變量函數的數學期望:設離散型隨機變量X的分布律為P(X=xk)=pk,k=,1 ,…,則X的函數Y=g(X)的數學期望為2 ∞E[g(X)]=g(xk)pk. k=∑1式中級數是絕對收斂的. 設連續型隨機變量X的概率密度為f(x),則X的函數Y=g(X)的數學期望為+ ∞E[g(X)]=g(x)f(x)x. -∞d式中積分是絕對收斂的.∫數學期望的簡單性質:性質設C為常數,則E(C)=C;1 性質設X是隨機變量,k為常數,則有E(kX)=kE(X). 2方差:設X是一個隨機變量,則D(X)=E{[X-E(X)]2}稱為X的方差,D(X)=σ(X)稱為X的均方差或標準差. 若離散型隨機變量X的分布律為P(X=xk)=pk,k=,,…,則12∞ D(X)=[xk-E(X)]2pk,k=∑1若連續型隨機變量X的概率密度為f(x),則+ ∞D(X)=[x-E(X)]2f(x)x. -∞d隨機變量X的方差與數學期望有如下關係∫(計算方差的簡便公式):D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 方差的簡單性質:性質設C是常數,則D(C)=;10性質設X是隨機變量,k為常數,則有D(kX)=k2D(X). 2幾種常用分布的數學期望與方差:設X~(-)分布,則E(X)=p,D(X)=p(-p);011設X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(-p);1 設X~π(λ),則E(X)=λ,D(X)=λ;62a+b(b-a)2設X~U[a,b],則E(X)=,D(X)=;212設X~E(λ),則E(X)=1,D(X)=1;λλ2設X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2. 二維隨機變量的數字特征數學期望與方差:若二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律及邊緣分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij,i=,,…,j=,,…,1212P(X=xi)=pi·,i=,,…,12P(Y=yj)=p·j,j=,,…,12則 ∞∞∞E(X)=xipij=xipi·,i=j=i=∑1∑1∑1∞∞∞E(Y)=yjpij=yjp·j,i=j=j=∑1∑1∑1∞∞E[g(X,Y)]=g(xi,yj)pij. i=j=∑1∑1∞∞∞D(X)=[xi-E(X)]2pij=[xi-E(X)]2pi·,i=j=i=∑1∑1∑1∞∞∞D(Y)=[yj-E(Y)]2pij=[Y-E(Y)]2p·j. i=j=j=∑1∑1∑1若二維連續型隨機變量(X,Y)的概率密度及邊緣概率密度為f(x,y),fX(x)和fY(y),則+++∞∞∞E(X)=xf(x,y)xy=xfX(x)x,---∞∞dd∞d+++∫∫∞∞∫∞E(Y)=yf(x,y)xy=yfY(y)y,---∞∞dd∞d++∫∫∞∞∫E[g(X,Y)]=g(x,y)f(x,y)xy. --∞∞dd++∞∫∞∫D(X)=[x-E(X)]2f(x,y)xy--∞∞dd+ ∫∫∞=[x-E(X)]2fX(x)x;- ∞d++∫∞∞D(Y)=[y-E(Y)]2f(x,y)xy--∞∞dd+ ∫∫∞=[y-E(Y)]2fY(y)y. -∞d這裏,級數與積分都是絕對收斂的∫. 63數學期望與方差的性質:性質對任意兩個隨機變量X,Y,有1 E(X±Y)=E(X)±E(Y);對任意n個隨機變量X,X,…,Xn,有12E(XX…Xn)E(X)E(X)…E(Xn);1±2±±=1±2±±性質設X,Y是相互獨立的隨機變量,有2 E(XY)=E(X)E(Y);對任意n個相互獨立的隨機變量X,X,…,Xn,有12E(XX…Xn)E(X)E(X)…E(Xn);12=12性質對任意兩個隨機變量X,Y,有3 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±(X,Y);2Cov性質設X,Y是相互獨立的隨機變量,有4 D(X±Y)=D(X)+D(Y);對任意n個相互獨立的隨機變量X,X,…,Xn,有12D(XX…Xn)D(X)D(X)…D(Xn). 1±2±±=1+2++協方差與相關係數:隨機變量(X,Y)的協方差為(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. Cov協方差與數學期望有如下關係(計算協方差的簡便公式):(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). Cov隨機變量(X,Y)的相關係數為(X,Y)ρXY=Cov. D(X)D(Y)協方差與相關係數的性質:性質(X,Y)=(Y,X);1CovCov性質(aX+b,aY+b)=aa(X,Y),其中a,a,b,b為常數;2Cov112212Cov1212性質(X±X,Y)=(X,Y)±(X,Y);3Cov12Cov1Cov2性質|(X,Y)|D(X)D(Y);4Cov≤性質;|ρXY|5≤1性質存在常數,,使{},即與以概率線性|ρXY|=abPY=aX+b=XY61?11相關;性質若與相互獨立,則,即與不相關;反之,不一定成立不過當XYρXY=XY. 70(X,Y)是二維正態隨機變量時,X與Y不相關和X與Y相互獨立是等價的. 矩的概念:設X為隨機變量,則k μk=E(X),k=,,…12稱為X的k階原點矩.數學期望是一階原點矩. 64k vk=E{[X-E(X)]},k=,,,…234稱為X的k階中心矩.方差是二階中心矩. E(XkYl)(k,l=,,…)稱為X和Y的k+l階混合原點矩. 12E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}(k,l=,,…)稱為X和Y的k+l階混合中心矩. 12協方差(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩. Cov答疑輔導問.隨機變量的數字特征在概率論中有什麼意義? ?41答要全麵掌握一個隨機變量的統計規律性,必須了解這個隨機變量的分布函數.但是,在實際問題中要求得一個隨機變量的分布函數是有困難的,而且也往往是不必要的. 通常,我們隻需要了解某幾個能夠表征隨機變量的數量指標就可以了,這就是概率論中的隨機變量的數字持征.一來,隨機變量的數字特征比較簡單易求(在實際問題中可以通過樣本進行估計);二來,已經足夠滿足解決實際問題的需要,並且刻畫了隨機變量的某些特征.隨機變量的數字特征在概率論與數理統計中有著廣泛的應用. 問.不相關與相互獨立的關係. ?42答若隨機變量和的相關係數,稱和不相關;當(,)XYρXY=XYPXxYy0≤≤=P(Xx)P(Yy)時,稱X和Y相互獨立. ≤≤當X和Y相互獨立時,E(XY)=E(X)E(Y),故(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=,Cov0所以有()()()EXY-EXEY,ρXY==D(X)D(Y)0即X和Y不相關;反之,若X和Y不相關,則X和Y不一定相互獨立. 例如,(X,Y)~N(μ,μ,σ2,σ2,ρ),則X和Y相互獨立的充要條件是ρ=,即此時12120隨機變量X和Y不相關與相互獨立是等價的. 再如,(X,Y)的聯合概率密度為?ì?1,x2+y2a2;f(x,y)=ía2≤?π?,x2+y2a2. 0>則易求出(),(),(),(,),,故和不相關;EX=EY=EXY=XY=ρXY=XY000Cov00(X,Y)分別關於X,Y的邊緣概率ì +?22,,∞?2a-x|x|a2 fX(x)=f(x,y)y=ía≤-π∞d? ?,其他. ∫065ì +?22,,∞?2a-y|y|a2 fY(y)=f(x,y)x=ía≤-π∞d? ?,其他. ∫0顯然f(x,y)fX(x)fY(y),故X和Y不是相互獨立的.上麵兩個例子,說明不相關的≠ 兩個隨機變量可以是相互獨立的,也可以是不相互獨立的. 問與隨機變量,的相互關係有何聯係? ?.ρXYXY43(,)答稱XY為隨機變量和的相關係數,其中(,)是ρXY=CovXYXYD(X)D(Y)Cov隨機變量和的協方差,(),()分別是隨機變量和的方差,且的絕對XYDXDYXYρXY值 |ρXY|. ≤1當較小時,則與的線性相關程度較差;當時,稱與不相關;|ρXY|XYρXY=XY0 特別當時,有{},即隨機點(,)幾乎處處位於直線|ρXY|=PY=aX+b=XYY=aX11+b上;反之,當X與Y存在線性關係Y=aX+b時,(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov=E{[X-E(X)][aX+b-E(aX+b)]}=aE{X2-XE(X)+[E(X)]2}2 =aD(X),D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),故 (X,Y)aD(X)ρXY=Cov==±. D(X)D(Y)D(X)D(Y)1總之,是一個可用來表征隨機變量,之間線性關係緊密程度的量ρXYXY. 問.二維隨機變量函數數學期望的求法. ?44答計算二維隨機變量函數數學期望有兩種方法:聯合概率密度法和邊緣概率密度法.若隨機變量X,Y的函數僅含X或僅含Y,則求該函數的數學期望可以用以上兩種方法;若X,Y的函數既含X又含Y,則僅用聯合概率密度法. 例隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為?ì?1(x+y),xπ,yπ;f(x,y)=ísin0≤≤0≤≤?222?,其他. 0求E(X). 解法(聯合概率密度法)1 ++∞∞E(X)=xf(x,y)xy--dd∫∫∞∞66ππ=22x·1(x+y)xy=π. sindd0024解法(邊緣概率密度法∫∫)關於X的邊緣概率密度2 +∞ fX(x)=f(x,y)y- ∞d∫?ìπ?12(x+y)y,xπ;=í0sind0≤≤?22?∫,其他. 0ì ?1(x+x),xπ;=ísincos0≤≤?22?,其他. 0則 +π∞2E(X)=xfX(x)x=x·1(x+x)x=π. -dsincosd∞024但是求E(XY)∫隻能用聯合概率密度法∫. ++∞∞E(XY)=xyf(x,y)xy--∞∞dd∫π∫π=22xy·1(x+y)xy=π-. sindd10022問.數學期望與方差的區別和聯係∫∫. ?45答數學期望E(X)又稱均值,是反映隨機變量X平均值的量,常用於比較兩個或多個量的優劣、大小、長短等.方差D(X)是刻畫取值分散程度的一個量,表達了X的取值與其數學期望的偏離程度.若X取值較集中,則D(X)較小;若X取值較分散,則D(X)較大. 數學期望和方差雖不能完整地描述隨機變量,但都能描述隨機變量在某些方麵的重要特征.方差D(X)實際是隨機變量[X-E(X)]2的數學期望. 典型例題例已知離散型隨機變量X的可能取值為:x=-,x=,x=,且已知E(X)1112031=.,E(X2)=.,求對應於可能取值x,x,x的概率p,p,p. 0109123123解由對應於X的全部值的概率之和等於,有1 p+p+p=.()12311由E(X)=.,得01(-)×p+×p+×p=..()110213012又由E(X2)=.,得0967(-)2×p+2×p+2×p=..()110213093解()、()、()聯立的方程組,得123p=.,p=.,p=.. 104201305例每次試驗投擲顆骰子,共投擲次.設X表示恰好有兩顆骰子出現“”點的25201試驗次數,求E(X). 解先求在一次試驗中恰好有兩顆骰子出現“”點的概率p.根據二項分布計算公式1 可得4 p=2(1)2(-1)3=5. C51×46636因為X~B(n,p),其中n=,20所以4 E(X)=np=×5.. 20×4≈321536例設隨機變量X的分布函數為3 ?ì,x-,0<2?xF(x)=í+1,-x,?2≤<2?42?,x. 1≥2求X的數學期望和方差. 解X的概率密度為?ì,x-,0≤2? f(x)=F''''(x)=í1,-x,?2<<2?4?,x. 0≥2所以+ ∞2E(X)=xf(x)x=x·1x=,-d-d0∞24+ ∫∞∫D(X)=[x-E(X)]2f(x)x- ∞d∫2x32=x2·1x==4. -d-241223例設隨機變量X的概率密度為∫4 |x-μ|f(x)=1λ,-x+,λe∞<<∞2 其中λ,μ均大於,求E(X),D(X). 0解利用奇函數的積分性質,有68+x+x∞|-μ|∞x|-μ|=(x-μ)1λx=λx-μ. 0-λed-λed∞2∞2所以∫∫+x∞x|-μ|E(X)=λx=μ. -λed∞2+x∫∞|-μ|D(X)=E{[X-E(X)]2}=(x-μ)21λx. -λed∞2x-μ∫做代換=t,則λ 2+λ∞-|t|D(X)=t2t-ed2∞+ ∫∞-t=λ2t2t0ed++∫-t∞∞-t=-λ2t2+λ2tte020ed++-t∞∫∞-t=-λ2t+λ2t=λ2. 2e020ed2例某流水生產線上每個產品不合格的概率為∫p(p),各產品合格與否相50<<1互獨立,當出現一個不合格產品時即停機檢修.設開機後第一次停機時已生產了的產品個數為X,求X的數學期望E(X)和方差D(X). 解記q=-p,X的概率分布為1 i-P(X=i)=q1p,i=,,…. 12∞∞i-iE(X)=iq1p=p(q)''''i=i=∑1∑1∞q=p(qi)''''=p()''''=1,i=-qp∑11∞∞i-iE(X2)=i2q1p=p[]q(q)''''''''i=i=∑1∑1éqù-p=pêú''''=2,?(-q)2?p21 -p-pD(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-1=1. p2p2p2例(.)設隨機變量X的概率密度為62002Ⅰìx?1,x,f(x)=ícos0≤≤π?22?,其他. 0對X獨立地重複觀察次,用Y表示觀察值大於π的次數,求Y2的數學期望. 43 69πx解由於P(Xπ)=1x=1,>πcosd33222而∫Y~B(,1),4 2因此E(Y)=×1=,422 D(Y)=×1×(-1)=,41122所以E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=+2=. 125x-例(.)設隨機變量X的分布函數為F(x)=.Φ(x)+.Φ(4),其中72017Ⅰ05052 Φ(x)為標準正態分布函數,則E(X)=. x-解隨機變量X的概率密度函數f(x)=F''''(x)=.φ(x)+.φ(4),050252 x-2其中φ(x)為標準正態分布概率密度函數,φ(x)=12,-x+,πe∞<<∞2 ++∞∞x-E(X)=xf(x)x=x[.φ(x)+.φ(4)]x-d-05025d∞∞2+++∫∞∫∞x-∞x-=.xφ(x)x+.xφ(4)x=.xφ(4)x,05-d025-d025-d∞∞2∞2x-∫令t=4∫∫++++∞x-2∞∞∞xφ(4)x=(t+)φ(t)t=tφ(t)t+φ(t)t=. -d2-24d4-d8-d8∞2∞∞∞∫所以E(X)=∫∫∫2 例(,)設隨機變量X在區間[-,]上服從均勻分布,隨機變量82000.ⅢⅣ12?ì,X,?1>0Y=í,X=,?00?-,X. 1<0則方差D(Y)=. 解隨機變量X的概率密度為ì ?1,-x,f(x)=í1≤≤2?3?,其他. 0故 702 P(X)=1x=2,P(X=)=,>0d00033∫0P(X)=1x=1,<0-d133得Y的分布律為∫Y-101P210 33從而E(Y)=×2+(-)×1=1,11333E(Y2)=2×2+(-)2×1=,11133D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=8. 9例(.)設隨機變量X與Y的相關係數為.,E(X)=E(Y)=,E(X2)=92003Ⅳ050E(Y2)=,則E((X+Y)2)=. 2解E(X+Y)2=E(X2)+E(XY)+E(Y2)()2=+[(X,Y)+E(X)·E(Y)]42Cov()()=+ρXY·DX·DY42=+×.×=. 420526例設二維隨機變量(X,Y)均勻分布於以坐標原點為中心,以a為半徑的圓的內10部,證明E(X)=,E(Y)=,E(XY)=,但X與Y不獨立. 000證(X,Y)的概率密度為?ì?1,x2+y2a2,f(x,y)=ía2≤?π?,x2+y2a2. 0>而 +∞ fX(x)=f(x,y)y- ∞dax∫?ì2-2?1y,|x|a,ax=í-2-2a2d≤?π∫?,其他. 0?ì?2a2-x2,|x|a,=ía2≤?π?,其他. 071ì +?22,,∞?2a-y|y|a2 同理fY(y)=f(x,y)x=ía≤-π∞d? ?,其他. ∫0顯然f(x,y)fX(x)·fY(y),故X與Y不相互獨立.而≠ +a∞xa2-x2E(X)=xfX(x)x=2x=,-d-aa2d0∞π∫+∫a∞ya2-y2E(Y)=yfY(y)y=2y=,-d-aa2d0∞π++∫∞∞∫E(XY)=xyf(x,y)xy--dd∫∫∞∞=xy1xya2ddx+ya22≤2πaxa?é2-2xyù=êyúx=. -a?-a2-x2a2d?d0π 例在長為l的線段上任取兩點∫∫,求兩點間距離的數學期望和方差. 11解將線段放在區間[,l]上,並設兩點坐標為隨機變量X,Y,則X~U[,l],Y~00U[,l],且X,Y相互獨立,兩點間距離Z=|X-Y|,於是0 llE(Z)=E(|X-Y|)=1|x-y|xy2 l00ddxll1∫∫l=1x(x-y)y+1x(y-x)y=,l2ddl2dxd0003∫∫∫ll∫l2E(Z2)=E[(X-Y)2]=1(x-y)2xy=,l2dd006故∫∫l2ll2D(Z)=D(|X-Y|)=-()2=. 6318例設隨機變量X的方差存在,C是常數,證明:12D(X)E[(X-C)2]. ≤證E[(X-C)2]=E(X2-CX+C2)2 =E(X2)-CE(X)+C22 =[C-E(X)]2+E(X2)-[E(X)]2=[C-E(X)]2+D(X)D(X). ≥例設(X,Y)的概率密度為13?ì?1(x+y),xπ,yπ,f(x,y)=ísin0≤≤0≤≤?222?,其他. 0求(,),XYρXY. Cov72+ ∞解因為fX(x)=f(x,y)y- ∞d∫?ìπ?21(x+y)y,xπ,=í0sind0≤≤?22∫?,其他0 ì?1(x+x),xπ,=ísincos0≤≤?22?,其他. 0+ ∞fY(y)=f(x,y)x- ∞d∫?ì?1(y+y),yπ,=ísincos0≤≤?22?,其他. 0所以+ ∞E(X)=xfX(x)x- ∞d∫π=2x·1(x+x)x=π,sincosd024同理∫E(Y)=π. 4又 ++∞∞E(XY)=xyf(x,y)xy=π-. --dd1∞∞2於是∫∫(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Cov=π--π·π=-(-π)2. 112444又因為D(X)=E(X2)-[E(X)]2π 2=x2·1(x+x)x-(π)2sincosd024∫2+-22+-=π4π16-π=π8π32,81616同樣有2+-D(Y)=π8π32,16所以73(X,Y)2-+ρXY=Cov=-π8π16. ()()2+-DXDYπ8π32例設X與Y都服從正態分布N(,),且相互獨立,又設W=X+Y,Z=X1404232-Y,試求W與Z的相關係數. 3(,)()()()解WZEWZ-EWEZ,ρWZ=Cov=D(W)D(Z)D(W)D(Z)而 E(W)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=,23230E(Z)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=,23230E(WZ)=E[(X+Y)(X-Y)]=E(X2-Y2)232349=E(X2)-E(Y2)=D(X)-D(Y)=-,494920D(W)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)2349=×+×=,449452D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=,234952所以E(WZ)-E(W)E(Z)-ρWZ==20=-5. ()()DWDZ5213例(.)設隨機變量X和Y的相關係數為.,若Z=X-.,則Y與Z152003Ⅲ0904的相關係數為. 解因為(Y,Z)=(Y,X-.)CovCov04=E[Y(X-.)]-E(Y)E(X-.)0404=E(XY)-.E(Y)-E(Y)E(X)+.E(Y)0404=E(XY)-E(X)E(Y)=(X,Y),Cov且DZ=DX,於是有(Y,Z)(X,Y)ρYZ=Cov=Cov=ρXY=.. DYDZDXDY09例將一枚硬幣重複擲n次,以X和Y分別表示正麵向上和反麵向上的次數,則16X和Y相關係數等於(). ()-()()1()A1B0CD12 解方法由X+Y=n知Y=n-X,從而1 (X,Y)=(X,n-X)CovCov=(X,n)-(X,X)CovCov=-(X,X)=-D(X). Cov74D(Y)=D(n-X)=E[(n-X)-E(n-X)]2=E[-X+E(X)]2=D(X),故 (X,Y)-D(X)ρXY=Cov==-. D(X)D(Y)D(X)1因而應選()A. 方法由題設可知:X+Y=n,並且2 X~B(n,1),Y~B(n,1),22於是nnE(X)=E(Y)=,D(X)=D(Y)=;24(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)Covn2=E(nX-X2)-4 n2=E(nX)-E(X2)-4 n2nn2n2n=-(+)-=-. 24444因此n -(X,Y)ρXY=Cov=4=-. D(X)D(Y)nn144例設隨機變量X和Y獨立同分布,記U=X-Y,V=X+Y,則隨機變量U與17V必然(). ()不獨立()獨立AB()相關係數不為零()相關係數為零CD解由於E(U)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=,0 E(UV)=E[(X+Y)(X-Y)]=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)=,0 (U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=. Cov0所以應選(). D例設二維隨機變量(X,Y)在區域D:x,|y|x內服從均勻分布,求180<<1<關於X的邊緣概率密度及隨機變量Z=X+的方差D(Z). 21解(X,Y)的聯合概率密度為75,x,|y|x,f(x,y)=10<<1<{,其他. 0關於X的邊緣概率密度為ìx+? ∞?y=x,x,-xfX(x)=f(x,y)y=í1d20<<1-d? ∞∫?,其他. ∫0因此+ ∞1E(X)=xfX(x)x=x·xx=2,-d2d∞03+ ∫∞∫1E(X2)=x2fX(x)x=x2·xx=1,-d2d∫∞∫02D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1-4=1,2918D(Z)=D(X+)=2·D(X)=2. 2129 例已知隨機變量(X,Y)服從二維正態分布,並且X和Y分別服從正態分布19XY(,2)和(,2),與的相關係數,設,NNXYρXY=-1Z=+1304232()求Z的數學期望E(Z)和方差D(Z);1 ()求與的相關係數;XZρXZ2 ()問X與Z是否相互獨立?為什麼? 3解()E(Z)=1E(X)+1E(Y)=1. 1323(,)()()XY=ρXY·DX·DYCov=(-1)××=-,3462 XYXYXYD(Z)=D(+)=D()+D()+(,)2Cov323232=(1)2D(X)+(1)2D(Y)+×1×1(X,Y)2Cov3232=1D(X)+1D(Y)+1(X,Y)=+-=. Cov1423943XY()(X,Z)=(X,)+(X,)2CovCovCov32=1(X,X)+1(X,Y). CovCov32而 (X,X)=D(X)=,(X,Y)=-,Cov9Cov676於是(X,Z)=1×+1×(-)=-=,Cov9633032所以(X,Z)ρXZ=Cov=. D(X)D(Z)0()因為Z是正態隨機變量X與Y的線性組合,所以Z也是正態隨機變量,又因為3 ,所以與相互獨立ρXZ=XZ. 0例設隨機變量X和Y的聯合分布在以點(,),(,),(,)為頂點的三角形20011011區域上服從均勻分布,試求隨機變量U=X+Y的方差. 解三角形區域為G={(x,y):x,y,x+y},0≤≤10≤≤1≥1隨機變量X與Y的聯合概率密度為,若(x,y)G,f(x,y)=2∈{,若(x,y)G. 0? 以f(x)表示X的概率密度,則當x或x時,f(x)=;當x時,1≤0≥1100<<1有 ?ì1∞?y=x,x,-xf(x)=f(x,y)y=í12d20<<11-d? ∞∫?,其他. ∫0因此∞1E(X)=xf(x)x=x2x=2,-1d2d∞03∫1∫E(X2)=x3x=1;2d∫02D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1-4=1. 2918同理可得E(Y)=2,D(Y)=1. 318現在求X和Y的協方差. 11E(XY)=xyxy=xxyy-xG2dd20d1d?1∫∫=x[-(-x)2]x=5,11d∫012(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=5-4=-1,Cov1293677於是D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+(X,Y)2Cov=1+1-2=1. 18183618例(.)設A,B為兩個隨機事件,且P(A)=1,P(B|A)=1,P(A|B)212004Ⅰ43,A發生,,B發生,=1,令X=1Y=1{,A不發生,{,B不發生. 200求:()二維隨機變量(,)的概率分布;()與的相關係數XYXYρXY. 12解()因為P(AB)=P(A)P(B|A)=1,於是1 12P(AB)P(B)==1,P(A|B)6 則有P(X=,Y=)=P(AB)=1,1112P(X=,Y=)=P(AB)=P(A)-P(AB)=1,106 P(X=,Y=)=P(AB)=P(B)-P(AB)=1,0112P(X=,Y=)=P(AB)=-P(AB)001∪=-[P(A)+P(B)-P(AB)]=2,1 3(或P{X=,Y=}=-1-1-1=2)001126123即(X,Y)的概率分布為Y X01210 312111 612()X,Y的概率分布分別為2 X01P314478Y 01P5166則E(X)=1,E(Y)=1,D(X)=3,D(Y)=5,E(XY)=1,46163612故(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=1,從而Cov24(X,Y)ρXY=Cov=15. ()·()DXDY15例設A,B是二隨機事件;隨機變量22,若A出現,,若B出現,X=1Y=1{-,若A不出現,{-,若B不出現,11試證明隨機變量X與Y不相關的充分必要條件是事件A,B相互獨立. 證記P(A),P(B),P(AB).由數學期望定義,可見=p1=p2=p12E(X)=×P(A)+(-)×P(A)=p-,11211E(Y)=p-. 221現在求E(XY),由於XY隻有兩個可能值和-,可見11P(XY=)=P(AB)+P(AB)=P(AB)+P(AB)1∪=P(AB)+-P(AB)1∪=P(AB)+-P(A)-P(B)+P(AB)1 =p-p-p+,212121P(XY=-)=-P{XY=}=p+p-p,11112212E(XY)=×P{XY=}+(-)×P{XY=-}1111=p-p-p+. 41221221從而(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=p-pp. Cov412412所以(X,Y)=當且僅當p=pp,即X與Y不相關當且僅當事件A,B相互Cov01212獨立. 例(,)隨機變量X,Y相互獨立,P{X}1,P{X-}1,Y服232018Ⅰ=1==1=22從參數為λ的泊鬆分布.令Z=XY:()求(X,Z);1Cov()求Z的概率分布. 2解()由已知P{X}1,P{X-}1,Y服從參數為λ的泊鬆分布. 1=1==1=22得E(X)=,D(X)=,E(Y)=λ. 01所以(X,Z)=(X,XY)=E(X2Y)-E(X)E(XY)CovCov79=E(X2Y)-E(X)E(XY)=D(X)E(Y)=λ. λk()Y服從參數為λ的泊鬆分布,P{Y=k}=-λ,k=,,,…. 2k!e012P{Z=k}=P{XY=k}=P{X=-,Y=-k}+P{X=,Y=k}11=1(P{Y=-k}+P{Y=k}),2 P{Z=}=P{X=-,Y=}+P{X=,Y=}01010=P{X=-}P{Y=}+P{X=}P{Y=}1010=-λ,e λkZ=k時,P{Z=k}=1-λ,k=,,…,>0k!e122 λ-kZ=k時,P{Z=k}=1-λ,k=-,-,…. <0(-k)!e122 ìk?λ-λ?1,k=±,±,…,所以P{Zk}ík!e12==2?λ?-,k=. e0目標測試題.填空題. 1-x+x-()已知連續型隨機變量X的概率密度為f(x)=1221,則X的數學期望E(X)1eπ =;X的方差D(X)=. ()設X表示次獨立重複射擊命中目標的次數,每次命中目標的概率為.,則21004X2的數學期望E(X2)=. ()設X與Y獨立,且D(X)=,D(Y)=,則D(X-Y)=. 3632-X()設隨機變量X服從參數為的指數分布,則數學期望E(X+2)=. 41e.選擇題. 2()對任意兩個隨機變量X和Y,若E(XY)=E(X)E(Y),則(). 1()D(XY)=D(X)D(Y)()D(X+Y)=D(X)+D(Y)AB()X與Y相互獨立()X與Y不獨立CD()設X服從正態分布N(μ,σ2),Y服從參數為λ的泊鬆分布,則(). 2- ()E(X2+Y2)=σ2+λ2()E(X+Y)=μ+λ1AB()D(X+Y)=σ2+λ()E(Y2)=λ(+λ)CD1()對任意兩個隨機變量X和Y,若D(X),D(Y)都存在,則(X,Y)=. 3Cov()E{[Y-E(Y)][X-E(X)]}()E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]AB80()E[(XY)2]-[E(XY)]2()E(XY)-[E(X)E(Y)]2CD.假設隨機變量U在區間[-,]上服從均勻分布,隨機變量322-,若U-,-,若U,X=1≤1Y=1≤0{,若U-;{,若U. 1>11>0試求:()X和Y的聯合概率分布律;1 ()D(X+Y). 2.設隨機變量X服從參數為λ的泊鬆分布,且已知4 E[(X-)(X-)]=,121試確定λ的值. .設隨機變量X和Y都服從正態分布N(μ,σ2),且X,Y獨立,試求Z=αX+βY51和ZαXY的相關係數(其中α和是不為零的常數). 2=-ββ.設X的概率密度為f(x)=k-|x|(-x+,k為常數). 6e∞<<∞求:()常數k;()E(X);()D(X). 123.已知二維隨機變量(X,Y)的分布律為7 X- Y101-1111 8881100881111 888試驗證X與Y不相關,但X與Y不獨立. .設(X,Y)的概率密度為8 y2,yx,f(x,y)=120≤≤≤1{,其他. 0求:E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 81第五章大數定律與中心極限定理基本要求.了解切比雪夫不等式的條件和結論,並估計概率. 1.了解常用大數定律成立的條件和結論,其中包括切比雪夫大數定律、貝努裏大數定2 律和辛欽大數定律,了解貝努裏大數定律與概率的統計定義、參數估計之間的關係. .了解常用的中心極限定理成立的條件和結論,會利用德莫弗-拉普拉斯中心極限3 定理解決二項分布的近似計算問題. .重點:切比雪夫不等式、大數定律與中心極限定理的應用,用以估計或近似計算某4 些事件的概率. 難點:大數定律、中心極限定理的證明與應用,依概率收斂的概念. 內容提要切比雪夫不等式與大數定律切比雪夫不等式:設隨機變量X的數學期望E(X)=μ及方差D(X)=σ2都存在,則對於任意的ε,有不等式>0σ2P(|X-μ|ε)≥≤ε2或 82σ2P(|X-μ|ε)-. 0?nA? P?-pε÷=n lim→∞èn≥?0或 ?nA? P?-pε÷=. nlim→∞èn 率這一結論,證明了頻率的穩定性. 切比雪夫大數定律:設X,X,…,Xn,…是相互獨立的隨機變量序列,數學期望12E(Xk)和方差D(Xk)都存在(k=,,…),若方差D(Xk)有界,則對於任意的ε,有12>0?nn? ?÷P1Xk-1E(Xk)ε=. nlimènk=nk=0?n? ?÷P1Xk-ε=. nμlimènk=0?n? ?÷P1Xk-ε=. nμlimènk= 12中心極限定理獨立同分布的中心極限定理:設X,X,…,Xn,…是相互獨立的隨機變量,服從同12一分布,且具有有限的數學期望和方差,E(Xk)=μ,D(Xk)=σ2(k=,,…),則隨≠012機變量nn(Xk-μ)Xk-nμk=k=11Yn=∑=∑nσnσ83的分布函數Fn(x)對任意實數x,滿足n ?? Xk-nxtμ-2?k=÷Fn(x)=P1=12t. nn?∑x÷-lim→∞lim→∞∞edènσ≤?∫2π德莫佛-拉普拉斯中心極限定理:設隨機變量ηn(n=,,…)服從參數為n,12p(p)的二項分布0<<1xt?ηn-np?-2P?x÷=12t,n-lim→∞ènp(-p)≤?∞ed12π其中x為任意實數.∫答疑輔導問.如何理解“切比雪夫不等式”的內涵? ?51答要準確求出隨機事件的概率P(A),首先要知道它的分布(即概率分布或概率密度函數).但在實際問題中往往難以得到確切的分布,這時可以考慮求P(A)的近似值.切比雪夫不等式正是告訴我們,隻要知道E(X)=μ和D(X)=σ2,那麼事件(|X-μ|ε)≥ 的概率的上界為D(X)\/ε2.為了補充教材關於切比雪夫不等式的證明,下麵考慮X為離散型隨機變量的情形:設X的分布列為pi=P(X=xi),i=,,…,E(X)=μ,則有12(xi-μ)2P(|X-μ|ε)=pipi2 ≥|xi-μ|ε≤|xi-μ|εε∑≥∑≥(xi-μ)2pi=D(X)\/ε2,≤∑iε2|xi-μ|2其中第一個不等號是因為在|xi-μ|ε範圍內把代替,從而式子放大. >ε21問.怎樣理解依概率收斂的統計意義? ?52答回憶高等數學中的數列{an}收斂於常數a的含義:對於任意正數ε,存在正整數N,使得對於滿足nN所有的an全落在區間(a-ε,a+ε)內. >但是如果把上述數列{an}改成隨機變量序列{Xn},由於Xn是隨機變量,其取值是隨機的,要求存在N,使得nN後所有的隨機變量Xn都落在(a-ε,a+ε)內是非常> 困難的,但是我們可以要求當n時,Xn落在(a-ε,a+ε)內的概率趨近於,這時→∞1p 我們稱Xn依概率收斂於a,記作Xna,嚴格地說,當n時,有P(|Xn-a|n →→∞lim→∞≤ε)=,或者等價於P(|Xn-a|ε)=. n1lim→∞>0為了說明隨機變量序列{Xn}依概率收斂於a,就要驗證P(|Xn-a|ε)=. nlim→∞>0n 按切比雪夫大數定律的條件,設E(Xi)=μi,D(Xi)=σi2,令Yn=1Xi,則ni=∑184n E(Yn)=1μi,ni=1 n∑c D(Yn)=1σi2,σi2c,i=,…,n. n2i=≤n≤1∑1由切比雪夫不等式有?nn? ?÷P1Xi-1μiε=P(|Yn-E(Yn)|ε)èni=ni=>?>∑1∑1D(Yn)c(n). ≤ε2<ε2n→0→∞從而有?nn? ?÷P1Xi-1iε=,nμlimèni=ni=>?0→∞∑1∑1即 np 1(Xi-μi). ni=→0∑1而貝努裏大數定律中,若第i次試驗中A發生的次數記為Xi,則Xi獨立且Xi~nAB(,p)(i=,…,n),其中p=P(A),從而E(Xi)=p,D(Xi)=p(-p),而-p111≤1nnnnApnAp正是1Xi-p滿足切比雪夫大數定律的條件,故-p=1Xi-p,即ni=nni=→0n→∑1∑1p. 最後說明一下,貝努裏大數定律正是概率的頻率定義(或稱統計概率)的嚴格說明,nA在頻率定義中:事件A在n次獨立重複試驗中出現的頻率fn(A)=,當n時,穩n→∞定在數p附近,則p稱為事件A的統計概率,對照一下貝努裏大數定律的條件與結論,正nAp是=fn(A)p.從而穩定的統計意義即為依概率收斂,故頻率定義是合理的. n→問.中心極限定理的實際背景是什麼? ?53答由大數定律我們知道,對於獨立同分布隨機變量序列{Xn}(E(Xi)=μ),有?n??n? ?÷?÷P1Xi-ε=.但是P1Xi-ε的值究竟是多少?在實際nμμlimèni= →∞∑1∑1問題中,這類問題經常出現,如測量某物體的長度尺寸,我們通常測量若幹次後將測量的值相加予以平均,得到該尺寸的估計,那麼其估計值與真實值的偏差在某一範圍內的概率大小是令人感興趣的.由於這類問題的普遍性,概率論在近一個世紀的時間中將它作為討論的中心進行研究.直至今天,這類問題仍是概率論的重要研究課題(當然是在更廣泛、更一般的條件下的結論). 問.中心極限定理的內涵是什麼? ?5485答為了理解中心極限定理的意義,首先考慮以下的情況:n 設X,…,Xn,…獨立且服從相同的分布N(,σ2),則XiN(n,nσ2),對其標1μ~μi=1 n∑Xi-nμi=準化後有∑1~N(,). nσ01中心極限定理指出:如果Xi獨立同分布(未必是正態分布),E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=,…,n,那麼當n時,1→∞n Xi-nμi=∑1~N(,)nσ01漸近成立,即n ?? Xi-nμ?i=÷P1=Φ(x). limn?∑x÷→∞ènσ≤? n利用中心極限定理,當n充分大時,可以近似計算P(aXib): n∑n?? ?Xi-nμ÷a-ni=b-nP(aXib)=P?μ1μ÷ b-nμa-nμФ()-Ф(). ≈nσnσ作為一般中心極限定理(列維-林德伯格定理)的特例正是把它應用於獨立同分布的B(,p)隨機變量序列得到的德莫弗-拉普拉斯中心極限定理,即如果Yn~B(n,p),1