由於求某些實際問題的精確而產生了極限的思想.例如，我國春秋戰國時期的哲學家莊子在《天下篇》中有如下描述：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”，就體現了初步的極限思想.極限是微積分學中一個基本概念，極限是變量變化的終極狀態.微分學與積分學的許多概念都是由極限引入的，並且最終都是由極限來解決.因此，在微積分學中，極限占有非常重要的地位.
一、 x→∞時函數的極限
引例121分析反比例函數y=1x，當x無限增大時的變化趨勢.
分析當x→+∞時，y=1x的值無限趨於0；
當x→－∞時，y=1x的值也無限趨於0.
從而當x→+∞時，x→∞時，函數y=1x的值無限趨於0.
定義121如果當x無限增大時，函數f(x)無限趨近於一個確定的常數A，則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限，記作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(當x→∞時).同理，可以定義x→+∞或x→－∞時，函數f(x)時的極限.
例如，limx→∞1x=0；limx→+∞12x=0；limx→-∞2x=0.注
意如果limx→∞f(x)=A，則把直線y=A稱為曲線y=f(x)的水平漸近線.定理121limx→∞f(x)=A limx→+∞f(x)=limx→-∞f(x)=A.
例121討論當x→∞時，函數y=arctanx的極限.
解考察函數y=arctanx的函數值隨自變量變化的變化趨勢，圖形見附錄1.
從圖形上看，limx→+∞arctanx=π2，limx→-∞arctanx=－π2.
因為limx→+∞arctanx≠limx→-∞arctanx，所以當x→∞時，y=arctanx極限不存在.說明曲線y=arctanx有兩條水平漸近線，分別為y=π2和y=－π2.注
意數列是自變量取自然數時的函數(通常稱為整標函數)xn=f(n)，因此，數列是函數的一種特殊情況.例122觀察下列函數的圖像，說出當x→∞時的極限.
（1） y=1x2；（2） y=ex；（3） y=C(C為常數).
解由圖121，圖122，圖123知，
圖121
圖122
圖123
（1） limx→∞1x2=0；
（2） 因為limx→-∞ex=0，limx→+∞ex=+∞，所以limx→∞ex不存在；
（3） limx→∞C=C.
二、 x→x0時函數的極限
引例122考察函數y=x+1，當x無限趨於1(不等於1)時y的變化趨勢(如圖124(a)).
分析由圖124(a)知，當x趨向於1時，y就趨向於2，而且x越接近1，y就越接近2，因此，當x→1時，y=x+1→2.
引例123考察函數y=x2－1x－1，當x無限趨於1(不等於1)時的變化趨勢(如圖124(b)).
分析由圖124(b)知，當x趨向於1時，y就趨向於2.雖然y在點x=1處沒有定義，但是隻要x無限趨於1，y就無限趨於2，於是，當x→1時，y=x2－1x－1→2.
引例124考察函數y=x+1x≠11x=1，當x無限趨於1(不等於1)時的變化趨勢(如圖124(c)).
分析由圖124(c)知，當x趨向於1時，y就趨向於2，而且x越接近1，y就越接近2，因此，當x→1時，y=x+1x≠11x=1→2.
以上三個例子表明：當自變量x趨於某個值x0時，函數值就趨於某個確定常數(與函數在點x0有無定義沒有關係)，這就是函數極限的含義.
圖124
定義122設函數f(x)在x0的左、右近旁(即在點x0附近，可以不含點x0)內有定義，如果當x→x0時，相應的函數值f(x)無限趨近於一個確定的常數A，則稱當x→x0時，f(x)以A為極限，記作limx→x0f(x)=A或f(x)→A(x→x0).注
意（1） limx→x0f(x)=A與函數f(x)在x0點是否有定義無關，且與f(x0)的值無關，它描述的是當自變量x無限接近x0時，相應的函數值f(x)無限趨近於常數A的一種變化趨勢.
（2） x在無限趨近x0的過程中，既從大於x0的方向（即從x0的右邊）趨近x0，又從小於x0的方向（即從x0的左邊）趨近於x0.由函數極限的定義，易得