一、 兩個重要極限
1. 極限存在準則
準則Ⅰ(夾逼準則)若函數f(x)，g(x)，h(x)滿足下列條件：
（1） 在x0附近(不含x0)有g(x)≤f(x)≤h(x)；
（2） limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=A.
則limx→x0f(x)=A.
準則Ⅱ(單調有界準則)單調有界數列必有極限.
圖131
2. 兩個重要極限
極限Ⅰlimx→0sinxx=1.
下麵用夾逼準則來說明重要極限limx→0sinxx=1，作單位圓(如圖131).設x0 意極限limx→0sinxx=1在形式上的特點是： （1） 是“00”型； （2） 所求變量中帶有三角函數； （3） 這個極限的一般形式為：lim□→0sin□□=1.例131求極限limx→0sinmxx. 解limx→0sinmxx=limx→0sinmxmx·m=m. 例132求極限limx→0tanxx. 解limx→0tanxx=limx→0sinxx1cosx=limx→0sinxx·limx→01cosx=1. 例133求極限limx→0sin3xsin5x. 解limx→0sin3xsin5x=limx→03sin3x3x·5x5sin5x=35limx→0sin3x3x·limx→05xsin5x=35. 例134求極限limx→01－cosxx2. 解limx→01－cosxx2=limx→02sin2x2x2=12·limx→0sinx2x22=12. 例135求極限limx→1sin(x3－1)x－1. 解limx→1sin(x3－1)x－1=limx→1(x2+x+1)sin(x3－1)x3－1 =limx→1(x2+x+1)·limx→1sin(x3－1)x3－1=3. 例136求極限limx→πsinxx－π. 解limx→πsinxx－π=limx→πsin(π－x)x－πt=π－xlimt→0sint－t=－1. 例137求極限limx→0arcsin2xx. 解limx→0arcsin2xxarcsin2x=tlimt→0t12sint=2. 例138求極限limx→0xcot2x. 解limx→0xcot2x=limx→0x·cos2xsin2x=limx→0xsin2x·limx→0cos2x=12. 例139求極限limx→+∞2xsinπ2x. 解limx→+∞2xsinπ2x=limx→+∞sinπ2x12xlimx→+∞πsinπ2xπ2x=π. 極限Ⅱlimx→∞1+1xx=e. 在limx→∞1+1xx=e式中，令t=1x，則x→∞時，t→0，可得到極限的另一種形式：limt→0(1+t)1t=e.一般形式為limu(x)→∞1+1u(x)u(x)＝e(其中u(x)代表x的任意函數). 重要極限Ⅱ的簡記形式為：lim□→0(1+□)1□＝e，limΔ→∞1+1ΔΔ＝e.注 意重要極限Ⅱ是“1∞”型.例1310求極限limx→∞1-1xx+1. 解limx→∞1-1xx+1=limx→∞1+1－x－x－11-1x=e－1. 例1311求極限limx→0(1－2x)1x. 解limx→0(1－2x)1x=limx→0［(1－2x)1－2x］－2=e－2. 例1312求極限limx→∞2x+32x+1x. 解原式=limx→∞1+22x+1x=limx→∞1+22x+12x+121+22x+1－12＝e. 另解令2x+32x+1=1+t，則x=1t－12，故 原式=limt→0(1+t)1t－12=limt→0(1+t)1t·limt→0(1+t)－12＝e. 二、 無窮小量與無窮大量 1. 無窮小量 定義131如果當x→x0(或x→∞)時函數f(x)的極限為零，那麼稱f(x)為當x→x0(x→∞)時的無窮小量(簡稱無窮小)，記為limx→x0f(x)=0(limx→∞f(x)=0).