連續性是函數的重要性態之一，它是與函數的極限密切相關的另一個基本概念.在實際問題中普遍存在連續性問題，例如，隨著時間的連續變化，氣溫會連續地變化.從圖形上看，函數的圖像是連綿不斷的.
一、 函數的連續性
1. 函數的增量
變量u由初值u1變到終值u2，終值u2與初值u1的差u2－u1稱為u的增量，記為Δu，即Δu=u2－u1.說明Δu可正，可負，也可為零，這些取決於u1與u2的大小.x－x0稱為自變量x在x0點的增量，記為Δx，即Δx=x－x0或x=x0+Δx，並且，x→x0 Δx→0；相應的函數值差f(x)－f(x0)稱為函數f(x)在x0點的增量，記為Δy，即Δy=f(x)－f(x0)=y－y0，亦即f(x)=f(x0)+Δy或y=y0+Δy，並有f(x)→f(x0) f(x0+Δx)－f(x0)→0 Δy→0.
2. 函數連續性的定義
定義141設函數y=f(x)在x0附近有定義，若limx→x0f(x)=f(x0)，則稱函數y=f(x)在點x0處連續.
例如，（1） 因為limx→2f(x)=limx→2(2x－1)=3=f（2） ，所以函數f(x)=2x－1在點x=2連續.
（2） 由於limx→0f(x)=limx→0xsin1x=0=f(0)，所以函數f(x)=xsin1xx≠00x=0在點x=0處連續.
根據函數增量的概念：limx→x0f(x)=f(x0)可用limΔx→0Δy=0表示.由此，可得函數連續的另一種定義.
定義142設y=f(x)在x0附近有定義，若當Δx→0時，有Δy→0，即limΔx→0Δy=0，則稱f(x)在x0點連續.注
意函數y=f(x)在點x0處連續，必須同時滿足以下三個條件(通常稱為三要素)：
（1） 函數f(x)在點x0處有定義；
（2） 極限limx→x0f(x)存在；
（3） limx→x0f(x)=f(x0).定義143設函數f(x)在點x0點左附近(或右附近)有定義，若f(x0－0)=limx→x-0f(x)=f(x0)或f(x0+0)=limx→x+0f(x)=f(x0)，則稱函數y=f(x)在點x0處左(或右)連續.
定理141函數f(x)在點x0處連續的充要條件是函數f(x)在點x0處左連續且右連續，即limx→x0f(x)=f(x0) f(x0－0)=f(x0+0)=f(x0).例141討論函數f(x)=x+2x≥0x－2x<0在x=0的連續性.
解因為f(0－0)=limx→0－f(x)=limx→0－(x－2)=－2，
f(0+0)=limx→0+f(x)＝limx→0+(x+2)=2，
所以f(0－0)≠f(0+0)，故該函數在x=0點不連續.
又因為f(0)=2，所以f(0+0)=f(0)，故該函數在點x=0處右連續.
例142證明f(x)=x在x=0點連續.
證明因為limx→0－f(x)=limx→0－x=limx→0－(－x)=0，limx→0+f(x)=limx→0+x=limx→0+x=0，又f(0)=0，所以limx→0f(x)=limx→0x=0=f(0).
因此f(x)=x在x=0點連續.