基本初等函數在其定義域內都是連續的.
根據極限運算法則和連續函數定義可知：有限個連續函數的和、差、積、商(分母不為0)也是連續函數；由連續函數複合而成的複合函數也是連續函數.因此，得到初等函數連續性的重要結論:
一切初等函數在其定義區間內都是連續函數，即如果點x0是初等函數f(x)定義區間內一點，那麼limx→x0f(x)=f(x0).注
意利用函數的連續性來求函數的極限.例147求limx→0ln(1+x)x.
解limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x=ln e=1.
例148求limx→0x2+1－1x.
解當x→0時，分母、分子的極限都為零，此極限為00型，要設法消去為零因式，首先分子有理化.limx→0x2+1－1x=limx→0(x2+1－1)(x2+1+1)x(x2+1+1)=limx→0xx2+1+1=0.圖142
四、 閉區間上連續函數的性質
1. 最大值和最小值的定理
定理144(最大值與最小值定理)在閉區間上的連續函數一定有最大值和最小值.
閉區間［a,b］上的連續函數f(x)在點x=a和x=ξ1處取得最小值m，在點x=ξ2處取得最大值M(如圖142).
推論141(有界性定理)閉區間上的連續函數在該區間一定有界.注
意定理144中“閉區間”和“連續函數”是兩個重要條件，缺少一個，定理不能保證成立.圖143
例如：函數f(x)=1－x0≤x<11x=13－x1 2. 零點定理 若點x0使得f(x0)=0，則稱點x0為f(x)的零點(或f(x)=0的根). 定理145(零點定理)設f(x)在［a,b］上連續，且f(a)·f(b)<0，則在開區間(a,b)上，至少存在一點ξ，使得f(ξ)=0，即f(x)在(a,b)內至少有一個零點.說明 （1） 本定理對判斷零點的位置很有用處，但不能求出零點. （2） 若f(a)·f(b)>0，則不能判定有沒有零點，須進一步考查. （3） 從幾何直觀上看(a,f(a))與(b,f(b))在x軸的上下兩側，由於f(x)連續，顯然，在(a,b)上，f(x)的圖像與x軸至少有一個交點(如圖144).例149驗證方程x3－3x2－9x+1=0在0與1之間有一實根. 解令f(x)=x3－3x2－9x+1，f(0)=1>0，f（1）＝1-3-9+1=－10<0， 又f(x)在0,1上是連續的，故由零點定理，知存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0，即ξ3－3ξ2－9ξ+1=0，所以方程x3－3x2－9x+1=0至少有一根在0與1之間. 3. 介值定理 定理146(介值定理)設f(x)在［a,b］上連續，且f(a)≠f(b)，那麼，對介於f(a)與f(b)之間的任意常數C，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C(a<ξ 意由f(ξ)=C說明ξ是f(x)－C的零點，體現在圖像上就是曲線y=f(x)與y=C在(a,b)內至少有一個交點(如圖145).推論142設在閉區間［a,b］上的連續函數f(x)有最大值M和最小值m，則對於任意的常數C∈(m,M)，必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C. 圖144 圖145 例1410設f(x)在［a,b］上連續，且f(a)b，證明f(x)=x在(a,b)內至少有一個根. 證明令g(x)=f(x)－x，可知g(x)在［a,b］上連續. 因為g(a)=f(a)－a0， 所以由介值定理的推論，可知g(x)在(a,b)內至少有一個零點，即f(x)=x在(a,b)內至少有一個根. 介值定理及其推論都是對閉區間上的連續函數進行討論的，若把閉區間換成開區間，或函數不滿足連續的條件，則結論就不一定成立了. 習題1.4 1. 討論函數f(x)=1－x21+xx≠－12x=－1在x=－1處的連續性. 2. 討論函數f(x)=1+x2x<01x=01+x201在x=0和x=1處的連續性. 3. 若函數f(x)=(1+x)3xx≠0ax=0在x=0處連續，試確定a的值. 4. 設f(x)=ln(1+2x)xx<02x+kx≥0在定義域內連續，求k的值. 5. 試求下列函數的間斷點，並指出其類型(第一類還是第二類間斷點). （1） f(x)=1x－2;（2） f(x)=x2－1x2－3x+2; （3） f(x)=x2－4x－2. 6. 求下列極限： （1） limx→1x2+3－2x－1；（2） limx→0(2－x)1x－1； （3） limx→∞cos(x+1－x)；（4） limx→-2ex+1x； （5） limx→0ln(2+x)－ln2x；（6） limx→0ax－1x； （7） limx→0ln(1－2x)x2+x；（8） limx→0x1+x－1－x. 7. 證明方程sinx－x+1=0在區間(0,π)內至少有一個根. 本章主要介紹了函數和函數的極限兩個概念： 1. 函數 在理解函數概念的基礎上，進一步掌握函數的四大特性，掌握分段函數和複合函數的概念，六類基本初等函數的圖像和性質. 2. 極限 了解函數極限的定義(六種形式極限)，在了解極限存在的充分必要條件的基礎上，掌握求極限的方法： （1） 利用初等函數的連續性求極限. 若函數y=f(x)在點x0處連續，則limx→x0f(x)=f(x0). （2） 利用函數的極限的運算法則求極限. （3） 利用無窮小與無窮大的倒數關係求極限. （4） 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小求極限.