事物都處於運動變化之中，有著廣泛意義的問題是需要研究事物變化的快慢程度，即函數的變化率問題，本節重點在於認識微積分的關鍵概念——導數，包括導數的定義、幾何意義、可導與連續的關係等.
一、 變化率問題的實例
引例211求變速直線運動的瞬時速度.
設有一質點做變速直線運動，其運動方程為s=s(t)，求質點在t=t0時的瞬時速度v(t0).圖211
如圖211所示，當時間由t0改變到t0+Δt時，記t=t0時質點的位置坐標為s0=s(t0).當t從t0增加到t0+Δt時，s相應地從s0增加到s0+Δs=s(t0+Δt).因此，質點在Δt這段時間內的位移是Δs=s(t0+Δt)－s(t0).
質點在t0+Δt這段時間內的平均速度為=ΔsΔt=s(t0+Δt)－s(t0)Δt.
由於質點速度是連續變化的，在Δt時間內速度變化不大，因此，瞬時速度v(t0)可以近似地用平均速度代替，即v(t0)≈=s(t0+Δt)－s(t0)Δt.
Δt越小，就越接近瞬時速度v(t0)，由極限思想，當Δt→0時，ΔsΔt的極限為v(t0)，即：v(t0)=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0=limΔt→0s(t0+Δt)－s(t0)Δt.引例212求平麵曲線的切線方程.
如圖212所示，已知C:y=f(x)，M0(x0,y0)為C上一點，求M0處的切線的斜率.
圖212
在M0附近任取C上一點M（x0+Δx,y0+Δy），則割線M0MkM0M=ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx.當Δx→0時，點M沿曲線C趨向M0，割線M0M就繞M0轉動，割線M0M不斷地趨向於切線M0T，由極限思想，我們知道割線M0M的極限位置是切線M0T.
如果kM0M=ΔyΔx趨向於某個極限，則極限值就是曲線在M0處切線的斜率k，設切線的傾斜角α，所以曲線y=f(x)在點M0處的切線斜率為k=tanα=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx.上述兩個引例從抽象的數量關係來看，有一個共性，即所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.我們在數學上進行抽象以後，就得到了函數導數的定義.
二、 導數的定義
1. 一點處導數的定義
定義211設函數y=f(x)在點x0及其附近有定義，當自變量x在從x0變化到x0+Δx時，函數f(x)有相應的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0),若極限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，極限值稱為函數y=f(x)在點x=x0處的導數，記為f′(x0)，即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx.若極限limΔx→0ΔyΔx不存在，則稱函數y=f(x)在點x0處不可導.
我們也可以把導數f′(x0)記為y′x=x0或dydxx=x0或df(x)dxx=x0.
導數定義中，若令x=x0+Δx或h=Δx，則導數定義式又有另外的形式:f′(x0)=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0或f′(x0)=limh→0f(x0+h)－f(x0)h.因變量增量與自變量增量之比ΔyΔx表示因變量y=f(x)在區間［x0,x0+Δx］上的平均變化率，而f′(x0)則是f(x)在點x0處的(瞬時)變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.
根據導數的定義，引例中，位移s=s(t)對時間t的導數s′(t0)是t0時刻的速度；f′(x0)是曲線y=f(x)在(x0,f(x0))點的切線斜率.
例211已知函數f(x)=x2，求f′（1） .
解f′（1）＝limΔx→0f(1+Δx)－f（1）Δx=limΔx→0(1+Δx)2－1Δx=limΔx→0(Δx+2)=2；
或f′（1）＝limx→1f(x)－f（1）x－1=limx→1x2－1x－1=limx→1(x+1)=2.
例212設f′(x0)=－3，求下列極限：
（1） limΔx→0f(x0+2Δx)－f(x0)Δx；（2） limh→0f(x0+h)－f(x0－h)h.
解（1） limΔx→0f(x0+2Δx)－f(x0)Δx=2limΔx→0f(x0+2Δx)－f(x0)2Δx=2f′(x0)=－6.