係統:3.3點一七，從三角形的一個頂點向對麵的邊做垂線，這個垂線段就是三角形的高，垂線段的意思是垂線中的線段。請畫出銳角，直角，三角形和鈍角三角形的三條高。並且說一下他們都在哪個位置？
小紅:銳角三角形的三條高都在三角形的內部，直角三角形有一條高在三角形內部，另外兩條高與直角邊重合了，鈍角三角形隻有鈍角的頂點可以做高，因為其他兩個角往下做垂線的話，下麵的邊不夠長，夠不到，不過按理來說，要有三條的才對，另外兩條則用什麼特殊方法吧？
我:夠不到你加長不就行了，不用什麼特殊方法，不過直接畫確實不行，把下麵的線段改成射線或直線，往射線或直線上麵做高不就好了嗎？
小紅:這樣就能夠到了鈍角三角形的一條高在三角形的內部，另外兩條高在三角形的外部，真是有趣，鈍角三角形的高，居然在三角形的外部。直角三角形的高和三角形的邊重合了
係統:三角形的一個頂點，向對邊的中點連接，這個線段，叫三角形的中線，請分別畫出直角，銳角，鈍角，三角形的三條中線，你發現了什麼？
小紅:中線沒有什麼特殊的地方啊，他們都在三角形的內部，你沒有像高一樣，有在外部或者在邊上的情況。
我:這三種三角形的中線怎麼就相交在一點了，這些是特例還是中線就有這種性質？我在多畫幾個圖…我畫了好多三角形，但是它們的中線都相交一點，看來這應該是中線的性質，不過這有什麼用呢？
係統:這個點叫做三角形的重心，如果你有一塊三角形的硬紙板，把一根手指放在重心下你就可以用一根手指把三角形支起來，並且它不會掉，不過這種操作隻存在數學理論中實際生活中，你的手指不可能點到一個點並且一定會離真正的重心偏移一點並且你的手指也會累，時間長了三角形還是會掉下來但如果在數學世界中，你就可以想堅持多長時間就堅持多長時間了。在三角形的某一個角作角平分線，這個角的頂點和對應邊與角平分線的交叉點之間的線段就是這個三角形的角平分線。現在有三根木棍釘成的三角形，還有四根木棍釘成的四邊形，你能將三角形或四邊形進行變形嗎？
小紅:四邊形我還沒動就開始亂晃了，不過三角形我怎麼用力拽，用力拿，用力掰都沒有動啊？
小強:會不會是你不夠用力，讓我試一試，我力氣很大的，怎麼我也不能讓三角形變形啊？會不會三角形根本不能變形呢？
係統:三角形有穩定性，無論怎麼動，他是不會變形的，而四邊形沒有，所以動了之後它是會變形的。3.3點18請證明三角形內角和為180度。
小紅:我說過的這題我來，我們現在隻知道平角的和是180度，所以要把這三個角都轉化成一個平角上，構造平角最簡單的方法，就是在一條角的頂點上做直線，你就能構造出平角了，並且這樣還少轉化一個角，我們現在回到轉化講的方法有對頂角相等，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，如果我們做了這條直線，正好與這個角對麵的這條直線平行，那麼，下麵這兩個角正好可以用內錯角相等，轉換到上麵的直線上，和原本的那個角湊成一個平角，這樣就證明成功了。
設三角形為ABC，過A做BC的平行線DE因為內錯角相等，所以，角C等於角EAC角B等於角DAB，而平角是180度，所以三角形內角和也是180度。