於是工匠們嚐試用直尺和圓規作圖法定出橋的位置，但過了很久，都沒有得到解決，無奈之下，他們隻好去請教當時最著名的數學家阿基米德。阿基米德看到這個問題，想了很久。他在直尺上做上了一點固定的標記，便輕鬆地解決了這一問題。大家都非常佩服他。不過阿基米德卻說，這個問題沒有被真正解決。因為一旦在直尺上作了標記，等於就是為它做了刻度，這在尺規作圖法中是不允許的。於是這個問題在兩千年來一直困擾著無數的數學家，直到一百多年前，德國數學家克萊因做出了一個無可置疑的證明：隻用直尺和圓規，是不可能解決這三個難題的。也就是說，這個問題到目前為止都還沒有得到真正的解決。
5．沙羅周期從日月食談起
日食
提到沙羅周期，就要從日食和月食的周期談起。因為沙羅周期是日食和月食的周期，是指月球在它的軌道盤上運行一周(以便月球交點沿著軌道公轉一周)所需的時間，即18年零10天。那麼，沙羅周期與日月食有著怎麼的故事？現在就讓我們一起來看一下吧！
在西元前數個世紀，迦勒底人（巴比倫開文學家）發現了就發現了沙羅周期。後來，沙羅周期被傳到了伊巴穀、普林尼和托勒密，但是都以不同的名稱呈現。在蘇美/巴比倫“SAR”這個字是測量上的單位，數值大約是3600。“沙羅”是在1691年才被愛德蒙·哈雷用來描述食的周期，而他是從11世紀的拜占庭蘇達辭書轉換過來的。1756年，有一個叫Guillaume Le Gentil的人指出了哈雷這一名稱的錯誤，但這個名詞仍然被繼續使用著。
在天文學界，日食和月食統稱交食。由日月食的原理可看出，交食的出現與日、地、月三者的會合運動密切相關，此會合運動具有周期性，所以日月食自然也應有周期性。交食的周期是古代巴比倫人發現的，當時叫做“沙羅周期”（“沙羅”是重複的意思），為18年零11天多一點。也就是6585．32天。
一年內可能會發生多少次月食呢？對全地球而言，一年內最多會發生3次，有時候1次也不發生；對於日食來講，每年最多可以發生5次，最少也要發生2次。這樣看來，每年發生日食的次數要比月食多，可是為什麼人們總是看到月食的機會比日食多呢？最主要的原因是，日食帶的範圍小，地球上隻有局部地區可以看得到。對於某一確定地點而言，平均每3年左右才可以看到一次日偏食，300多年才可以看到一次日全食。而月食一旦發生，處於夜晚的半個地球上的人都可以看到，對某一地區平均而言，人們看到月食的機會是發生月食次數的一半。正是這個原因，人們看到月食的機會要比日食多。
科學家研究發現，地球繞太陽和月亮繞地球的公轉運動都具有一定的規律，所以日食和月食的發生也具有其循環的周期性。因此，科學家根據18年11天8小時的沙羅周期來預測相同食的再度發生很有用。這是因為它和月球軌道的三種周期有關：交點月、近點月和朔望月。當食發生時，不是月球位於地球和太陽之間(日食)，就是地球介於太陽和月球之間(月食)，這種現象隻有在新月或滿月才會出現，因此決定月相變化的朔望周期為29.53天。如此一來，沙羅周期就與月食有關係了。但是，並不是每次的滿月或新月，地球或月球的影子都能落在相對的天體上，因此食要能發生，這三個天體還必須接近在同一條線上。而這種情況隻會出現在月球穿越黃道麵上的兩個交點(升交點或降交點)之一時，月球穿越黃道麵上同一個交點的周期經測定是27.21天。最後，如果食要有相同的現象和持續時間，那麼這兩次食的地球和月球還要有相同的距離，要出現相同距離的周期是近點月，時間間隔是27.55天。所以說，日食和月食具有周期性，而且要在一定條件下，才能發生相同的現象。
進一步了解得出，沙羅周期是223個朔望月的時間長度大約與242個交點月相似，而且與239個近點月接近(大約隻相差不到2小時)。這意味著經過一個沙羅周期，月球所經曆的朔望月、交點月和近點月幾乎都是整數，地球、太陽和月球三者的幾何關係幾乎完全一樣：月球在相同的交點上，有著相同的相位和與地球相同的距離。如果知道在某一天曾經發生過一次食，那麼在經過一個沙羅周期的時候，幾乎一樣的食還會再度發生。然而，沙羅周期(18.031年)與月球的運動周期(18.60年)並不相同。這是因為，如果以恒星為背景的話，即使地球、太陽和月球的幾何關係幾乎完全一樣，月球的位置仍然會有不同。
月食
由於沙羅周期的日數包含了1/3的分數，從而使得問題變得更為複雜。由於地球的自轉使得經過完整的沙羅周期當天發生的食將延後約8小時。在日食的情況下，這意味著能看見日食的區域將西移120°或是三分之一個球麵。因此，在相同的地點上，每三次隻能看見其中的一次。在月食的情況下，下一次的月食在相同的地點上看見月球在地平線上的時間可能是一樣的長，但如果等待三次沙羅周期(54年1個月，幾乎大約就是19756日)之後的月食會在當天幾乎相同的時間出現，這就是所謂的3沙羅周期或exeligmos(希臘語：“轉輪”)。而這個時間長度，也是我們常聽說的“沙羅周期”。
“沙羅”一詞在拉丁語裏是重複的意思。關於沙羅周期研究發現，每個沙羅周期平均約有71次交食，其中包括日食43次，月食28次。有了這個沙羅周期，人們就可以預報日食了。
1991年7月11日，曾經發生了一次日全食，掩食帶穿過拉丁美洲及太平洋地區。依據沙羅周期往前推18年零11天，1973年6月30日一定也發生了一次日食，查閱資料發現確有此事，那次日全食的掩食帶橫穿了非洲大陸。如果往後推一個沙羅周期的時間，人們就能算出2009年7月22日也將發生一次日食。事實證明的確如此，我國長江流域也發生了一次日全食。
由於沙羅周期與223個朔望月、239個近點月和242個交點月之間的關係並不是完美的，所以相隔一個沙羅周期的兩次食在幾何關係上還是有少許不同的。實際上，太陽和月球在合時的位置在每次沙羅周期的交點仍相差了大約0.5°。這樣一來就牽扯出一係列的食，因而每次看見的情形也都有少許的改變，這種現象被人們稱為沙羅序列。每個沙羅序列由偏食開始，每經曆一個沙羅周期，月球的路徑就會向北移(經過降交點的食)或向南移(經過升交點的食)。如果在某一個點上，食不再發生了，那麼這個序列也就結束了。
在西元前2000年至西元3000年，人們對完整的沙羅序列做了如下統計：每個序列大約持續1226年至1550年不等，每個序列有69至87次的日食，大多數都是71或72次。每個序列有39至59次中心食(多數是43次，包括全食、環食與全環食)。月食的序列沒有這麼長，任何時間都有大約40個不同的沙羅序列在進行中。無論月球在降交點或升交點(日食或月食)，沙羅序列都以數字來編號。奇數的數字表示發生在接近升交點的日食，偶數的數字表示發生在接近降交點的日食；但是，在月食這種數字的搭配中是相反的。沙羅序列的編號則是以最大食出現，也是最接近交點的時間來排列的。可見，沙羅周期與數學上的排列有著密切的聯係。
聽了沙羅周期與日月食的故事，你應該明白數學在天文學中的重要地位了吧。不論是沙羅周期還是日月食，都充分體現了數學的重要意義。由此可見，數學在生活中有著廣泛的應用。
6．人體健康中的數學化
血壓：120/80
膽固醇：180
低密度脂蛋白/高密度脂蛋白：179/47
甘油三酯：189
葡萄糖：80
體溫：98.7°F
這些數字是人體在健康情況下所顯示出來的。從這些數字可以看出，人體健康在數學中的應用。那麼，我們如何去研究人體中的數學化呢？
從現在醫學上來看，病人是在經受著數字和比率的轟擊。因為數字分析著我們的健康，分析著我們身體的功能如何。醫生們力圖確定正常數值的範圍。數字和數學看來到處都是。事實上，在我們的身體裏，我們的心血管係統網絡、被我們的身體用來引發動作的電脈衝、細胞相互聯絡的方式、我們骨骼的設計、基因的實際分子構造，這一切都具有數學原理。因此，在用數量表示人體功能的努力中，科學和醫學就求助於數字和其他數學概念。隨著現在醫學的發展，人們已經設計出一些儀器，把向體的電脈衝轉化成正弦曲線，從而使輸出得以比較。從心電圖、肌電圖、超聲波診斷結果上顯示出來的是曲線的形狀、振幅和相移。所有這些對於受過訓練的技術人員都是資料。由此可見，數字、比率和坐標圖是數學適用於我們身體的一些方麵。此外，一些數學概念還與我們的身體有著其他相關聯係。現在就讓我們一起來看一看吧。
在現代科技中，人們常常假設為，如果把密碼和瑪雅象形文字譯解出來是富有刺激性和挑戰性的，那麼人們也就可以想像自己能解開被身體用於通信的分子密碼。目前，在醫學界，醫學家們已經發現白血球與大腦相聯係。身心之間通過許多生物化學製品的總彙互相聯絡。從醫學的角度來看，譯解這些細胞間的通信密碼，將會對醫學界產生驚人的影響。這種細胞間譯解不僅可以增加人們對遺傳密碼的了解，而且還能揭示出健康領域的許多細節。DNA中雙螺旋線的發現是另一個數學現象。但是螺旋線並不是存在於人體中的惟一的螺線。等角螺線存在於許多關於生物生長的領域，但可能因為它的形狀不隨生長而改變。你可以在你頭上的頭發、你身上的骨頭、內耳的耳蝸、臍帶，或者你的指紋印跡的生長模式中找尋等角螺線。這些都是數學應用於人體的某些方麵。進一步研究表明，這些數學現象與人體的健康有著密切的聯係。
其實，物理學和物理性質也可以導致其他數學概念。身體是對稱的，這有助於使它獲得平衡和重心。脊柱的三條曲線除了實現平衡外，在健康方麵和使身體獲得體力以抬起自己的體重及其他負載方麵都很重要。藝術家們例如倫納多·達芬奇和阿爾布雷希特·丟勒都試圖表明身體符合各種不同的比例和量度，例如黃金分割。
更令人驚訝的是，混沌理論在人體中也有著它的位置。例如，在心律不齊的領域，正在研究混沌理論。對於心搏以及使某些人的心搏不正常的原因的研究也說明，心搏看來是符合混沌概念的。此外，腦和腦波的功能以及腦失調的治療也與混沌理論有關。這些雖然還沒有明確的答案，但是這種現象確實存在於人體。
在運用分子層次對人體進行研究時，人們也發現了數學的跡象。在侵入人體的各種病毒的形狀和形式中，存在著幾何形狀，例如各種多麵體和網格球頂結構。在艾滋病病毒（HTLV-1）中，發現了二十麵體對稱和一個網格球頂結構。DNA構形中的紐結點已經促使科學家們用紐結理論中的數學發現去研究由DNA鏈所形成的環和紐結。紐結理論中的發現和來自各種不同幾何學的概念已經被證明為遺傳工程研究中的無價之寶。可見，人體健康中可以用數學的不同概念來分析及解釋。所以，數學在人體健康中有著廣泛的應用。
人體健康與數學有著密切的聯係，我們要想發現更多的人體奧秘，就會借助數學的力量。因此，科學研究與數學的結合對人體功能的分析起著重要的作用，而且也是非常必要的。
7．用數學注釋的花園
花園也可以用數學來注釋？或許你還不相信，但事實的確如此。為了更好地了解數學在花園中的詮釋，我們先看一下發生在生活中的小故事。
太陽剛剛升起的時候，她來到自己的花園。她呼喊道，“早上好！”她絲毫不知道在葉片和沃土中潛藏著奇怪的東西。然而，在作物根部的深處還有分形和網絡，而在大波斯菊、蝴蝶花、金盞花和雛菊裏麵，還有斐波納契數正凝視著她。
她還和往常一樣，那麼細心地照料著她的花園。每到一處，總出現一些不平常的事情。但是，她忽視了一個重要的細節，因為她隻迷戀於自然界呈現在表麵上的美景。
她最先去整理她的蕨類植物。她在把枯死的蕨葉除去，使新的提琴狀頭部露出時，並沒有認識到等角螺線正在迎候著她，也沒有注意到蕨葉的分形狀構造。突然微風轉了方向，她才猛然聞到了忍冬花的香氣。放眼望去，她看到了它已越過籬笆，伸入豌豆叢中。她斷定確實需要將它仔細修剪一番。她不知道螺旋線正在起作用，即呈左手螺旋狀的忍冬花藤已經纏繞在呈右手螺旋狀的某些豌豆藤上了。為了防止它們損壞她新種的豌豆，她需要用手小心地侍弄著。
接著，她來到了為使花園產生一點民國情調而種下的棕櫚樹下麵除草。樹枝在微風中擺動，她卻沒有意識到漸伸線正在擦著她的肩頭。
棕櫚樹
每次來到玉米區域，她都是沾沾自喜地望著自己種的玉米。“哈！”她想。她對種植玉米曾經躊躇過，但終於因玉米幼株長勢喜人而決定種植。但她卻不知道玉米粒的三重聯結就在玉米穗中形成。因為，她隻知道，玉米帶給她的喜悅。
她看著整個花園正在逐步成形，植物也正在茁壯成長，這景況是多麼令她高舉啊！在讚美槭樹上新的綠葉時，她知道它們的形狀中蘊藏著某種可愛的東西──自然界的對稱線是很盡職的。對於自然界的葉序，隻有那些受過訓練的眼睛，才會從萌生在植物枝莖上的葉子中看出。
這時，她正在舉目四顧，一片胡蘿卜的土地把她的注意力吸引過去。她對胡蘿卜的長勢感到驕傲，並且注意到需要把它們弄得稀疏些，以保證收獲到個頭均勻而且大小合宜的胡蘿卜。但她沒想過讓自然界用胡蘿卜來鑲嵌空間。
與此同時，她也沒有意識到她的花園中到處都是等角螺線。它們存在於雛菊和其他花卉的頭狀花序之中，許多生長著的東西會形成這種螺線。它們之所以會形成這種螺線，是因為它們在長大時也要保持形狀的不變。