希爾伯特問題
在1900年8月巴黎國際數學家代表大會上，著名數學大師希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用。希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。
希爾伯特在這次著名的講演中所闡述的每個數學問題都可以解決的樂觀信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。
希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6個問題是數學基礎問題；第7到第12個問題屬數論範疇；第13到第18個問題屬於代數和幾何範疇；第19到第23個問題屬於數學分析範疇。
（1）康托的連續統基數問題。
1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。
1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明了連續統假設與ZF集合論公理係統的無矛盾性。
1963年，美國數學家科思證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。
（2）算術公理係統的無矛盾性。
歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。
哥德爾1931年發表不完備性定理做出否定。
根茨1936年使用超限歸納法證明了算術公理係統的無矛盾性。
（3）隻根據合同公理證明等底等高的兩個四麵體有相等的體積是不可能的。
問題的意思是：存在兩個等高等底的四麵體，它們不可能分解為有限個小四麵體，使這兩組四麵體彼此全等。
德思1900年已解決。
（4）兩點間以直線為距離最短線問題。
此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限製條件。
1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。
（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。
這一個問題簡稱連續群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。
1952年，由格裏森、蒙哥馬利、齊賓共同解決。
1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。
（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。
1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方麵取得成功。
對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人存有懷疑。
（7）某些數的超越性的證明。
蘇聯的蓋爾封特在1929年、德國的施奈德及西格爾在1935年分別獨立地證明了其正確性，但超越數理論還遠未完成。
目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。
（8）素數分布問題，尤其是黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數問題。
素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決，其最佳結果均屬中國數學家陳景潤。
（9）一般互反律在任意數域中的證明。
1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷各自給以基本解決。
類域理論至今還在發展之中。
（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？
求出一個整數係數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。費馬大定理是其中最著名的一個。
1950年前後，美國數學家戴維斯、普特南、羅賓遜等取得了關鍵性的突破。
1970年，巴克爾、費羅斯對含兩個未知數的方程取得肯定結論。
1970年，蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下答案是否定的。