——無理數的發現
上回說到泰勒斯與一群人在金字塔下議論，到底世界是什麼。有的說是水，有的說是氣。不料更有怪者，數年後他的一個學生卻說世界是“數”。這個學生叫畢達哥拉斯（公元前572—前492年）。
畢達哥拉斯從小就極聰明，一次他背著柴火從街上走過，一位長者見他那捆柴火的捆法與別人不同，便說：“這孩子是數學奇才，命中該成為一個大學者。”他聞聽此言，便摔掉柴捆南渡地中海到泰勒斯門下去求學。真是名師出高徒，畢達哥拉斯本就極聰慧，經泰勒斯一指點，當時許多數學難題在他的手下便迎刃而解。比如，他證明了三角形的內角和等於180°；算出你要用瓷磚鋪地，則隻有用正三角、四角、六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿；證明了世界上隻有五種正多麵體，即：正四、六、八、十二、二十麵體。他還發畢達哥拉斯銅像現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數，直到畢達哥拉斯數。但他最偉大的成就要算是發現了後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理（勾股弦定理），即以直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的麵積之和，等於以斜邊為邊長的正方形的麵積：a>2+b>2=c>2。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟裏見匠人們用方磚鋪地，常要計算麵積，於是便發明了此法。
這定理是提出來了，用起來也確實方便，但是怎麼從理論上加以證明呢？
正是：
畢氏無心一道題，費盡後人多少力。
自從這個定理問世以來，東西方不知有多少數學家來設法證明，真是百花齊放，各有所妙。這都是後話。我國在清朝初年有一位數學家叫梅文鼎（1633—1721年），他發明的一種證法卻極簡便，隻需用一張硬紙，剪上幾刀，一拚就知，列位如有興趣不妨一試。
畢達哥拉斯定理
再說這畢達哥拉斯將那數學知識運用得純熟之後，覺得這實在是一套了不得的本事，不能隻滿足於用數來算題解題，於是他要試著從數學擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出“凡物皆數”的命題。認為數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會，入會者都宣誓不把知識泄露給外人，這樣他才肯向他們傳授數學。可見當時才萌芽的數學是多麼神秘。畢達哥拉斯死後大約五十年，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
梅文鼎的證明
將大方框c裏的1、2三角形調到框外，正好可變成兩個小方框a和b。證明：a>2+b>2=c>2
這天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著遊船出來領略一下山水風光，以驅散一天的疲勞。這地中海海濱，藍色的海灣環抱著品都斯山，長長的希臘半島伸進海麵，就像明亮的鏡子上鑲著一粒珍珠。這天，風和日麗，海風輕輕吹來，蕩起層層波浪，大家心裏好不高興。一個滿臉胡子的學者看著廣闊的海麵興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論一點不錯。你們看這海浪一層一層，波峰波穀，就好像奇數、偶數相間一樣。世界就是數字的秩序。”
“是的，是的。”這時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”
“我看不一定。”這時船尾的一個青年學者突然發話了，他冷靜地說：“要是量到最後，不是整數呢？”
“那就是個小數。”
“要是這個小數既除不盡，又不能循環呢？”
“不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數直接準確地表達。”
這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣說道：“並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示。就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。”