【三角形數】能夠表示成三角形形狀的總數量的自然數，叫做三角形數。
例如，1，6，10，等都是三角形數。
【正方形數】能夠表示成正方形形狀的總數量的自然數，叫做正方形數。
例如，1，4，9，16等都是正方形數。
正方形數也叫做完全平方數。即一個完全平方數等於某一個數的平方。
【完全數】如果一個數等於除了它本身以外它的一切約數的和，那麼這個數叫做完全數。
例如，數6除了它本身以外，它的一切約數是1，2，3，所以6是一個完全數。
【不足數】如果一個數大於除了它本身以外它的一切約數之和，那麼這個數叫做不足數，所有質數都是不足數。
【富裕數】如果一個數小於除了它本身以外它的一切約數之和，那麼這個數叫做富裕數。
【孿生質數】差是2的兩個相鄰質數，叫做孿生質數，也叫做雙生質數。
孿生質數有：3，5，5，7，11，13，17，19，29，31，……
孿生質數有無窮多對，這是一個猜想，還沒有得到證明。
我國古代數學書《周髀算經》說：“勾廣三，股修四，徑隅五。”翻譯成白話就是說：“勾三，股四，弦五”，它們正好是一個直角三角形的三個邊。
公元263年，我國數學家劉徽注《九章算術》提出了一些勾股數。
【幻方】把自然數排入一個正方形格子中，使各行、各列以及各對角線上的各數之和都相等，這樣的圖叫做幻方，也叫做縱橫圖或魔方。
我國早在漢代已有三行的縱橫圖，也稱九宮。
【縱橫田】見“幻方”。
【篩法】是從自然數找出質數的方法。它是公元前三百年左右，由著名的數學家埃拉托色尼提出的，所以也叫做埃拉托色尼篩法。
篩法的根據是：對於一個正整數，如果不能被這個正整數的任一正整數所整除，那麼這個數必為質數。
篩法的步驟：
依次寫出2，3，4，5，……留下第一個數2，之後每隔一個數劃去一個數（也就是篩去2的倍數）：
2，3，4，5，6，7，8，9，18，……；剩下2以後的第一個沒有被篩去的質數是3，把3留下，劃去以後的3的倍數：
剩下3以後的第一個沒有被篩去的質數是5，留下5，再把5以後的5的倍數的數劃去。
如此繼續做下去，一直篩到所有的質數的倍數都劃去為止，剩下就是它的質數。
【勾股數】如果有三個正整數2，3，5，7，9，11，13，15，……
【不定方程】未知數的個數多於方程的個數的方程，叫做不定方程。
不定方程一般有無限多個解，特別是整係數方程求正整數解的問題，是不定方程的重要一類，最早曾被古希臘數學家丟番都所研究，故也稱為丟番都方程。
【同餘】如果兩個整數各用整數積來除，所得的最小正整數餘數相同。則稱。
【同餘方程】如果在含有未知數的同餘式中，僅僅對於未知數取某些整數值時才能使同餘式成立，那麼這種同餘式叫做條件同餘式，或稱同餘方程。
【有限與無限連分數】分數中都是正整數。如果它是（無限個）叫做無限連分數；如果是有限個叫做有限連分數。有限連分數與無限連分數統稱連分數。
【哥德巴赫猜想】1742年，德國數學家哥德巴赫發現了這樣的事實：每一個大於或者等於6的偶數都是兩個奇質數之和。他於是寫信告訴當時著名的數學家歐拉，要求歐拉對這二事實從理論上加以證明。歐拉對這一事實無法證明，於是它成為猜想，引起了曆代數學家們的廣泛重視，並試圖證明這一猜想。可是直到19世紀，對這一猜想的證明還沒有取得任何進展，它於是成為著名的哥德巴赫猜想。
本世紀以來，對哥德巴赫猜想的研究不斷取得進展。特別是1966年，我國數學家陳景潤在前人證明成果的基礎上，通過他自己刻苦的努力證明了每一個大偶數都能表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積的和。這個結論的證明結果於1973年公布後，被世界上稱為陳氏定理。
【孫子定理】在我國古代的《孫子算經》裏提出這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?”答曰：“二十三”。
這個問題按今天的話說，就是：“有一堆物品，分成三個一組時，剩下二個；分成五個一組時，剩下三個；分成七個一組時，剩下二個，問這堆物品有類少?”“答案是二十三。”
這個問題通常稱為“孫子定理”。國外的書籍上把這個定理叫做“中國剩餘定理”。
孫子定理的解法，在明代程大位的《算法統宗》一書裏用一首歌謠的形式表達出來，那就是：
“三人同行七十稀，七子團圓正半月，五樹梅花廿一枝，除百零五便得知。”
把這首歌謠通俗地翻譯出來就是：用3數的剩餘乘70，用5數的剩餘乘21，用7數的剩餘乘15，把所得的各個結果相加後，再減去105的倍數，所得的結果就是所求的，
所以，這個問題所求的最小正整數解是23。以上解法的道理在於：
被3，5整除，而被7除餘1的最小正整數是15；被3，7整除，而被5除餘1的最小正整數是21；被5，7整除，而被3除餘1的最小正整數是70。因此，被3，5整除，而被7除餘2的最小正整數是30；被3，7整除，而被5除餘3的最小正整數是63；被5，7整除，而被3除餘2的最小正整數是140於是，和數必具有被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的性質。
但是所得的結果是233，不一定是滿足上述性質的最小正整數，所以還要減去3，5，7的最小公倍數105的若幹倍，直到其差小於105為止。
所以，23就是滿足上述問題要求的最小正整數。
【百雞問題】這是我國古書《張丘建算經》中的問題。這個問題說：“雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？”
這個問題按現在的話說，就是：“公雞一隻值五文錢，母雞一隻值三文錢，小雞三隻值一文錢，用一百文錢，買一百隻雞，問其中公雞、母雞、小雞各買幾隻？”
這個問題可以用如下解法：
設公雞、母雞、小雞的數目分別為未知數，依題意，列方程，求出正整數解，都滿足問題要求，因此，它們是解。
【幾何三大古典作圖問題】大約在公元前400年，古希臘人提出了三個幾何作圖問題：