第一節 數學的本質
數學是研究現實世界數量關係和空間形式的科學，事物的數量和空間形式是事物的重要特征。隨著生產力、科學技術的不斷發展，人們愈來愈多地要求對自然現象作定量的研究，辯證法中“量變質變規律”，就是總結了自然界、社會和思維發展的一條普遍規律。形狀與結構是物體的一個基本特征，腦科學的研究認為，形狀與結構的視覺分析，在人的視感知中起著首要作用。因此，對客觀事物的數量的關係和空間形式的研究，是對現實世界深刻的反映，它對於人類認識自然和改變自然起著十分重要的作用。因此，數學成為學生學習的一門基礎課程。
客觀具體事物是多種多樣、形形色色的，數學的研究舍棄它的具體內容和質的特點，隻研究其數量的或空間形式的關係和規律。比如說，三個人、三張桌子、三塊布。我們不是去研究三個人是男人或女人，三張桌子是書桌或餐桌，三塊布是白布或是花布等等內容，而是研究它們共同的數量“三”，研究這個數和其它數的關係。又如一堵長方形的牆、一塊長方形的黑板、一張長方形的紙，我們不去研究這堵牆、這塊黑板、這張紙用什麼材料做的，它的質地等等，而隻是研究“長方形”和其它圖形的關係。正是由於數學的這個本質特點，必然導致數學的研究是抽象的，它的推導是邏輯的。
數學的抽象性和邏輯性的特點，容易使人錯誤地認為數學是一門由純粹的思維所產生而不是從經驗中產生的科學，曆史上就有這種錯誤的思想。我們必須指出，這種認識是錯誤的。數學是反映現實世界的，它的最初的基本的概念和原理，是以經驗為基礎的，關於這一點，恩格斯有精辟的論述：“數和形的概念不是從其他任何地方，而是從現實世界中得來的。人們曾用來學習計數，從而用來做第一次算術運算的十個指頭，可以是任何別的東西，但是總不是悟性的自由創造物。為了計數，不僅要有可以計數的對象，而且還要有一種在考察對象時撇開對象的其他一切特性而僅僅顧到數目的能力，而這種能力是長期的以經驗為依據的曆史發展的結果。和數的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是在頭腦中由純粹的思維產生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然後才能構成形的概念。純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關係，所以是非常現實的材料。這些材料以極度抽象的形式出現，這隻能在表麵上掩蓋它起源於外部世界的事實。但是，為了能夠從純粹的狀態中研究這些形式和關係，必須使它們完全脫離自己的內容，把內容作為無關重要的東西放在一邊；這樣，我們就得到沒有長寬高的點、沒有厚度和寬度的線，a和b與x和y，即常數和變數；隻是在最後才得到悟性的自由創造物和想象物，即虛數。甚至數學上各種數量的明顯的相互導出，也並不證明它們的先驗的來源，而隻是證明它們的合理的相互關係。矩形繞自己的一邊旋轉而得到圓柱形，在產生這樣的觀念以前，一定先研究了一定數量的現實的矩形和圓柱形，即使它們在形式上是很不完全的。和其他一切科學一樣，數學是從人的需要中產生的：是從丈量土地和測量容積，從計算時間和製造器皿產生的。但是，正如同在其他一切思維領域中一樣，從現實世界抽象出來的規律，在一定的發展階段上就和現實世界脫離，並且作為某種獨立的東西，作為世界必須適應的外來的規律而與現實世界相對立。社會和國家方麵的情形是這樣，純數學也正是這樣，它在以後被應用於世界，雖然它是從這個世界得出來的，並且隻表現世界的聯係形式的一部分——正是僅僅因為這樣，它才是可以應用的。”（馬克思恩格斯選集.第三卷.北京.人民出版社.1973年版.77.78頁）
我們小學數學教學的實踐，也充分地證實了上述觀點。小學生開始學習數字時，是從實際操作起步的。學習1+1=2，老師指導學生反複地操作桌上的學具，一邊操作，一邊說。學習數位、計算單位時，老師指導學生操作“數位筒”，也是反反複複地操作的。這種從學生身邊事物通過實際操作來認識數的方法，既符合數學本身的特點，也是符合兒童認知規律的。學生學習應用題，數字是從實際中來，然後又用來解決實際問題。這些都是反映了數學的本質。