他旋動數學的透鏡注視著數學本身，偶然間他發現了著名的“不完全定理”——它像—支錐子穿透了形式主義的心髒。
1906年卡特·哥德爾生於布倫城，那時布倫是奧匈帝國的領土，現在它屬於捷克共和國的一部分。他的父親是一家紡織廠的經理，喜愛邏輯學和進行推理，他的母親則一直提倡對自己的獨生子要盡早教育。10歲之前，哥德爾一直在學習數學、宗教和好幾種語言。到25歲時，他已經提出了被許多人認為是20世紀最重要的數學成果的“不完全定理”。1931年，哥德爾提出了他的發現，引起了人們的震驚和迷茫。它表明，世界上最著名的數學家的將近一個世紀的努力是注定要失敗的。
為了對哥德爾的理論表示讚賞，去理解那個時代數學怎樣被感知，是一件殘忍的事情。
多少個世紀以來，人類處於典型的泥水不分的混沌狀態，那時人的模糊直覺和明白無誤的邏輯思考是攪和在一起的，直到19世紀末期，數學才終於有了發展。所謂的形式體係被設計了出來，就像從樹幹上長出了枝丫，定理從推論公理中生了出來。形式體係表明，得出定理的過程必須從某個地方開始，並且這個地方一定是存在公理的地方，它們是原始的種子，是其他數學結論的源泉。
機械數學觀的優點是它剔除了所有思考和判斷的需要。隻要公理是正確的敘述，並且隻要推理的法則是正確的，數學就不會出軌，謊言就不會輕而易舉地得逞。
為了發揮標準數字、加號、括號及其他符號的優勢，人們經常把文字敘述寫成用一係列符號表示的形式體係。但是，那時這些符號並不是數學的一個必要特征。雖然文字敘述同樣被用來表示李子、香蕉、蘋果和橘子，然而那時候，數學敘述（由任意符號構成）越來越明顯地成為數學的一種單純的精確的結構模式。
很快，少數幾個有遠見的人物開始懂得了數學敘述的特點，哥德爾即是他們中的佼佼者，這種看待事物的方式打開了數學的一個新的分支學科——抽象數學。常用的數學分析方法是與抽象數學的模仿一萌芽階段相聯係的，這一階段形成了形式體係的本質——數學本身被假設為抽象數學的原始樣本。這樣數學就像一條自食的蛇一樣又扭過頭來盤住了自己。
哥德爾表明，怪異的結論恰恰來自用數學透鏡觀看數學本身時的聚焦過程。理解這一結論的方法之一就是想象在一顆遙遠的行星上（比如說火星），所有用於寫傳奇作品的符號碰巧是我們平時用的0～9的阿拉伯數字。這樣，火星人將會在他們教科書中討論一個著名的發現，他們會發現地球上的我們與歐幾裏德有關，而同時我們會說：“他們的作品中有許多素數，”他們寫的東西則像這樣：“8445329844508787866873070005766619463864545067111。”對我們來說它像一個46位的數字。而對火星人來說，它根本不是數字，而是一句陳述語。的確，對他們來說，他們寫的這些素數代表著34個字母，6個單詞和幾行話，就像我和你應用英文字母一樣。
現在讓我們來想象著討論一下所有的數學定理之間存在的普遍屬性。如果我們查找火星人的教科書，我們看到的所有定理都隻是純粹的數字而己。因此我們可能創造出一條複雜的定理，以分辨哪些數字可以出現在火星人的教科書中，而那些數字從不在那兒出現。當然，我們不願意談論數字，而更願意談論那些形似數字的符號鏈。並且，或許對我們來說，讓我們忘記這些符號鏈對火星人的意義，而僅僅把它們看成是古老的數字，這並不是一件容易的事。
通過這一簡單的換位透視法，哥德爾找到了更深奧的力法。哥德爾的方法是去想象著研究什麼能夠被稱為“火星人創造的數字”（那些數字實際上是火星人教科書中的定理），並且他試著提出諸如此類的問題：“8030974是否是火星人的創造？”這個問題的意思是，像“8030974”這樣的敘述會不會在一本火星人教科書中出現？