華佗
不怕威脅、不為利誘的醫生
華佗也是一個為我國廣大人民所尊崇、懷念的名醫。
華佗生於公元2世紀（在東漢和三國間），比扁鵲要遲六七百年。他是沛國（治所在今安徽宿縣西北）譙（今安徽亳州）人。他從小就能刻苦鑽研學問，精通各種經書，尤其喜愛研究醫學和養生的方法。後來他去徐州（州治在今山東郯城西南）遊學，拜名醫做老師，再加上自己不斷的努力，終於獲得了淵博的醫學知識。內科、外科、婦科、小兒科和針灸科等，他樣樣精通，外科醫術尤其高明，因而後世尊稱他為外科的祖師。他醫病的方法很多，而且簡便易行，用藥不過幾種，給病人針灸，取穴也不過幾處，但療效很高，當時的人都稱他為神醫。
華佗除了有非常高明的醫術以外，還有不慕名利的可貴品質。沛國相陳珪曾經推薦他做孝廉，太尉黃琬也曾征聘他去做官，他都一概拒絕了。他寧願捏著金箍鈴，到處奔跑，為人民大眾治病。彭城（今江蘇徐州市）、廣陵（今江蘇揚州市）、甘陵（今山東臨清市）、鹽瀆（今江蘇鹽城西北）、東陽（今山東恩縣西北的東陽城）、琅玡（今山東臨沂市北）一帶，是華佗當時的主要行醫的地方，這一帶的人民沒有不讚揚他的。到現在，江蘇徐州還有華佗的紀念墓，沛縣也還有華祖廟。
三國時的曹操常常患頭風眩，醫了好久沒有見效，聽說華佗的醫術高明，就請他醫治。華佗替他紮了一針，頭便不痛了，因此曹操強要華佗當自己的侍醫（私人醫生），供他一個人使喚。華佗既是一個不慕名利的人，當然不願意做曹操的侍醫。他借口妻子有病，告假回家，不再到曹操那裏去了。曹操憤怒極了，派人到華佗家裏去調查。曹操對派去的人說：如果華佗的妻子果然有病，就送給他小豆四十斛（一斛就是一石）；要是沒有病，就把他逮捕來辦罪。
傳說華佗被逮捕送到曹操那裏以後，曹操仍舊請他治病。他給曹操診斷了以後，對曹操說：丞相的病已經很沉重，不是針灸可以見效的了，我想還是先給你服“麻沸散”（解說見後），然後剖開頭顱，施行手術，這才能除掉病根。曹操認為華佗有意謀害他，大發脾氣，把華佗關進牢獄裏。後來，華佗就被曹操殺害了。
在被逮捕送往曹操那裏去的路上，華佗還給人治病。被關進牢獄以後，他知道曹操不會放過他的，於是抑製住悲憤的心情，逐字逐句地整理他的三卷醫學著作——《青囊經》，希望把自己的醫術流傳下去。這三卷著作整理好以後，華佗把它交給牢頭，牢頭不敢接受。在極度失望之下，華佗把它擲在火盆裏燒掉。牢頭這時候才覺得可惜，慌忙去搶，隻搶出一卷，據說這一卷是關於醫治獸病的記載。
從這裏可以看出華佗是一個有骨氣的人，他具有不怕威脅，不為利誘的高貴品質。
華佗沒有留下專門著作。這是我國醫學的一個重大損失。《中藏經》、《華佗方》等醫書，雖被人認為是他的著作，實際上卻都是後人假托的。
華佗的弟子有吳普、李當之、樊阿等人。吳普著有《吳普本草》，李當之著有《本草經》，樊阿精於針灸，在醫學上都有很大的成就。
麻醉術的發明者
華佗在醫學上的貢獻很大。華佗最出色的是外科手術。為了施行手術的需要，他總結前人的經驗，利用酒能夠使人麻醉的性能，發明了“麻沸散”。病人用酒服麻沸散後，便會完全失去知覺，剖腹割背也不會感到痛苦。華佗除用手術來治外科病以外，還常用外科手術來醫治內髒的疾病。華佗能把內髒的病變部分割掉，或者加以洗滌。動了手術以後，傷口用絲線縫合，敷上特別配製的藥膏，據說四五天後便可以愈合，一個月左右便可以平複。
麻沸散的配製方法，早已失傳，後人雖有種種推想，但都不可靠。不過，華佗在一千七百年前已經能用麻醉法來進行外科手術，則是毫無疑義的。這是他對祖國醫學上的一個卓越的貢獻。
外科絕技
關於華佗的高明的外科手術，流傳下來許許多多的故事。
據說有一次，華佗家裏送來了一個肚子痛得十分厲害的病人。華佗按了病人的脈搏，再按撳了他的肚子以後，斷定這個人患的是腸癰（就是盲腸炎）。華佗認為針灸已經遲了，非開刀不可。於是他就給病人服了麻沸散，並施行了剖腹手術，割去潰爛的盲腸，然後再用絲線紮好，敷上藥膏。經過華佗的手術以後，這人的病就完全好了，不久傷口也結上了疤，一個多月以後就能幹活了。
又有一次，一個孕婦請華佗看病，華佗診斷這婦人是受了傷，但胎兒還未落下來。婦人的丈夫知道自己妻子受了傷以後，胎兒已經落下來了，認為華佗的診斷不太正確，不要華佗給她治療。過了一百天左右，這婦人又來找華佗了。華佗診察了以後，仍舊斷定胎兒沒有下來，並且說，她原來懷的是雙胞胎，上次落下了一個胎兒，失血過多，身體大大虧損，因而留在肚子裏的胎兒也不能生長了。華佗還斷定這胎兒已經死了，要是不把這個已死的胎兒弄下來，產婦就活不成了。於是華佗先給產婦紮針和服藥，服藥以後，產婦雖然肚子很痛，但胎兒還是下不來。於是華佗請另外一個婦人給這個孕婦按摩，果然取下一個死胎。
還有一個病人，肚子的中部痛了十多天，胡子和眉毛都因而脫落了，來請華佗診治。華佗認為是脾髒腐爛，應該剖腹割治。經過華佗把他內髒的腐爛部分割掉，敷上藥膏，並給他服了湯藥，一百天以後，這人也恢複了健康。
神醫華佗塑像小說《三國演義》裏還有華佗替關羽“刮骨療毒”的故事。據說關羽鎮守襄陽（今湖北襄陽縣）的時候，在戰場上中了毒箭，臂膀紅腫，請華佗醫治。華佗建議關羽服麻沸散後再動手術，關羽認為不必服麻沸散。於是華佗把關羽的手臂縛在木架上，用刀割去腐爛的皮肉，一直刮到骨頭上，關羽卻一麵下棋飲酒，談笑自如。經過華佗手術以後，關羽才沒有喪命。這事雖然不見於史書，但《襄陽府誌》裏卻有這段記載。
華佗給人治病總是靈活地根據病人的實際情況，找出病源，然後決定療法，決不為表麵的現象所迷惑，也決不生搬硬套。例如，有兩人都頭痛發熱，一同來請華佗治病。一個叫倪尋，一個叫李延。華佗細細診察了他們的病情以後，知道兩人的病象雖然相像，但致病的原因不同，於是給倪尋吃瀉藥，而給李延吃發散的藥。當時有人問華佗說，他們兩人患同樣的毛病，為什麼給他們服不同的藥品？華佗就告訴他，倪尋是傷食（吃東西太多而生的病），李延是外感（受冷感冒），病狀相同而病源不同，所以給他們吃的藥也就不同。倪尋和李延服藥以後，到了第二天，病都好了。
華佗還能用心理療法來醫治疾病。相傳有一個郡守病了，請華佗給他醫治。華佗診斷出他的病不是一般藥物可以醫治的，而隻有在大怒之下才可痊愈。因此，華佗不給他開藥方，反而向他索取了很多的診金，並且大擺架子。幾天以後，華佗偷偷地走開，留下一封信，信裏把郡守大罵一通。果然不出華佗所料，郡守因為他的這種無禮舉動大為憤怒，派人追捕，要把華佗殺掉。郡守的兒子知道內情，故意阻止。這使郡守越發激怒。盛怒之下，郡守吐了一攤黑血，病也就好了。這個傳說雖然不一定可靠，但無疑是對華佗靈活運用心理療法醫治疾病的讚揚。
傳說華佗還用冷水浴來給人治病。有個婦人患寒熱病，經年不能痊愈，去找華佗給她醫治。當時正是十一月裏，天氣非常寒冷，華佗叫她坐在石槽裏，用冷水澆灌，然後用火來使她溫暖，並且用厚被把她蒙蓋起來。這婦人出汗以後，病果然痊愈了。
華佗也很善於用民間單方來治病。據說有一次華佗在路上遇著一個因咽喉阻塞吃不下東西而呻吟著的病人。華佗告訴他可以向路旁賣餅的人買三兩蒜齏和三升酸醋，調好後吃下去，病就可以治好。病人依照他的話做了，不一會就吐出一條蟲來，病也就完全好了。
“五禽之戲”和華佗的成就
華佗除了有很高明的醫術以外，還是醫療體育的創始人。他繼承並且發揚了我國古代“聖人不治已病，治未病”的傳統思想，否定了方士可以使人長生不老的鬼話，批評了單純的醫療觀點。他認為每個人都應該進行體育鍛煉，來增強體質、預防疾病，以達到延年益壽的目的。這是華佗對人們健康的另一貢獻。
華佗常用“戶樞不蠹，流水不腐”這兩句話來說明他的這種思想。這意思是說：譬如門上的轉軸，由於天天轉動，所以不至於被蟲蛀壞；流著的水，也因為經常在運動，所以不會腐敗發臭。根據這個原則，華佗創造出一種叫做“五禽之戲”的體育活動來。
所謂五禽，就是虎、鹿、熊、猿、鳥。華佗把虎的撲動前肢、鹿的伸轉頭頸、熊的臥倒身子、猿的腳尖縱跳、鳥的張翅飛翔等動作，聯係起來，編成一整套使全身肌肉和關節都得到舒展的體操。他的弟子吳普和樊阿用這方法來鍛煉身體，增強了體質。吳普到90多歲時，聽覺和視覺都很好，牙齒也很堅固；樊阿活到100多歲，身體也很健康。華佗把這套鍛煉身體的方法，到處推廣，使很多的人受到好處。
華佗在一千七百年前就創造了這樣一套合乎科學的醫療體育和鍛煉身體的方法，是他留給我們的寶貴遺產。
華佗在醫學上所以能夠獲得這樣巨大的成就，除了他的刻苦鑽研、虛心學習以外，同時也由於他能勇於打破迷信、不受傳統的束縛而又能接受前人有用的遺產，由於他能重視人民大眾寶貴的經驗。
用湯藥和針灸等方法治不好的內髒病症，便用外科手術來治療，這是華佗的重大貢獻。但這種治療方法在當時卻受到醫學界有守舊思想的人的攻擊，他們認為用剖割手術會使人的元氣大受損傷，經過剖割手術的人，即使不死，也活不長久。這些人的攻擊並沒有使華佗畏縮不前，他為了替人們解除痛苦，毅然決然地繼續鑽研並利用外科手術來治病，以事實來回答這種攻擊。結果，華佗博得了廣大人民的信任，把我國醫學向前推進了一步。
五禽之戲是華佗批判地接受前人遺產的好例子。從秦朝以來，迷信修仙的人講究“導引”，這就是模仿動物的動作，活動全身，以求長生不老的方法。華佗拋棄了其中的迷信部分，而吸收了合理的部分，並且加以發展和係統化，因而創造了這一套合乎科學的鍛煉身體的方法。
上麵說到華佗用蒜齏和醋這個民間單方來醫治寄生蟲病，是他重視人民大眾寶貴醫療經驗的證明。華佗一生遊曆了不少地方，到處采集草藥並且向老百姓請教，他把所獲得的豐富知識加以總結和提高，並因病人的特殊情況而決定醫治方法和用藥的分量，所以能夠得到很好的醫療效果。相傳有一個樵夫在深山裏迷了路，肚子很餓，看見有個隱士在采黃芝吃，他也采了幾枚，吃了很耐餓。樵夫回家後把這事告訴華佗，華佗就上山去采集，經過實驗證明黃芝有很高的營養價值。華佗就用黃芝來配入藥方，作為強壯劑。這也是一個很好的例子。
華佗替人治病也是處處從實際需要出發的。東漢末年是一個軍閥混戰的時代，安徽、山東、江蘇一帶，戰事尤其頻繁。在戰爭中被殺傷的人很多，對於外科的需要自然是很迫切的，華佗因此特別努力於外科醫學的鑽研，他發明麻醉法和能掌握非常高明的外科手術，都與這種實際需要有關。
劉徽
劉徽，淄鄉（今山東鄒平）人。生卒年不詳，活動於公元3世紀，數學家。
劉徽自述“幼習《九章》，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注”。《晉書》、《隋書》之“律曆誌”稱“魏陳留王景元四年（263）劉徽注《九章》”。《九章算術注》原10卷，第10卷“重差”為劉徽自撰自注，大約在南北朝後期單行，《九章算術》圓田術及劉徽注書影因其第l問為測望海島之高、遠，遂稱為《海島算經》。唐李淳風編纂《算經十書》，劉、李注《九章算術》與《海島算經》並列為其中的兩部。劉徽又著《九章重差圖》l卷，已失傳。劉徽在北宋大觀三年（1109）被封為淄鄉男。同時所封60餘人，多依其裏貫。據《漢書》“地理誌”、“王子侯表”以及北宋王存《元豐九域誌》所載資料考證，淄鄉在今山東省鄒平縣境，漢淄鄉侯為文帝子梁王劉武之後。
《九章算術》及劉徽前的中國數學
劉徽登上數學舞台時，麵對著一分堪稱豐厚而又有嚴重缺陷的數學遺產。其基本情況是：世界上當時最先進的十進位值製記數法和計算工具算籌在中國使用已千年左右，算籌的截麵已由圓變方，長度縮短為8～9厘米，籌算四則運算法則已確立。西漢張蒼、耿壽昌在先秦遺文基礎上刪補而成的《九章算術》集先秦到西漢中國數學知識之大成，並在東漢成為官方製造法定度量衡器所依據的數學經典。《九章算術》包括方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九部分內容，奠定了中國古代數學的基本框架；提出了近百個一般性公式、算法，確立了以計算為中心的特點；含有246個應用題，體現了數學密切聯係實際的風格；確定了中國古代數學著作算法統率應用問題的基本形式。它提出了完整的分數四則運算法則，比例和比例分配法則，開平方、開立方法則，盈不足術，方程術（即線性方程組解法），正負數加減法則，若幹麵積、體積公式及解勾股形公式，除個別失誤外，都是正確的，許多成就處於當時世界領先地位。《九章算術》之後，中國數學著述采取兩種形式，一是為《九章算術》作注，一是以《九章算術》為楷模編纂新的著作。但是，《九章算術》隻有術文、例題和答案，沒有任何證明。漢魏時期，許多學者如馬續、張衡、鄭玄、劉洪、徐嶽、闞澤等都研究過《九章算術》，他們的著作失傳，但由劉徽《九章算術注》中“采其所見”者，可以了解其大概。數學家們力圖改進圓周率值，成績卻不理想，如張衡求得π=10，可見並未找到求圓周率的正確方法。人們廣泛使用出入相補方法證明幾何問題。對平麵圖形，後人稱作圖驗法，在直線形中，它是可靠的，但在曲線形中，卻不能真正完成證明。對立體圖形，後人稱作菜驗法。劉徽說：“說算者乃立菜三品，以效高深之積。”三品扥即長、寬、高均1尺的立方、塹堵（斜解立方得兩塹堵）、陽馬（即直角四棱錐，斜解塹堵得一陽馬，及一鱉臑，即各麵均為勾股形的四麵體）。一般說來，扥驗法隻可用來驗證標準形立體（即可分解或拚合成三品扥者）的體積公式，對一般情形則無能為力。人們在論證圓錐、圓亭、球等體積公式時，采用比較其底麵積的方法。這是祖瞘原理的最初階段。齊同原理在數學計算中已經使用。總之，人們盡管在論證《九章算術》公式的正確性上作了可貴的努力，為劉徽采其所見準備了豐富的資料，但這些方法多屬歸納論證，對《九章算術》大多難度較大的算法尚未給出嚴格證明，它的某些錯誤沒有被指出。劉徽之前的數學水平沒有在《九章算術》的基礎上推進多少，這就給劉徽“探賾之暇，遂悟其意”，留下了馳騁的天地。自然，他的業績主要在數學理論方麵。
算法及其綱紀——率
長於定量分析，以算法為中心，是中國古代數學的特點。《九章算術》上百個一般性公式、解法，每個都是一種算法，除個別失誤外，都具有完全確定性、普適性和有效性等現代算法理論對算法的要求。劉徽《九章算術注》的主要篇幅在於對《九章算術》算法的正確性進行證明論述。進行計算，關鍵在於找到一種量作為標準，進而找到各種量之間的關係，這就是率。率的本意是規格、標準。經過《孟子》、《墨子》、《周髀》等階段的演變，到《九章算術》，率成了一個明確的數學概念。劉徽認為“凡九數以為篇名，可以廣施諸率”，借助率論證了《九章算術》的大部分算法，約200個題目，使率的應用空前廣泛深化，把率概念提高到理論的高度。劉徽給出了率的定義：“凡數相與者謂之率。”相與即相關，數在這裏是量。一組量，如果它們相關，就稱為率。由此劉徽得出率的性質：“凡所得率知，細則俱細，粗則俱粗，兩數相抱而已。”換言之，一組有率關係的數，在投入運算時，其中一個擴大（或縮小）某一倍數，其餘的數必須同時擴大（或縮小）同一倍數。劉徽進而提出了率的三種等量變換：乘以散之，約以聚之，齊同以通之。它們最初都是從分數運算抽象出來的。分數的分母、分子可以看作相與的兩個量，因而成率關係，關於分數的三種等量變換自然推廣到率中來。實際上，劉徽關於率的定義就是在經分術（分數除法）注中提出來的。成率關係的一組數若有等數（公因子），則可用此等數約所有的數，是為約以聚之。相反，對成率關係的一組數可以同時擴大某倍數而不改變率關係，是為乘以散之。利用這兩種等量變換可以把成率關係的一組數化成沒有公因子的一組整數，從而提出了相與率的概念。“等除法實，相與率也”。劉徽的運算大都使用相與率。隻有將幾個分數化成同一分數單位才能作加減運算，於是產生了齊同術。劉徽說：“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢不可失本數也。”同樣，對比較複雜的問題，常常有相關的分別成率關係的兩組或幾組數，要通過齊同，化成有同一率關係的一組數，齊同原理成為率的一種重要運算。劉徽說：“齊同之術要矣，錯綜度數，動之斯諧，其猶佩角朾解結，無望而不理焉。”劉徽對齊同原理的應用是多方麵的。若甲、乙之率為a，b，乙、丙之率為c，d，欲從甲求丙，可以先從甲求乙，再從乙求丙，稱為重今有術。劉徽認為，亦可應用齊同原理，先同乙之率，為bc，再使甲、丙之率與乙相齊，分別為ac，bd，則三率悉通，然後應用今有術。劉徽指出。“凡率錯互不通者，皆積齊同用之。放此，雖四五轉不異也；”劉徽創造的方程新術，就是先求出諸物的兩兩相與之率，再通過齊同，化成同一率關係，用今有術或衰分術求解。同一問題，同什麼量，齊什麼量，可以靈活運用。對均輸章第20—26問即鳧雁類問題，劉徽提出了兩種齊同途徑。鳧雁問是：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？”其解法，可以“齊其至，同其日”，則63日鳧9至，雁7至。“今鳧雁俱起而問相逢者，是為共至。並齊以除同”，639 7為相逢日。亦可同其距離的分割，齊其日速。南北海距離63分，鳧日行9分，雁日行7分。並鳧雁一日所行，以除南北海距離，而得相逢日。兩種方式，殊途同歸，都證明了《九章算術》術文的正確性。盈不足問題在《九章算術》中占有重要地位。即使一般算術問題，通過兩次假設，都可以化成盈不足問題（在非線性問題隻可得近似解）。《九章算術》首先給出了一般方法：“置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，並以為實，並盈、不足為法。實如法而一。”
設所出a1，盈b1，所出a2，不足b2，則不盈不朒之正數為a1b2 a2b1b1 b2.劉徽認為：“盈、朒維乘兩設者，欲為齊同之意。”同其盈、朒為b1b2，使所出與盈、朒相齊，分別為a1b2和a2b1，於是b1 b2次所出，共出a1b2 a2b1而不盈不朒，故每次出a1b2 a2b1b1 b2.方程術即線性方程組解法是《九章算術》最值得稱道的成就。《九章算術》按分離係數法列出方程，相當於現在的矩陣和增廣矩陣。然後用直除法消元，直到每行剩一個未知數，從而求得方程的解。劉徽把率的思想拓展到方程術中，提出方程是“令每行為率”，因而可以對整行施行乘以散之，約以聚之，並在各行之間施行齊同以通之，從而建立了常數與整行的乘除運算，以及兩行之間的加減運算。劉徽接著提出了“舉率以相減不害餘數之課”的原理作為方程術消元的理論基礎。直除法是以甲行某係數乘乙行，再從乙行反複減甲行，直至該係數化為零。劉徽認為直除法符合齊同原理，同是同兩行相應的未知數係數，齊是使一行中其餘各項係數及常數項與該項係數相齊。劉徽進而創造了互乘相消法，與現今消元法無異。劉徽認為，上述原理和方法對負係數方程同樣適用：“赤黑相雜足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之數，差實雖分足以應同異之率。然則其正無入負之，負無入正之，其率不妄也。”此處“赤黑”即正負數。五家共井問6個未知數，隻能列出5行。《九章算術》按方程術解而實際上把一組最小正整數解作為定解。劉徽認為這是“舉圖1率以言之”，承認它是不定問題，是為中國古算中第一次明確提出不定方程。劉徽還把率廣泛用於麵積、體積和勾股等幾何計算中。相似勾股形“相與之勢不失本率”，是劉徽概括出的一條重要原理。《九章算術》勾股容圓徑的公式是d=2ab/（a b c）。劉徽用衰分術的證明是：過圓心作平行於弦的直線，分別與勾、股及垂直於勾、股的半徑構成與原勾股形相似的小勾股形，且其周長分別等於勾、股，如圖1.設勾上小勾股形邊長為a1，b1，c1，則a1：b1：c1=a：b：c，且a1 b1 c1=，由衰分術，b1=ab/（a b c），d=2b1=2ab/（a b c）。其他測望問題和重差問題亦可借助率解決。劉徽說：“乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？”顯然，劉徽把率看成數學運算的綱紀。劉徽認為，今有術在算法中起著基礎性作用。所謂今有術就是：若A：B=a：6，則B=ABa。劉徽把它看成“都術”即普遍方法，並且說：“誠能分詭數之紛雜，通彼此之否塞，因物成率，審辨名分，平其偏頗，齊其參差，則終無不歸於此術也。”這裏，“平其偏頗，齊其參差”，就是齊同原理。
出入相補原理
出入相補又稱以盈補虛，是劉徽之前解決麵積、體積問題的傳統方法，劉徽對它作了記載、概括和發展。以勾股章“出南北門求邑方”問為例，已知出北門a步有木，出南門七步折西b步見木，求邑方。《九章算術》給出二次方程x2 （a k）x=2ab，x便是邑方。劉徽的出入相補方法是：設北門C，南門D，木B，折西處C′，見木A′。作諸輔助線如圖2.勾股形BEA′與BC′A′，AGA′與AFA′麵積分別相等，故長方形BEGC與BHFC′麵積相等，即ab，長方形HD′F′F的麵積為x2 ax kx，又等於BHFC′之2倍，即2ab，故x2 （a k）x=2ab。這就證明圖2了《九章算術》方法的正確。劉徽在闡述了日高術之後說，《九章算術》的測望問題“皆端旁互見，無有超邈若斯之類”。他說：“雖夫圓穹之象猶日可度，又況泰山高與江海之廣哉？”因此，“輒造《重差》，並為注解，以究古人之意，綴於《勾股》之下”。劉徽說：“凡望極高，測絕深而兼知其遠者必用重差、勾股，則必以重差為率，故曰《重差》。”從測望技術上說，他使用了重表、連索、累矩三種基本方法，而望海島（同日高術）、望鬆、望穀深代表了望高、知遠、測深三個基本公式，其餘諸問的方法皆可由它們推出。這三個基本公式是：島高=表間×表高/相多 表高，鬆高=表間×人表/相多 人表，穀深=矩間×上股/上下股差一勾高。劉徽設計的問題的複雜程度大大超過了《九章算術》，有的要測望三次圖3以盈補虛求塹體積或四次。他說：“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入。”劉徽自注已佚，他怎樣證明這些公式不得而知，用出入相補原理或比率的原理都是可能的。立體體積公式也可用出入相補原理證明。劉徽證明塹的體積V=12（b1 b2）ah的方法是以盈補虛，將塹變成一個寬12（b1 b2）、長a、高h的長方體，如圖3.劉徽對其他多麵體體積公式的證明則必須在用無窮小分割方法證明了陽馬和鱉臑的體積公式之後。而所謂扥驗法，是劉徽以前的傳統方法，不是劉徽創造的，劉徽甚至不滿意這種方法，指出了它的局限性。劉徽還用出入相補原理證明了開平方、開立方程序的正確性。如開A的立方，求得初商a1，則減根方程x31 3a1x21 3a21x1=A-a31的幾何意義如圖4所示，其剩餘部分A-a31由小立方x31、三長廉3a1x21、三方廉3a21x1構成，其中x1為待求的未知數。
無窮小分割在數學證明中的應用
這是劉徽最傑出的數學貢獻。極限思想的萌芽在先秦墨家、名家、道家的著作中就產生了，但主要在於說明他們的宇宙觀。千百年來，車輪等圓形器具的製造中實踐著化直為曲、化方為圓的過程，就含有極限思想。司馬遷將之抽象為“破觚為圜”，以比喻漢廢秦之苛法。劉徽則在中國數學史上第一次把極限思想用於數學證明。
割圓術——圓麵積公式的證明。《九章算術》提出了圓麵積公式S=12Lr，S，L，r分別為圓麵積、周長及半徑。劉徽用極限思想對之作了證明。他從圓內接正6邊形開始割圓，依次得到正6.2邊形（n=0，1，2……），設其麵積為Sn，每邊長In，周長Ln。他認為割得愈細，S-Sn愈小。“割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”用現代符號此即表示=limlnn∞=0，limLnn∞=L，limSnn∞=S。另一方麵，圓內接正6.2n邊形每邊與圓周有餘徑rn，顯然Sn 6.2nInrn=Sn 2（Sn 1-Sn）>；S。但在正多邊形與圓周合體的情況下，圖5“則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。”亦即當limlnn∞=0，時，limrnn∞=0，limn∞Sn 2（Sn 1-Sn）=S。最後，將與圓周合體的正多邊形分割成無數個以圓心為頂點以邊長為底的小等腰三角形。由於以海邊乘半徑等於每個小三角形麵積的兩倍，則這無數個小三角形麵積之和應是圓半周與半徑之積，正如劉徽所說：“以一麵乘半徑，觚而裁之，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓冪。”
劉徽原理——錐體體積公式的證明
劉徽極限思想最精彩的應用當推他關於陽馬與鱉臑體積公式的證明。《九章算術》給出陽馬體積公式Vy=13adh，鱉臑體積公式Vb=16abh，其中a，b，h是寬、長、高。劉徽指出口≠b≠h的情況下由於“鱉牖殊形，陽馬異體”，用牞驗法“則難為之矣”。他隻好另辟蹊徑。劉徽首先提出一個重要原理：“邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。”即對任一塹堵，恒有Vy：Vb：=2：1.顯然，隻要證明了這個原理，由於塹堵體積為12abh，則陽馬、鱉臑的體積公式是不言而喻的。這個原理稱為劉徽原理。劉徽用無窮小分割證明了它。他將一個陽馬與一個鱉臑拚成一個塹堵，再用三個互相垂直的平麵平分其長、寬、高，如圖6.則陽馬分解為一小長方體，二小塹堵和二小陽馬，鱉臑分解為圖6劉徽原理之證明二小塹堵和二小鱉臑。陽馬中二小塹堵與鱉臑中二小塹堵拚成二小長方體，與陽馬中小長方休共三個全等的小長方體。顯然，陽馬與鱉臑在其中體積之比為2：1.二小陽馬與二小鱉臑恰是二小塹堵，它們又合成第四個全等的小長方體。陽馬與鱉臑在其中體積之比仍未知。總之，陽馬與鱉臑在原塹堵的3/4中的體積之比為2：1，在其1/4中仍未知，“是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一”。劉徽指出，若在餘下的1/4中能證明可知部分陽馬與鱉臑體積之比仍為2：1，則就可以確定在整個塹堵中陽馬與鱉臑體積之比為2：1.為什麼呢？由於所餘1/4中，兩個小塹堵的結構與原塹堵完全相似，因此可以重複剛才的分割，從而又證明在其中的3/4中陽馬與鱉臑體積之比為2：l，而在原塹堵的14·14中未被證明。這個過程可以無限繼續下去，“半之彌少，其餘彌細，至細日微，微則無形。由是言之，安取餘哉？”沒有證明劉徽原理成立的部分為0.換言之，在整個塹堵中證明了劉徽原理。劉徽原理是劉徽整個體積理論的核心。用無窮小分割方法解決四麵體體積是現代數學研究的課題之一，是D·希爾伯特（Hilbert）《數學問題》第三個問題的主題。劉徽在此前1600多年就開始考慮這個問題。