歐幾裏得和他對勾股定理的證明由於直角三角形是最簡單的直線形，又具有很重要的實用價值，所以各文明古國都極重視它的研究。我國《周髀算經》一開始就記載了周朝初年（約公元前1100年左右）的周公與學者商高的對話，其中就談到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之後的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關係，推算過地球與太陽的距離和太陽的直徑，同時為勾股定理作的圖注達幾十種之多。在國外，傳統稱勾股定理為畢達哥拉斯定理，認為它的第一個一致性的證明源於畢氏學派（公元前6世紀），雖然巴比倫人在此以前1000多年就發現了這個定理。到現在人們對勾股定理已經至少提供了370種證明。
《周髀算經》樣張19世紀以來，人們對於關於三角形和圓的初等綜合幾何，又進行了深入的研究。至今這一研究領域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四麵體及伴隨的點、線、麵、球。
2、射影幾何
射影幾何學是幾何學的一個分支，是一門討論在把點射影到直線或平麵上的時候，圖形的不變性質的一門幾何學。幻燈片上的點、線，經過幻燈機的照射投影，在銀幕上的圖畫中都有相對應的點線，這樣一組圖形經過有限次透視以後，變成另一組圖形，這在數學上就叫做射影對應。射影幾何學在航空、攝影和測量等方麵都有廣泛的應用。
帕斯卡射影幾何是由迪沙格和帕斯卡二人於 1639 年開辟的。1639 年，迪沙格發表了—本關於圓錐曲線的很有獨創性的小冊子，從開普勒的連續性原理開始，導出了許多關於對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理，這些課題是今天學習射影幾何這門課程的人所熟悉的。而年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深奧的定理，並於9年後寫了一份內容很豐富的手稿。18世紀後期，提出了二維平麵上的適當投影表達三維對象的方法，因而從提供的數據能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長的、麻煩的算術運算。
但是，射影幾何真正獨立的研究是由彭賽勒開創的。1822年，他發表了《論圖形的射影性質》一文，給該領域的研究以巨大的推動作用。他的許多概念被斯坦納進一步發展。1847年，斯陶特發表了《位置幾何學》一書，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來。
後來證明，采用度量適當的射影定義，能在射影幾何的範圍內研究度量幾何學。將一個不變二次曲線添加到平麵上的射影幾何中，就能得到傳統的非歐幾何學。在 19 世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，並且有限射影幾何也被發現。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾裏得幾何，其間經曆了許多其他重要的幾何學。
3、解析幾何
解析幾何是中學生比較常見的一種，解析幾何即坐標幾何，包括平麵解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平麵直角坐標係和空間直角坐標係，建立點與實數對之間的一一對應關係，從而建立起曲線或曲麵與方程之間的一一對應關係，因而就能用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。
我們大家都能感覺到，在初等數學中，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關的。費爾馬而解析幾何的建立，不僅由於在內容上引入了變量的研究而開創了變量數學，而且在方法上也使幾何方法與代數方法結合起來。
就在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，笛卡兒和費爾馬也在開始構思現代解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個根本區別：前者是幾何學的一個分支，而後者是幾何學的一種方法。