劉徽是三國時傑出的數學家，他以注解古代數學專著《九章算術》而聞名，在數係理論、籌式演算、勾股定理等多方麵都頗有建樹。在世界數學史上，劉徽以其卓著的成就確立了崇高的曆史地位，不少書上稱之為“中國數學史上的牛頓”。
關於劉徽的身世和生平事跡，史書上記載得很少。據說，劉徽一生剛直，在任何情況下都敢於發表自己的見解，敢於修正前人的錯誤。他在研究數學的過程中，不僅重視理論研究，還很注意理論聯係實際。
相傳，劉徽對張衡非常崇拜，常常研讀他的科學著作。有一天傍晚，他正在自己的書房一邊喝茶，一邊和朋友談論張衡的渾天儀，突然發現張衡的某一個數據求證有些問題，當然這個問題與渾天儀並沒有直接的關係，而是張衡對圓周率和球體積的證明。於是，他興奮不已，硬要拉著朋友和自己細心計算，但是，他的朋友卻不像他這麼熱心。無奈之下，他隻好連夜出門，到距自己家十幾千米以外的另外一位朋友那兒，談論此事。這件事充分說明了劉徽敢於懷疑權威，向權威挑戰的無畏精神和實事求是的治學態度。
劉徽在數學方麵最大的成就來源於對《九章算術》的注解。劉徽幼年時代學習數學時，就是以《九章算術》為主要讀本的。成年後，他又對該書進行了深入的研究。他發現這部古代流傳下來的數學專著中的許多解題方法比較原始，而且缺乏必要的證明。經過苦心鑽研，劉徽寫成了《九章算術注》一書，共計10卷。該書對《九章算術》中的重要結論一一證明，對其錯誤予以糾正，方法也予以改進，他的一些方法對後世有很大啟發，即使對現今數學也有可借鑒之處。在此基礎上，劉徽還提出一些卓越的新理論、新思想，他在數學諸多方麵作出了創造性貢獻。
在數係理論方麵，劉徽用數的同類與異類闡述了通分、約分、四則運算以及繁分數化簡等的運算法則。在開方術的注釋中，他從開方不盡的意義出發，論述了無理方根的存在，創造了用十進分數無限逼近無理根的方法，成為世界上最早提出十進小數概念的人。
在籌式演算理論方麵，劉徽發展了中國古代“率”的思想。先給率以比較明確的定義，用“率”統一證明“九章算術”的大部分算法和大多數題目，後又以遍乘、通約、齊同三種基本運算為基礎，建立了數與式運算的統一的理論基礎。他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”，即現代數學中線性方程組的增廣矩陣。
在勾股定理方麵，他逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。
在麵積與體積方麵，劉徽用出入相補、以盈補虛的原理及“割圓術”的極限方法，解決了多種幾何形、幾何體的麵積、體積計算問題。值得一提的是，為了證明圓麵積公式和計算圓周率，劉徽創立了“割圓術”，這是一種將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的求圓麵積和圓周長的方法，它嚴謹地證明了圓麵積公式。
劉徽還用無窮小分割的思想證明了一些錐體體積公式。在計算圓周率時，劉徽應用割圓術，從圓內接正六邊形出發，依次計算出圓內接正12邊形、正24邊形、正48邊形，直到圓內接正192邊形的麵積，然後使用現在稱之為“外推法”方法，得到了圓周率的近似值3.14，糾正了前人“周三徑一”的說法。“外推法”是現代近似計算技術的一個重要方法，劉徽遙遙領先於西方發現了“外推法”。劉徽的割圓術是求圓周率的正確方法，從而奠定了中國圓周率計算長期在世界上領先的地位。據說，祖衝之就是用劉徽的方法將圓周率的有效數字精確到7位。
劉徽的一生，是為數學刻苦探求的一生，而他的力作--《九章算術注》，是中國傳統數學理論研究的奠基之作，它是劉徽留給後世的珍貴數學遺產。
科海拾貝
除了《九章算術注》，劉徽還著有《重差》一卷，專講測量問題。唐代初年，該書改為單行本，並易名為《海島算經》。在《海島算經》中，劉徽提出了重差術，采用了重表、連索和累矩等測高測遠方法，他還運用“類推衍化”的方法，使重差術由兩次測望，發展為“三望”、“四望”。這些成就一直為西方所矚目。