秦九韶的《數書九章》是對《九章算術》的繼承和發展，概括了宋元時期中國傳統數學的主要成就，標誌著中國古代數學的高峰。秦九韶所創造的正負開方術和大衍求一術長期以來影響著中國數學的研究方向。
秦九韶是我國南宋數學家。他早年曾在杭州學習，後又從高人學習數學，成年後先後在湖北、安徽、江蘇等地做官。1244年，秦九韶因母親逝世回家守孝，在家潛心數學研究。秦九韶論述了數學在計算日月五星位置、改革曆法、測量雨雪、度量田域、測高求遠、軍事部署、財政管理、建築工程以及商業貿易等的巨大作用。他認為不進行計算會造成“財蠹力傷”的後果，而計算不準確，“差之毫厘，謬以千百”，於私於公都沒有好處。因此他注意搜求生產、生活、交換以及戰爭中的數學問題，“設為問答以擬於用”，終於在1247年9月著成《數術大略》，明代後期改名為《數書九章》。這是秦九韶唯一的數學著作，但僅此就使他成為中國宋元時期傑出的數學家之一。
《數書九章》共列算題81問，分為9類，每類9個問題。主要的分類有：大衍類，講的是一次同餘式組解法；天時類，包括曆法計算、降水量；田域類，講述土地麵積；測望類，說明勾股、重差；賦役類，包括均輸、稅收；錢穀類，說的是糧穀轉運、倉窖容積；營建類，包括建築、施工；軍族類，講述營盤布置、軍需供應；市物類，說明交易、利息。
《數書九章》在數學內容上有很多創新之處。中國算籌式記數法及其演算式在這本書裏得到了完整的保存；自然數、分數、小數、負數都有專條論述，還第一次用小數表示無理根的近似值；卷一大衍類中靈活運用最大公約數和最小公倍數，並首創連環求等，借以求幾個數的最小公倍數；在《孫子算經》中“物不知數”問題的基礎上總結成大衍求一術，使一次同餘式組的解法規格化、程序化，比西方高斯創用的同類方法早500多年，被公認為“中國剩餘定理”；卷十七市物類給出完整的方程術演算實錄，書中還繼賈憲增乘開方法進而作正負開方術，使之可以對任意次方程的有理根或無理根來求解，比19世紀英國霍納的同類方法早500多年；書中卷五田域類所列三斜求積公式與公元1世紀希臘海倫給出的公式殊途同歸；卷七、卷八測望類又使《海島算經》中的測望之術發揚光大，再添光彩。
《數書九章》中的後八類問題都是按應用分類，其中最重要的成就是正負開方術，今稱秦九韶程序，即以增乘開方法為主導求高次方程正根的方法。他用這種方法解決了21個問題共26個方程，其中二次方程20個、三次方程1個、四次方程4個,還用勾股差率列出了一個十次方程。在這裏，秦九韶把賈憲開創的增乘開方法發展到十分完備的地步。在開方中，他發展了劉徽開方不盡求微數的思想，在世界數學史上第一次用十進小數表示無理根的近似值。其次是在卷五“三斜求積”題中提出了已知三角形三邊，，，求麵積的公式。這個公式與古希臘的海倫公式是等價的。另外，他改進了線性方程組解法，普遍用互乘相消法代替“直除法”，並在互乘之前，先約去公因子，使運算更加簡便。
與以往的數學著作比較，《數書九章》中的問題更加複雜，如卷十三“計定築城”題已知條件達88個，卷九“複邑修賦”題的答案有180個。因此，《數書九章》也更加翔實地反映了南宋的社會經濟情況，保存了寶貴的曆史資料。當然，《數書九章》也有不容忽視的缺點，如第一題將大衍求一術附會《周易》“大衍之數五十，其用四十有九”，不足為訓；還有一些問題，甚至某些不難的勾股測量問題，題設和演算都出現了錯誤。
《數書九章》問世後，當時流傳不廣。明代《永樂大典》鈔錄此書，稱為《數學九章》。1842年第一次印刷後，《數書九章》在民間廣泛流傳。焦循、李銳、黃宗憲等數學家的著述都是在《數書九章》的直接或間接影響下完成的。
科海拾貝
《九章算術》是中國古代第一部數學專著，是算經十書中最重要的一種。該書內容十分豐富，係統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時，《九章算術》在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。