新世紀的數學物理學
一、新世紀的數學大道
如果說巴甫洛夫的條件反射學說為20世紀的到來送上了一束美麗的鮮花，那麼，德國數學家大衛·希爾伯特則通過自己對著名的數學難題“果爾丹問題”的研究和解決，為新世紀的數學發展指出了一條康莊大道。
果爾丹是19世紀的著名數學家，由於他成功地解決了代數不變量領域裏的一個重大問題，被數學界譽為“不變量之王”。
為了紀念他，一個更重要的、仍然沒有解決的不變量領域裏的難題，被直接命名為“果爾丹問題”。這個問題就是：在某種代數形式下，能否由有限個“基本的”不變量產生出所有的不變量？
問題提出之後，世界上許多著名的數學家都企圖去攻克這個問題，但結果都一一敗下陣來，不少人還把它看作是無法解決的問題。
希爾伯特卻認準了這個目標，並且全身心地迷上了這個數學難題，無論走到哪裏，無論在幹什麼，他的心裏都在想著這個刁頑然而調皮的“果爾丹問題”，因為它能喚起自己那種幾乎無法思議的完美想象力。
為了解決這個對於他來說，“才下眉頭，又上心頭”的難題，希爾伯特親自登門拜訪了果爾丹先生，並且找來了所有的果爾丹的數學著作，全麵深刻地了解了果爾丹問題的過去和現在，從而出人意料地為自己開辟出了一條全新的途徑。
經過大量的分析，他發現，以往數學家們在解決這個問題時，所采用的都是果爾丹的方法，即力圖尋找或構造出能產生所有不變量的“有限個基本的”不變量形式，也就是直接求出這個問題的答案。
這種方法被大量的實踐證明了，是“死路一條”，所以，希爾伯特覺得，要想成功地解決“果爾丹問題”，就必須找到一種全新的方法。
又經過無數個不眠之夜，不知流了多少汗，不知花費了多少心血，希爾伯特終於找到了一種全新的辦法，即這個問題是否有答案？如果有的話，它應該是怎樣的呢？從這個思路（即采用邏輯的必然性法證明這個有限個基本的“不變量”是必定存在的）出發，希爾伯特成功地解決了這個數學難題。
這種運用存在性證明代替構造性證明來解決問題的辦法，毫無疑問地，是數學研究中富於獨創的思想方法。這正是希爾伯特後來創立數學基礎中形式主義學派的方法論前提。
使用存在性方法，是數學方法論的一場重要革命，具有劃時代的意義，它把過去的那種構造性方法，帶入了另外一塊迷人的地帶，為20世紀的數學，又開辟了一條金光大道。
從此以後，希爾伯特，這位普通的青年講師，便如同一顆燦爛的新星，升起在人類的天空，並以其獨特的光明，燭照人類文明。
1862年1月23日下午，大衛·希爾伯特這位天才人物誕生於德國的哥厄斯堡。這是一個山青水秀、人傑地靈的海濱小城鎮。
希爾伯特出生在一個法律世家裏，他的爺爺、父親及好多親友都同法律結下了不解之緣。父親常年在外奔波，因為他是鄉村巡回辦案的法官。
所以，童年時代，希爾伯特更多的是同母親在一起，所接受的是母親的那一套教育。他的母親身體不太好，一年中乃至一生中的絕大部分時間都是在病榻上度過的。
但是，希爾伯特的母親對數學和天文學卻有著濃厚的興趣，長期的耳濡目染，使希爾伯特幼小的心靈裏，便對數學充滿了無限的熱愛和向往。在中學時代，他就決心把數學作為自己終身奮鬥的事業。
小時候的希爾伯特，是一個公認的大笨蛋。他八歲才上學，比別的孩子要晚兩年。上學的第一天，老師要考考學生能數到多少，好多小朋友都數到100以上了，希爾伯特卻連10也數不到。
上小學的時候，他的各門功課都沒有及格過。他的記性特別差，真是“左耳朵進，右耳朵出”，尤其是需要死記硬背的語言課，他更是感到頭疼，老師上課提問的時候，他總是張口結舌說了半天，一句完整的話也說不出來，引得全班哄堂大笑。
希爾伯特理解概念的反應速度也非常慢，回家以後，常常需要母親講一句，他記一句，才能完成老師布置的作文任務，大家一致認為這孩子將來不會有大出息。
然而，希爾伯特自己沒有自暴自棄，在上中學的時候，他像換了大腦似的，跟小時候比簡直是判若兩人。
他對自己的情況進行了認真的分析，覺得自己雖然記憶力比較差，理解能力也較慢，但完全可以下功夫來彌補自己在這一方麵的不足。
於是，在他的好朋友閔可夫斯基兄弟的影響下，他找到了他喜愛的科目——數學。因為數學不需要死記硬背，而理解問題慢則有助於更加深刻地掌握概念的實質。
經過自己的刻苦用功，並且不顧父親的堅決反對，他終於考取了他向往已久的哥尼斯堡大學，並且選擇數學作為自己的終身事業，而他的父親則一直希望兒子能夠上法學院，當一名法官。
但是，希爾伯特的叛逆，卻使自己終於成為一名卓越的數學大師。
作為一個與眾不同的數學家，希爾伯特數學研究方法的一個重要特征，就是善於鑽研重大而關鍵的數學問題。
希爾伯特認為，重大而關鍵的問題是推動數學發展的動力源泉之一，他說過它有三個特點：
其一，清楚、容易理解並且能夠吸引人的興趣；
其二，困難，但有被攻克的希望；
其三，在通向那真理的道路上，它是一盞指路明燈。
希爾伯特不光注意咬定目標，而且還非常注意方法，一種方法不行，就趕緊換另一種方法，他就是這樣攻克著名的數學難題“果爾丹問題”的。
1900年8月8日，新世紀來臨後的第一個夏天。在法國巴黎，這一天天氣格外地炎熱，仿佛是把全部的熱情都傾注出來，歡迎來自世界各地的數學家們。
在巴黎大學的演講廳內，正舉行國際數學家第二次代表大會。
站在講台上正在演講的，是一位中等個兒，禿頂，蓄著淡紅色絡腮胡子，看上去不到40歲的學者，他就是希爾伯特。
希爾伯特那明亮睿智的藍眼睛裏射出灼熱而自信的光芒，他那擲地有聲的話語，在整個演講大廳裏久久回蕩，並重重地敲擊著每個與會者的心。
按照慣例，演講者所報告的一般都是自己的工作情況和研究成果，但是，希爾伯特的演講卻不是這樣。
希爾伯特一共提出了23個數學難題，並預示了新世紀整個數學學科的發展方向。他衷心地希望數學家們在20世紀去努力攻克這些難題，並以此推動整個數學學科的發展，創造出新的數學理論和方法。
希爾伯特的這次演講，以巨大的無可抗拒的磁力，吸引了無數數學家的注意力。這23個數學問題左右了數學發展的方向，為無數數學家們帶來了無窮無盡的歡樂和苦惱，激發了當時乃至其後一段時間整個數學界的想象力。
人們普遍認為，一個數學家在一生當中，隻要解決了其中的一個問題，都是對數學科學的一個無法估量的貢獻。同時，隨著這些問題的解決，必然大大推動20世紀數學的發展，有人形象地把這次演講稱為是新世紀數學的一張導航圖。
一直到目前為止，23個問題中，還有一些問題懸在那裏，沒有獲得解決。中國優秀的數學家陳景潤仍在努力攻克的“哥德巴赫猜想”，就是希爾伯特在這次演講中的第8個問題。
在巴黎會議之後，希爾伯特已經開始享有一個數學家所能夠享有的最高聲譽，但是，他並沒有因此而孤芳自賞，固步自封，而是繼續把大量的時間和精力都用於研究科學問題上。
幾乎所有的主要數學領域裏都留下了他具有開創性的輝煌業績，如關於不變量理論研究；類域論計劃；幾何基礎；狄裏克萊原理的起死回生；變分學的重要定理等等。
正如我們在第一回裏所看到的那樣，20世紀初期，以物理學的三大發現為序幕，物理學發生了一場史無前例的革命。
在量子力學和相對論兩個領域，現代物理學捷報頻傳，成果累累。但是，由於新的物理學還無力使經典物理學壽終正寢，在外行人看來，物理學領域多多少少有一點淩亂。
希爾伯特堅信運用公理化方法可以使物理學擺脫混亂狀況，他認真地研究了當時物理學的最新成果，並深入理解了發生在物質微觀領域中的事物本質，采用了完全不同的、更為直接的方法，幾乎和愛因斯坦同時，獨立解決了廣義相對論方麵的有關問題，從而使物理學的天空不再烏雲密布。
希爾伯特不光自己致力於攻克數學道路上的一個個難關險隘，他還是一位優越的數學教育家，他所主持的哥廷根數學討論班吸引了世界各地的數學家們。
希爾伯特的講課內容和方式對學生有著巨大吸引力，經常有好幾百人擠在大廳裏聽他的課，許多人甚至坐在窗台上。
正如後來一位數學家所描述的那樣：“希爾伯特的樂觀、熱情，他對於科學的價值的無可動搖的信仰，以及對於簡明的問題追求簡明答案的推理能力和堅定信心，這一切都有著不可抗拒的魅力，仿佛一個穿彩色衣服的吹笛手吹奏的甜蜜笛聲，引誘了一大群老鼠跟著他走進數學的深河……