1.BP神經網絡模型的原理在複雜的經濟環境中，稅收總量和GDP總量之間的關係是非線性的，因此在使用描點擬合方法時不能很好地將二者之間的關係反映出來。而BP神經網絡模型對於處理這種非線性問題有著較強的應用性。
人工神經網絡是大量簡單神經元聯接而成的非線性複雜網絡係統。利用神經網絡模型可以實現函數逼近、預測、數據聚類、模式識別及優化計算等功能。BP神經網絡模型是將Widrow—Hoff學習規則泛化，對非線性可微分函數進行權值訓練的多層前向網絡。BP網絡稱的“反向”是指誤差的反向傳播，實際上它的主要“信息流”（數據流）仍然是前向的。
BP 算法是由兩部分組成：信息的正向傳播與誤差的反向傳播。在正向傳播過程中，輸入信息從輸入端經隱含層逐層計算傳向輸出層，每一層神經元的狀態隻影響下一層神經元的狀態。如果在輸出層沒有得到期望的輸出，則計算輸出層的誤差變化值，然後轉向反向傳播。通過網絡將誤差信號沿原來的連接通路反傳回來修改各層神經元的權值直至達到期望目標，滿足對誤差的要求。
通俗一點說，就是，變量之間的關係是非線性的，我們想模擬得到變量之間相互關係的表達式，首先設定係數的模擬值與真實值的誤差，然後開始模擬，見圖6‐12，輸入層和輸出層之間是轉換函數。當模擬出的係數值達不到我們所設定的誤差（比如1%）範圍之內時，那麼輸出的值就會再返回去再次模擬，如此反複輸出、返回，直到輸出的模擬值達到我們所設定的與係數的真實值的誤差範圍，得出最接近真實情況的表達式。這個結果相當於是我們人為“訓練”出來的。
圖6‐12BP網絡神經元模型
在圖6‐12中，p1p2….pr代表輸入層神經元，w1，1w1，2…w1,r代表每一個輸入神經元的係數，隱藏層神經元的輸出為a1j=f1(w1,jp1j+b1),輸出層的神經元為a2j=f2(w2,jp2j+b2)。信號的正向傳遞過程中，BP的下一層是接受上一層的輸出作為輸入。
2.模擬方法
以1978—2008年逐年實際稅收收入總量作為輸出層，1978—2008年的實際GDP總量作為目標層。輸入層數據經過隱藏層計算，得到輸出層數據，輸出層與目標層之間存在誤差，說明網絡的權值不合適，應當修正。然後修正誤差從輸出層開始，對各層的係數進行修正。經過多次的修正，也就是網絡的訓練過程，使得輸出層與目標層之間的誤差達到顯著性水平
0.01，過程演示見圖6‐13。訓練好的網絡以稅收收入作為輸入層，GDP作為輸出層，可以
用來進行稅收總量和GDP總量關係的模擬和仿真。
圖6‐13BP網絡訓練流程圖
在輸入層和輸出層中間設置一個隱藏層，采用雙曲正切轉移函數（見圖6‐14a），輸出層采用線性轉移函數（見圖6‐14b）進行BP網絡訓練和模擬（具體結構如圖6‐15）。
BP網絡采用的S形轉移函數f1和f2是一個連續可微的函數，存在一階導數。對於多層網絡，這種轉移函數劃分的區域不再是線性劃分，而是由一個非線性的超平麵組成的區域。它是比較柔和、光滑的任意界麵，因而它的分類比線性劃分準確、合理，這種網絡的容錯性較好。另外的一個重要特點是：由於轉移函數是連續可微的，它可以嚴格利用梯度法去進行推算，它的權值修正的解析是十分明確。
圖6‐14BP網絡常用轉移函數
圖6‐15本節中所應用的BP神經網絡模型結構
3.中國GDP總量增長趨勢5年預測
利用BP神經網絡模型預測未來5年中國GDP的增長趨勢，首先需要對中國未來5年稅收收入總量的增長進行情景分析——分別在四種不同情況下，即稅收收入總量呈現指數增長、稅收收入總量以1990—2008年的年平均增長率增長、稅收收入總量以2004—2007年的年平均增長率增長以及稅收收入總量以印度1990—2008年的年平均增長率增長時，未來5年中國GDP的各自的增長趨勢。
1）稅收收入總量呈現指數增長
對中國1990—2008年的稅收總量做散點圖（見圖6‐16），分析這19年來中國稅收收入總量的變化規律。
圖6‐16中國稅收收入總量時間序列散點圖
由圖6‐16可以看出，稅收總量呈現指數級快速增長。假設中國的稅收總量持續指數增長，應用非線性回歸指數模型對中國1990—2008年稅收收入總量進行趨勢線模擬，可以得到稅收收入總量隨時間變化的指數函數，參見圖6‐17。