一、為什麼要轉變數學教師的教學信念
前麵章節通過對燕老師數學教學信念係統的檢視發，無論是其數學觀、師生觀、學生觀、數學教學觀還是教學效能，都表現出秉持教師本位、靜止、保守、限製的基本觀，這正反映了知識傳授為本取向的種種特，因，燕老師秉持的是知識傳授為本的教學信，而這樣的教學信念在研究者所接觸的教學一線其他數學教師中具有一定的代表性。
一般意義上，數學教師秉持知識傳授為本取向的教學信，極不利於學生全麵、健康地發，不利於實施素質教育。這種與新課程理念相違背的教學信念引發的教學決策和行為必然會阻礙數學新課程的有效實施和順利實現。因，數學教師應該摒棄知識傳授為本取向的教學信，走向知識傳授與數學思維發展相融合取向的信，使數學課程改革遭遇瓶頸之時獲取理性前行的核心力量。
二、知識傳授與數學思維發展相融合取向的數學教師應具備兩條基本信念
如果更進一步追問數學教師教師本位、靜止、保守、限製的基本觀點取向信念的背後是否還存在著什，我們認，數學教師缺乏幫助兒童學習數學和為思維而教數學的意識和信念是導致教師知識傳授為本取向信念的根源。
幫助兒童學習數學和為思維而教數學是一個初看起來理所當然的命，但是如果教師沒有通過自己教學生命的真實曆程與積極反，也非常容易使這個命題在自認為簡單的認識中流於膚淺。這兩個命題是需要教師和研究者們通過教學生命中的真情實感去體悟和發掘的。在本書的整個過程，筆者與燕老師通過自我理解以及相互間的理解（即對燕老師教學決策過程的對話與反思，體悟出數學教師的教學信念係統中這兩個最關鍵的因素。其關鍵性在於它們是關於數學教學問題的最根本認，是數學教師形成知識傳授與數學思維發展相融合取向的教學信念係統的前提。
對幫助兒童學習數學和為思維而教數學兩條信念的理性探討為學界較關，本書擬作相關的學理分析。
（一）第一條信念：幫助兒童學習數學
1.為什麼要幫助兒童學習數學
第，兒童有一些不同於成人的特點。兒童形成的意象是模糊，成人（教師）應該給予耐心的解釋使兒童懂得自己確切的意思。比，兒童學習單位1的概念，當老師告訴他們單位1代表一個整，這個整體可以是一個物體也可以是一些物體的時，老師通常認為這些孩子應該都可以理解，因為他們已經作了大量的操作活動了。而實際上這些小學生並沒有懂得單位1的確切意，還常常將由蘋果和鉛筆組成的整體看成兩個單位1。另，兒童不能白，隨著兒童年齡的逐漸增，自助隨之增，但仍需要依靠成人教授理事方法。看，兒童（包括小學生）似乎真的需要得到成人的幫助。
第，兒童思維的核心特點是自我中心。認知過程是指人們獲取知識和運用知識的心理過，包括：感覺（獲取事物個別屬性的信息）、知覺（對感覺信息解釋的過，反映事物的整體及其聯係和關係）、記憶（將感知過的經驗儲存在頭腦，必要時能夠提取出來）、思維（通過對已有知識經驗的加下去獲得間接的、概括的知，認識事物的本質和規律）、想象（通過他人描，人腦能想出從未感知過的新形象）和言語。兒童關於感知覺、記憶等方麵的特點已經熟，比，幼兒主要是無意記憶占優，小學高年級學生以有意記憶占主導地位；對直觀的、能引起興趣和富有色彩的事物較容易感覺和知，比起感覺和知覺，思維發生較遲。思維是人腦對客觀現實的概括地、間接地反，是一種高級的認識活，知覺隻能反映直接作用於感覺器官的事物。隨著年齡的增，兒童的思維水平不斷提，在發展的不同階，兒童的思維顯示出不同水平和特點。比如隨著年齡的增，小學生思維的基本過程日趨完，由具體形象思維向抽象思維過渡等。
盡管如，皮亞傑認，兒童思維的核心特點是自我中心。所謂自我中心指兒童把注意力集中在自己的觀點和自己動作上的現，而自我中心是一種穩定而無意義的錯，導致兒童把個人瞬間感知當做絕對真理。在此意義，教師教小學生學習數學的過程也是一個幫助學生克服自我中心的錯覺的過，皮亞傑稱之為去中心化。研究發，增加兒童的知識量並不能使兒童克服自我中心的錯，新的信息隻能反映在兒童的思維內容上。因，小學生需要成人找到恰當方法幫助他們克服學習上的自我中，以使他們的思維得到更好的發展。
第，兒童智慧發展的階段論。按照皮亞傑的智慧發展理論，小學兒童（7-11歲或12歲）處於具體運算階，標誌著邏輯——數學思維的開始。與其他思維發展階段一，具體運算階段的小學生的思維發展受到4個因素影響：經驗、社會傳遞因素、機體生長因素和平?化因素。皮亞傑認，教師在為學生提供適當的準備活動和提出合適的啟發問題方麵是重要，否，兒童就可能延緩達到各個發展階段。在上述4個因素，經驗和社會傳遞方，教師可以發揮強烈的影響。從這個意義上，教師應該在積累數學經驗和課堂交流、對話等教學傳遞方麵對小學生提供恰當的幫，為他們的邏輯——數學思維的良好發展奠定基礎。
處於具體運算階段的小學兒童對邏輯——數學思維過程的意識可能落後於正確的動作操作。也就是，學生能正確計算乘法運算並不表示他們理解了乘法的意，會做不能等同於理解。小學兒童在學習數學的過程，需要以具體材料和教師適當提問為特點的操作型活動來達到真正理解的運算思維水平，並因此從會做走向理解。其中具體材料的恰當提供和適當的課堂提問是小學數學教師需要做，是提供給兒童的幫助。
第，兒童邏輯思維能力存在局限性。在數學學習過程，小學兒童的邏輯思維能力存在幾個局限性。其中之一是前麵提到的思維的自我中心，另一個局限性是他們缺乏對自己思維的自覺意，還有一個局限性，兒童的推理是從特殊到特，沒有概括和邏輯的嚴密性。不難理，這些局限性會造成小學生數學學習的種種障礙。比如思維的自我中心使兒童總覺得自己的觀點是正確，會對教師所傳遞的信息不屑一顧，進而會造成交流和對話的困難。缺乏思維的自覺意識不利於小學生自我監控能力發，進而使數學問題解決能力的培養受阻。兒童不能從特殊到一般進行歸納推，也不能從一般到特殊進行演繹推，特別是歸納推，勢必對數學學習和教學帶來衝擊。因，小學數學教師正麵臨著兒童對思維的非常粗淺的意識和他們解數學問題時（帶上述特點）的邏輯思維過，教師應用心地安排好教學程序。並在安排過程中針對這些局限性製定相應的幫助策，而不是要給兒童強加某種概，或形成某種（思維）習慣。在這種情境，教師是作為集體的一個成員來選擇對於兒童起著作用的影，並幫助兒童對這些影響作出適當的反應。
該條係從學生角度闡述了為什麼要幫助兒童學習數，以下兩條從教師角度進一步闡述。
2.數學教師幫助兒童學習的內部條件
課堂教學過程是一個社會化過，是學生積累社會特點的場，小學數學課堂教學亦是如此。那，在這個學生社會化的進程，到底誰應該為此而負責呢？是家庭、學校或是國家？有人說家，有人說學，還有人說國家。無論是哪個答，最終都指向教師的工作。一定意義，教師的教學下作在兒童（數學）學習的社會化進程中發揮重要作，他們應該能夠幫助兒童更好地學習（數學，正如菲利普（Philip Bigler）所說：作為一個教，我最大的滿足在於還繼續幫助兒童逐步形成尋求知識的個人願望。
教師幫助小學生學習（數學）的內部條件來自於教師職業責任和專業素養，包括教師的教學知識、教師的（相對）權威性等。其中教師的教學知識由3部分組成：教學的課程知識（關於包括技術在內的教學材料和資源的知識）、教學的內容知識（關於表達數學概念和過程的方式的知識）以及教學的方法知識（關於教學策略和課堂組織模式的知識）。權威（authority）是指得到普遍承認的組織集團或者個人對一定的社會生活領域所起的影，這種影響所產生的後果，其他人在自己的生活和觀點中服從或依賴於這個組織、集團或個人。從這種意義上，權威是一種社會關，這種關係保障人們的活動服從於社會確立的目標和規範在一切社會形態中發揮作用。美國學者克利夫頓（Clifto，R.A）與羅伯茨（Robert，LW）對於教師權威進行了深入探，他們提，教師權威可分為4個層，其中法定的權威與傳統的權威源於社會製度、文化傳，而感召的權威與專業的權威則源於教師的個人因素。這些個人因素包括教師的教學知識、教學信念、教學思維方式、教學風格、教學態度等。其中教師的教學信念和思維方式是主要因，因為教師對教學材料等的深入理解、對教學內容的合理表達以及對教學過程的恰當設計和組，都直接影響教師在學生中的地位和權威性。再加上曆史發展和社會製度賦予教師的傳統和法定的權威元素的相互作，教師的權威性得以合理形成。