第十一章
火柴遊戲
一個最普通的火柴遊戲就是兩人一起玩，先置若幹支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取的數目可先作一些限製，規定取走最後一根火柴者獲勝。
規則一：若限製每次所取的火柴數目最少一根，最多三根，則如何玩才可致勝?
例如：桌麵上有n=15根火柴，甲、乙兩人輪流取，甲先取，則甲應如何取才能致勝?
為了要取得最後一根，甲必須最後留下零根火柴給乙，故在最後一步之前的輪取中，甲不能留下1根或2根或3根，否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根，則乙不能全取，則不管乙取幾根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而贏了遊戲。同理，若桌上留有8根火柴讓乙去取，則無論乙如何取，甲都可使這一次輪取後留下4根火柴，最後也一定是甲獲勝。由上之分析可知，甲隻要使得桌麵上的火柴數為4、8、12、16…等讓乙去取，則甲必穩操勝券。因此若原先桌麵上的火柴數為15，則甲應取3根。(∵15-3=12)若原先桌麵上的火柴數為18呢?則甲應先取 2根(∵18-2=16)。
規則二：限製每次所取的火柴數目為1至4根，則又如何致勝?
原則：若甲先取，則甲每次取時，須留5的倍數的火柴給乙去取。
通則：有n支火柴，每次可取1至k支，則甲每次取後所留的火柴數目必須為k+1之倍數。
規則三：限製每次所取的火柴數目不是連續的數，而是一些不連續的數，如1、3、7，則又該如何玩法?
分析：1、3、7均為奇數，由於目標為0，而0為偶數，所以先取者甲，須使桌上的火柴數為偶數，因為乙在偶數的火柴數中，不可能再取去1、3、7根火柴後獲得0，但假使如此也不能保證甲必贏，因為甲對於火柴數的奇或偶，也是無法依照己意來控製的。因為(偶-奇=奇，奇-奇=偶)，所以每次取後，桌上的火柴數奇偶相反。若開始時是奇數，如17，甲先取，則不論甲取多少(1或3或7)，剩下的便是偶數，乙隨後又把偶數變成奇數，甲又把奇數回覆到偶數，最後甲是注定為贏家；反之，若開始時為偶數，則甲注定會輸。
通則：開局是奇數，先取者必勝，反之，若開局為偶數，則先取者會輸。
規則四：限製每次所取的火柴數是1或4(一個奇數，一個偶數)。
分析：如前規則二，若甲先取，則甲每次取時留5的倍數的火柴給乙去取，則甲必勝。此外，若甲留給乙取的火柴數為5之倍數加2時，甲也可贏得遊戲，因為玩的時候可以控製每輪所取的火柴數為5(若乙取1，甲則取4；若乙取4，則甲取1)，最後剩下2根，那時乙隻能取1，甲便可取得最後一根而獲勝。
通則：若甲先取，則甲每次取時所留火柴數為5之倍數或5的倍數加2。6、韓信點兵
韓信點兵又稱為中國剩餘定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統禦兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘8人……。劉邦茫然而不知其數。
我們先考慮下列的問題；假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少?
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9 945(注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積)，然後再加3，得9 948(人)。
中國有一本數學古書《孫子算經》也有類似的問題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何?”
答曰：“二十三”
術曰；“三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，並之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得。”
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之後，以這個考證來說上麵這種問題的解法，中國人發現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩餘定理。中國剩餘定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。
數學悖論趣談
悖論是邏輯學的術語，原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子·難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚國人，聲稱他的矛鋒利無比，什麼樣的盾都能刺穿，而他的盾堅韌異常，什麼樣的矛都刺不穿，人問：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人無言以對。這裏關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中，其涵義已被擴大化，常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為“佯謬”、“怪論”等。