對這類問題的研究，已經形成了數學領域的一個分支——拓撲學。它對工程設計，機器元件的設計，集成電路設計，電子計算機的程控、各種信息網絡係統的建立，都有廣泛的應用。
為什麼球麵不能展成平麵圖形
我們知道：圓柱、圓錐、圓台的側麵麵積，可以利用它們在平麵內的展開圖來求出。由於球麵不能展成平麵圖形，所以球的表麵積公式無法用此法求出。
為什麼球麵不能展成平麵圖形呢?我們作如下說明。
圓柱、圓錐、圓台的側麵可以看成由一條直線(或線段)運動生成，球麵是不能通過直線運動生成的。換言之，圓柱、圓錐、圓台的側麵存在直線，而在球麵上沒有一條直線存在。所以球麵不能展成平麵圖形。我們把能夠展成平麵圖形的曲麵稱為直紋麵，圓柱、圓錐、圓台的側麵都是直紋麵。
若在平麵上隨意剪下一塊，例如矩形或扇形，就可以即不疊皺，也不撕破地吻合在圓柱或圓錐的側麵上。而在平麵上無論你剪下什麼樣的形狀的一塊，都無法既不疊皺也不撕破地貼在球麵上。事實上，如果我們在剪下的矩形、扇形或某一形狀上，過任意一點，沿任意方向作相交於該點的直線段a、b、c…將這些畫有線段a、b、c…的矩形、扇形貼在圓柱、圓錐側麵上，a、b、c…的長度均不變。而將畫有線段a、b、c…的某形狀往球麵上貼，或者貼不上去，或者“貼”上去了，則某些方向上的線段c或d…長度就變了。因為隻有使某些線段重合一部分，或拉長，或撕斷才能貼在球的表麵上去。兩個曲麵(平麵是曲麵的特殊情況)可以互相貼合的充要條件是這兩個曲麵等距。所謂等距是指兩曲麵間建立了一一對應關係，且對應曲線長度相等。平麵與球麵是建立不了等距關係的，所以球麵不能展成平麵圖形。
默比烏斯帶的奧秘
默比烏斯帶是拓撲學家們的傑作之一。它使人感到古怪的是：隻有一側的曲麵。
它的製做是極為簡單的。我們把一個雙側環帶隨意在一處剪開，然後，扭轉一半，即180°。再粘合到一起來形成封閉的環，就得到了默比烏斯帶。
但如果描述為沒有“另一側”，這是很難理解和想象的。但做起來卻很容易，你可隨意從一處開始塗色(不離開這麵)最終你將會發現默比烏斯帶都被你塗上了顏色，也就說明這的確是一個單側麵的帶子。
默比烏斯帶具有各種意想不到的性質，有人稱之為“魔術般的變化”。如果我們把默比烏斯帶沿中線剪開，出乎意料地得到了一條雙側帶子而不是兩條。數學家對這種奇妙的現象解釋為：一條默比烏斯帶隻有一條邊，剪開卻使它增加了第二條邊與另一側。如果把默比烏斯帶沿三等分線剪開將使你又獲新奇之感。剪刀將環繞紙帶子走整整兩圈，但隻是一次連續的剪開，剪的結果是兩條卷繞在一起的紙條，其中的一條是雙側紙圈，另一條則是新的默比烏斯帶。你看，這真是一個奇妙的帶子。
你能找到海盜藏寶的地點嗎
傳說有一幫海盜，把劫得的財寶埋在一個荒島上，並在一張紙上寫了若幹詩句暗示藏寶地點，這樣以便於把寶物遺留給他們的後代。幾十年後，海盜們被捕獲，在被擊斃的頭目身上發現了這張紙條，上麵寫到：何處找?在海島；絞架直行到石馬，右轉同長是甲處；絞架直行到大樹，左轉同長是乙處；甲乙中分地，深挖勿泄氣。不難看出這是一個埋藏重要物品的地點的說明，官方立即派人到島上搜索，然而一到島上，人們不免犯了難，大樹、石馬依然還在，而絞架蕩然無存，這藏寶地點怎樣確定呢?
後來終於有人用平麵幾何作圖的方法，證明了藏寶地點僅與石馬和大樹的位置有關，而與絞架位置有關，於是輕而易舉地找到了藏寶地點。下麵我們來看一下這個問題的證明。
設石馬為點A，大樹為點B，在AB連線的一側任取一點C算作絞架位置。連結CA，作DA⊥CA且DA＝AC；再連BC，作EB⊥CB且EB⊥CB且；連DE，其中點F假定為藏寶地點，如圖作CC′、DD′、EE′、FF′都和AB垂直，C′D′E′F′分點為垂足，由△ACC′≌DAD′，可知AD′＝CC′，又由△BCC′≌EBF′，可知BE′＝CC′，又由F是DE中點，可知F′是D′E′中點。所以知F′是AB中點；另一方麵我們又可證明，DD′＝AC′，EE′＝BC′，∴DD′＋EE′＝AB。由梯形中位線定理可知FF′＝12(DD′＋EE′)＝12AB，那麼F是位於AB中垂線上且與A中點的距離等於AB長的一半，可見F點的位置與C點的選擇是無關的。
讀者不妨試一下，在AB的另一側取點C。甚至在直線AB上取點C，看看點F的位置是否是不變的。