當時的亞曆山大港可說是一座高度科學化的新城，整座城市布局非常規整，仿佛就是按照設計好的幾何圖形所建。它有兩條主幹街道，大街筆直寬闊，而且非常整潔。因為它還設計有下水道，所以即便是到了下雨天，也不會弄得到處泥濘不堪。城市的中央有一座宏大而美麗的公園，公園東麵是王宮、寺院和王室陵園，再往東，就是享有盛名的亞曆山大港博物館和圖書館了。
這一時期，在亞曆山大港住著許多學問滿腹的學者，他們在此或講學或求學，使得這裏享有“世界上最好的學校”這一美名。無數熱愛讀書的年輕人也來到這裏求學，他們中的大多數人像阿基米德一樣，是來自大海對麵的希臘人，但也有部分是東方人，他們來自印度或者阿拉伯一帶。亞曆山大港圖書館是一個名副其實的知識的海洋，這裏有著不計其數的書籍，其中不少還是前輩人的手稿真跡。它們都是用削得尖尖的鵝毛管，蘸上顏料寫在莎草紙或羊皮紙上的。這些寶貴的書籍得來不易，所有的學者對它們都異常珍惜，阿基米德也不例外。
少年的阿基米德很快就適應了這個陌生的城市，他在這裏結識了一些新朋友。他們中一些人後來成為了大數學家，阿基米德畢生與他們保持著友誼。這些朋友當中最年長的是柯倫，據說，他曾對阿基米德幾何學思想的發展產生過影響，但是，他年紀輕輕時就去世了。平日在讀書之餘，阿基米德喜歡和柯倫一起去亞曆山大博物館參觀學習。博物館裏不僅有動物園、植物園和天文觀測台，還有供醫生解剖犯人研究人體組織結構的解剖室。這些生物、天文方麵的實物研究，引起了阿基米德極大的興趣。不過，阿基米德最感興趣、最喜歡的還是亞曆山大圖書館裏豐富的藏書。徜徉在書籍世界裏，他感到從未有過的興奮和激動。後來，阿基米德和柯倫有幸被聘請為圖書館裏的工作人員，這下更讓他得償所願，因為能有更多看書的機會了。
偌大的圖書館中，幾乎每天都聚集著很多人，大家在這裏埋頭苦讀，如饑似渴地汲取書中的知識，領略著其中的無窮樂趣。這些讀者當中，不乏赫赫有名的學者。阿基米德在圖書館工作期間，就是通過這些機會接觸並認識了如亞曆山大港圖書館館長、地理學家埃拉托色尼，天文學家阿利斯塔恰斯等人，這些學者後來都成為阿基米德的良師益友。
圖書館裏一卷卷的羊皮書和莎草紙書都異常珍貴，而且數量又那麼多。阿基米德和朋友常常在圖書館裏讀書到很晚，可是讀一遍書是很輕鬆的，但要把羊皮卷或莎草紙上麵的內容記下來，卻很不容易。阿基米德他們能想到的，把書上的東西記錄下來的最笨也最直接的辦法，就是用自己的腦子掌握知識。於是，他們手捧從圖書館借來的書，廢寢忘食地讀著，一點一點地把這些知識記在自己的腦海中，不放過每一個公式或定理。
這個時候，阿基米德對數學的興趣愈加濃厚了，尤其是對幾何學。由於學習幾何需要經常畫圖，他們舍不得花錢買紙和筆，於是就用小樹枝在地上畫，用小樹枝進行公式推導，進行數字演算等。為了能讓地上的數字和圖形看起來更清晰，阿基米德又想出個辦法。他從爐膛底下扒來一些爐灰，在地上鋪了一層，“看，這就是我們的紙啦！”他高興地跟柯倫說。
有一次，他洗完澡，剛剛從澡堂裏出來。柯倫迎麵走來，看到他一麵走，一麵低著頭用手指在裸露的皮膚上寫寫畫畫。柯倫奇怪地問他：“嘿，你這又是幹什麼呢？”阿基米德抬起頭，哈哈笑道：“嗨，柯倫，我又發現一個好主意了！”他指著身上剛剛抹過的一層香膏，笑著說：“我的最新發現！在皮膚上也可以演練算術，求證幾何！”柯倫不信，阿基米德讓他湊近些看看。柯倫走向前，仔細一看，果然在他的皮膚上看到了指甲留在香膏上的印痕。柯倫一下給逗樂了，善意地笑他：“阿基米德，你真是一個奇怪的天才啊。”
勤奮刻苦的阿基米德喜歡一個人靜靜沉思，少有人去的海灘是他經常光顧的地方。他喜歡在這裏散步，一望無垠的遼闊大海給了他無窮無盡的想象空間，他的思維就像一匹脫了韁繩的小馬揚起四蹄，在想象博大而神奇的世界裏，無拘無束、歡快地自由馳騁。連綿的海岸線一直伸向遠方，海麵上白色的浪花正歡心雀躍地嬉鬧。在他的腳下，綿延的沙灘一眼望不到頭，被無數細密而柔滑的沙粒靜靜覆蓋著，上麵還有一粒粒五光十色的貝殼四處散落。
在海灘上，他隨手撿起一枚貝殼，就可以當做最好的一支筆；而寬闊的沙灘則是天然的一塊大羊皮紙。他想在上麵畫什麼就畫什麼，想怎麼畫就怎麼畫，想畫多少、想畫多大都沒問題，而且畫過了，隻需輕輕一抹，又可以繼續再畫。世界上，還有什麼能比得上這樣的學習用具呢？阿基米德越想越振奮。
從那以後，隻要沒遇到糟糕的天氣，在能出門的情況下，阿基米德幾乎每個清晨都要跑到海灘上去學習。他有時若有所思，有時自言自語，有時眺望遠方、眉峰微蹙，霍地，又像想起什麼，拿起貝殼快速地在沙灘上演算起來。那個用功的少年，利用那片海灘演算了無數難題，求證了無數個推理，在得到自己認為比較準確和滿意的答案後，他才用莎草紙或羊皮紙把答案記錄下來。日複一日，年複一年，阿基米德漸漸長成了挺拔的英俊青年。但是那個在海邊沉思的少年，卻把他的身影永遠留在了那片海灘。
阿基米德螺旋
阿基米德在亞曆山大港究竟待了多長時間，我們無從得知，但是，據說他在那裏待了很長時間，還發明了一種類似於揚水機的機器。
每年的5月份開始，埃及都會迎來一場當地特有的熱風。這股熱風從埃及西邊的撒哈拉大沙漠襲來，挾裹著滾滾熱浪，很快就吹遍了尼羅河兩岸的角角落落。人們在這種熾熱的天氣裏，簡直都無所適從。而這樣的熱風還不僅僅隻是作短暫停留，它要從5月刮到6月，持續整整一個多月。呼嘯而來的熱風鋪天蓋地，形成強大的氣旋，卷起漫天的塵沙。塵沙鑽進人們的鼻孔，覆蓋在人們因出汗而本已黏濕的皮膚上，讓人呼吸不暢、渾身不舒服。阿基米德的家鄉可幾乎從來沒有這樣惡劣的天氣。
火熱的太陽在天空燃燒著，大地都快要被烤焦了。田地裏裂出了一道道觸目驚心的口子，尼羅河的河水眼看著在下降，人和牲口都熱得疲倦無力。大家躲在陰涼地兒裏，抬頭望著天，如果能有一片烏雲過來，該多好啊！每個人的心裏都在期盼喝到一口清涼的甘泉水，都在期盼呼吸一口涼爽清新的空氣。阿基米德也變得焦躁起來，在這樣的大熱天裏，他似乎也難以保持“心靜自然涼”了。但是早已習慣這種氣候的埃及人卻好像一點不著急，他們告訴阿基米德說：“年輕人，不要著急。用不了多久，我們就能盼到一場痛快的透雨啦！”阿基米德大為驚奇，問他們：“你們怎麼知道會下雨呢？”埃及人都笑了，他們說：“明天天亮之前，你就開始到尼羅河邊去觀天象。如果哪一天在日出之前，你看到耀眼的天狼星在暗藍的天際出現，那就真是該下雨了。”阿基米德半信半疑，但是到了第二天清晨，他還是起了個大早來到尼羅河畔。可惜，這天他並未看到那顆明亮的星星。但埃及人說得那樣自信，阿基米德不相信，於是天天不忘觀察天空，期望那顆天狼星出現。這樣一直到了6月底7月初，一天清早，他果真看到天狼星在天空眨著眼睛。
埃及人的預言應驗了，天狼星出現不久，幹渴的大地迎來了一場痛快酣暢的大雨。從北麵海上吹來的帶著鹹味和厚重濕氣的海風，滌蕩了空氣中的塵沙，驅散了炎熱。空氣變得清新起來，天空烏雲翻滾，遮天蔽日，沒多長時間，令人驚喜的大雨嘩嘩地下了起來。雨水汩汩地流進田野裏幹裂的縫隙，又迅速地彙聚到尼羅河中。寬闊的尼羅河水麵很快就漲了起來，河水變得渾濁。從上遊下來的水流夾帶著大量被衝毀的植物，植物在水裏浸泡，變質腐爛。黏稠發綠的水流翻滾著、擁擠著，形成旋渦。洶湧而來的河水快速地漫過了河岸，淹沒了尼羅河兩岸的大片農田，使得那裏變成茫茫河海。8月份前後，河水漲到最高時，人們紛紛搬遷到高處暫住，以避開泛濫的洪水。
大概到了10月份左右，洪水慢慢消退了。大水過後，饑渴的大地喝足了雨水，變得潮濕而滋潤。那些腐爛的植物淤積在原來的耕地上，形成了一層新的肥沃的土壤。尼羅河又恢複了往日的寧靜，但是兩岸的農田裏卻變得忙碌起來，埃及人繁忙的耕種季節來臨了。這段時間從每年的11月開始，一直持續到第二年的2月前後。埃及人要趁著土地尚還濕潤的時候，抓緊時機播種糧食。
全年幹燥少雨的氣候使得這樣的雨季對埃及人的生產生活顯得格外珍貴，因為它隻有短短的二十來天，接下來埃及人要麵臨的又將是持續不斷的幹旱。古老的埃及曆史悠久，它的文明就像流淌不息的尼羅河那樣源遠流長。埃及人將這條世界最長的河流親切地稱為自己的母親河，尼羅河用自己的乳汁哺育了埃及人，而生活在這片土地上的人們，也早在阿基米德到來之前的幾千年裏，就已經學會了利用尼羅河水。他們用淤泥和蘆草修築堤壩，把泛濫時期的尼羅河水蓄積起來，以便幹旱時節灌溉之用。在阿基米德的時代，埃及人又開始修築大規模的石壩工程。他們就是在和尼羅河打交道的同時，在這樣的建築堤壩、測量土地的過程中，形成了自己的幾何知識。
喜愛數學的阿基米德，很快也把自己學到的幾何學知識運用到實際生活中。有人認為，注重“學以致用”可能是阿基米德這個人與他之前的學者，如歐幾裏得以及歐幾裏得本人的學生等，抱有的一種完全不相同的學術思想。相比歐幾裏得極為重視抽象的理論，不讚成甚至反對從學習中獲利的思想，“阿基米德似乎對實用科學懷著更濃厚的興趣。”或許，阿基米德對“實用科學”的實際關注和應用，大概得要從在埃及時期開始算起了。
這個叫阿基米德的希臘青年積極地參與到埃及人修築堤壩的工程當中，他幫助他們設計圖紙、測量土地、計算土石方、儲水量等。盡管勤勞的埃及人修築了不少蓄水工程，使得大部分的土地受益，但是，仍然有一些地方，因為地勢等原因照顧不到，那裏的人們不得不依靠一種古老而笨重的機械提水灌溉。這種機械很像我國古代勞動人民發明的“桔槔”，俗稱“吊杆”。其基本的裝置是，在水源上方搭建一個平台，即在一根豎立的支架上加上一個細長的杠杆，當中是支點，末端懸掛一個重物，如石塊等，前端懸掛水桶。這個裝置利用杠杆原理，當人把水桶放入水中打滿水時，由於杠杆末端重物的重力作用，便能夠輕易地把水提拉至所需高度。桔槔在我國春秋時期就已經相當普遍，是一種非常古老的提水器具。雖然埃及人的這種類似桔槔的設備的確減輕了人們的一些勞動負擔，但提水仍然是一件非常吃力、辛苦的事。
阿基米德對提水的農民很是同情，他萌生了創造一種更省力的機械的想法。可是，它到底該是什麼樣子呢？阿基米德苦思不得其解，他想起了矗立在尼羅河畔巍峨的金字塔。關於埃及人修建金字塔的故事，他聽到過一些傳說。據說，奴隸們為了將笨重的石塊運往高處，先要將有高坎的地方用土墊成斜坡，而後再沿著斜坡將石塊緩緩拉上去。無獨有偶，埃及人在修築大壩時，也是采用這種方式，將建築用的石塊和材料運到高高的大壩上去的。阿基米德似乎受到一點啟發，可是為了省力，斜麵的坡度要很小，換句話說，斜麵必須要很長。這在直上直下的井裏麵怎麼辦到呢？阿基米德遇到了難題。
把井壁修成“S”形嗎？可即便修成這樣，水仍然不能上來啊。阿基米德絞盡腦汁，思路突然局限在這個犄角裏出不來了。他在海邊的沙灘上畫了無數圖形，畫了擦，擦了畫，卻沒有一個符合他的想法。“這明顯是個死胡同，不能鑽這個牛角尖了。”他心裏想著，望著手裏的海螺殼竟然漸漸出了神。想象的火苗似乎又被點燃了，海螺殼上一圈又一圈盤旋而上的紋路慢慢地在他的眼裏複活了。它們像水裏的波紋，上下浮動，飄忽不定，轉眼間仿佛又幻化成一連串的幾何圖形。
阿基米德的腦子一下子清醒了，太神奇了！這不正是他在苦苦尋找的斜麵嗎？一個盤旋的斜麵！看看神奇的海螺吧，當它的身體最初從螺殼底部小小的尖底兒一點點長大時，它的殼也在逐漸成長。形成殼的鈣質沿著盤旋的斜麵一點又一點地延伸，螺紋也隨之一點點長高。可是它要堆積很長的斜麵之後，才長高那麼一丁點。這樣的生長方式漫長而緩慢，但對阿基米德來說，卻是一個驚喜的發現。一個新奇的想法從他的腦海裏蹦了出來，他要製造一種像海螺一樣的機械了。把斜麵放到空間裏，讓它沿著一根軸盤旋上去，這樣它就能在一定的高度裏任意延伸，而且，還可以根據斜麵在旋轉軸上盤旋的圈數來自由調整斜麵坡度的大小。當需要坡度大時，就把斜麵少纏上幾圈；當需要坡度小時，就讓斜麵沿旋轉軸多纏上幾圈。由於斜麵是繞著這根旋轉軸盤旋的，所以，當人在軸的上端施加外力，這個力就會通過軸，沿著斜麵傳送並作用到軸的下端。這樣一來，人們不就可以省力了嗎？阿基米德為自己的這個發現露出了笑容。不久，他按照自己的設想，仿照海螺，設計了一種螺旋形的提水器。