歐拉進入巴塞爾大學時，當年教授老歐拉數學的雅各布·伯努利已經去世，接替他擔任數學講座教授一職的是他的弟弟約翰·伯努利。約翰最初是學醫的，同時也研習數學，曾獲得醫學碩士學位。但後來他發現自己骨子裏喜愛的還是數學，不久又一頭紮進微積分的世界裏抽不出身。1705年，約翰接替去世的哥哥雅各布擔任巴塞爾大學教授。約翰·伯努利一生著述頗豐，他在微積分方麵曾做過深入研究，並有大量論文涉及到曲線的求長、曲麵的求積、等周問題和微分方程，據說他還發明了指數的運算方法。約翰有不少弟子成就卓著，歐拉或許要算是最著名的一個了。除了約翰·伯努利本人對歐拉影響重大，他的兒子丹尼爾·伯努利也與歐拉私交甚好，並成為後者的終生摯友。丹尼爾1700年出生於荷蘭，是約翰的次子。他早先也像父親一樣學習醫學，並曾在巴塞爾大學獲得醫學博士學位。但在家族成員的耳濡目染下，不久便轉向數學。在父親和兄長們的指導下，丹尼爾傾心於數學研究，並成為了家族中成就最大者。他曾先後當選柏林科學院院士、巴黎科學院院士和英國皇家學會會員，獲得眾多榮譽稱號。他一生的主要貢獻集中在微分方程、概率和數學物理方麵，被譽為數學物理方程的開拓者和奠基人。
約翰·伯努利的數學講座從來不是幹巴巴地羅列教條。他學識淵博，總能在課堂之上輕鬆地信手拈來一些有趣的故事，談笑風生、談古論今。他講課的語調抑揚頓挫，生動飽滿而富有感情，常常在學生中引起共鳴。正是因為這樣，他的課堂吸引了許多學生前來聽講，從來都座無虛席。
歐拉也慕名前去聽這位老師的講座，他坐在最前排的位置上，高高的額頭下，一雙透著純真的大眼睛特別引人注目。在周圍大他幾歲的大學生們眼裏，他太小了，足可以做他們的弟弟，因此他們隻把他當弟弟照看，少有誰把這個少年當成自己的同學。但是，接下來他們很快就對這位同學刮目相看了。有一天，約翰在課堂上無意中向學生們提及了一道當時數學家們尚未解決的大難題。結果下課鈴聲一響，學生們都散了，約翰自己也準備起身離開。隻見坐在前排那個眼睛大大，又瘦又小的學生向他走來。他站住了，那個學生不聲不響地向他行了禮，恭敬地遞上來一份答案。
約翰遲疑了一下，接過那份答案仔細一看，他驚呆了。那是萊昂哈德·歐拉的答案。如果再加斟酌的話，那份答案或許是稍顯稚嫩的，它的論證也許不那麼完備，邏輯上也不那麼嚴謹，但是從中流露出來的精巧的構思和大膽的創想讓約翰一下興奮起來。千裏馬常有，而伯樂不常有。說約翰是伯樂識英才也好，說他獨具慧眼也好，總之，約翰這下是認定他抓住一個數學奇才了。他當即決定，從此每周在家單獨為歐拉授課一次。能夠得到這樣一位馳名歐洲的大學者的青睞，聽到對方承諾將為自己開小灶，這個十來歲的孩子該有多振奮呢？他激動不已、興奮難抑，大概也是寫在臉上的吧？這樣年紀的少年，應該也是不懂怎麼喜怒不形於色的了。
從那以後，每周到老師家裏補課成了歐拉生活裏的重要內容。在約翰的精心指導下，歐拉的數學進步神速。他的勤奮刻苦也深深吸引了同樣熱愛數學的丹尼爾，兩人由此結下終生的友誼。歐拉17歲時便取得了巴塞爾大學的碩士學位，這個時候，老歐拉向他提出了要他放棄數學，專心學習神學的要求。歐拉自認是上帝的忠實信徒，但要他從事神職工作，他打心眼裏不樂意。歐拉割舍不下自己全心熱愛的數學事業，但是向來孝順的他也不想公然反抗父親的權威。就在父子倆意見相左、互相僵持之際，伯努利父子得知訊息，匆匆趕來。
聲望甚高的約翰·伯努利和老歐拉進行了一番交談，他飽含深情地跟對方說：“親愛的神甫，我知道您對上帝的熱愛有多麼熾烈，請不要懷疑我們對上帝的熱愛和忠誠，它並不比您差，您的兒子也一樣。但是，真誠地希望您能體會我此刻的心情。您知道，我曾認識不少才華出眾的年輕人，但是和您的兒子比起來，他們就黯淡多了。如果您也相信我的眼光，我想讓您知道，他未來定會成為瑞士最傑出的數學家。您也曾對數學滿懷熱誠，那麼，為了數學，為了孩子們，我誠懇地請求您重新考慮您的決定。”約翰的眼光沒有錯，歐拉後來成為他的驕傲。對這位出色的學生，約翰也是毫不吝惜讚美之詞，他曾當麵稱讚高徒：“在我向別人介紹高等分析時，它還是個孩子，而你引導它長大成人。”
約翰一番言辭懇切的話語終於使老歐拉改變了初衷，事情或許就像我們前麵猜測的那樣，老歐拉之所以堅持讓兒子從事神職工作，更多的不過是想讓他有更好的生活。但是現在，他讓步了，盡管這可能會讓家裏的生活增加點困難。父親的妥協讓歐拉欣喜若狂，從此他再也不用背著父親，偷偷摸摸地和親愛的數學朝夕相處了；不用等到夜深人靜，父親熟睡以後爬起床來做他的計算；也不用再將聖經的封皮套在數學書的外麵，來逃避父親的注意。他自由了，仿佛衝出牢籠的鳥兒終於能夠伸展開翅膀，在天空任意翱翔。他更加大膽地開始閱讀各種數學著作，從古希臘的經典著作到牛頓的《自然哲學的數學原理》。他如饑似渴地投入到書籍的世界中，就差不能將所有的知識統統塞進自己的腦子裏。這樣短時間大量汲取知識的方式，不禁讓人為他擔心，難道他不怕“消化不良”嗎？或許我們的擔心是多餘的，因為他對知識有著驚人的理解和吸收能力，能夠舉一反三、觸類旁通。這些豐富的知識非但沒成為他的負擔，反而促成他更快地成長起來。
轉眼間，時間到了1727年。當年那個求學的少年已經長成了年輕人，青春洋溢的歐拉開始了對未來的向往和美好憧憬。這時，幸運女神也向他慢慢走來，一個能夠讓他一舉成名的機會來臨了。
在歐拉所處的年代，歐洲各國的科學院有個不成文的規矩。它們常常把各國政府或有關部門提出的科研項目，設置一定數額的獎金，公開懸賞征求解答。因為當時航海事業的不斷發展和對外擴張的海上戰爭所需，這些題目中有相當一部分涉及到航海方麵的問題。在這一年，法國科學院提出了一個項目：找出船上桅杆的最優放置方法。在各國科學院設立的獎金中，要數巴黎科學院獎金最受人關注。所以，當時有不少數學家把獲得巴黎獎金視為一項最高的榮譽，年輕的歐拉自然也是早早把這個作為了自己的奮鬥目標。現在，機會終於來了。歐拉鄭重其事地作了充分準備，全力以赴完成了這篇論文。結果呢，他的論文獲得了很高的評價，但是並沒有得獎。
如果站在一個後來者和局外人的立場來看歐拉的這篇處女作，出現這樣的結果，似乎是在情理之中的。事情就像有些人分析的那樣，“歐拉的處女作，從某種意義上來說，正是他全部工作的縮影。它既顯示出了歐拉的睿智，也暴露出了他的缺點。分析是歐拉最擅長之處，他精妙絕倫的分析無人堪比，同時他又是發明數學方法和進行數學運算的大家。但是歐拉也有自己的弱點，他的弱點就在於有的地方和實踐脫節。”再回頭看看歐拉完成他的處女作的背景吧。對於一個最多見過幾艘在湖泊裏用槳劃動的小船的人來說，要寫出一篇切合主題，又符合實際要求的文章，恐怕確實有些為難了。雖然這次受挫了，不過年輕的歐拉並未氣餒，因為後來他用12次獲得這項獎金的成就補償了這次的遺憾。