公元１８５２年，“孫子問題”的解法傳入歐洲，西方數學家們驚奇地發現，該解法竟和高斯的方法完全一樣。在感慨之餘，便稱這種方法為“中國孫子定理”。格拉特將軍巧算二元二次方程美軍從獨立戰爭開始到１８６１年的內戰，隻有兩人獲得過中將軍銜，一位是華盛頓，一位是司各脫，其後幾年未設這一職位。１８６４年２月，參眾兩院通過法案，決定恢複中將軍銜，林肯總統批準了這項法案，並將這一新設的軍銜授予格蘭特。
格蘭特是一位頗受爭議的將軍。在南北戰爭進行到關鍵時刻，林肯授予他以最高軍銜並委以北軍總司令的重任，表現出了非凡的用人膽略。林肯信任格蘭特，相信他能將屢屢失敗的北軍從迷穀中引向光明。
“格蘭特將軍，在這場偉大的戰爭中，國家對於你所建樹的功勳表示嘉獎，”林肯在授銜儀式上說，“因此，現特授予你合眾國陸軍中將軍銜。給予你這崇高榮譽的同時，也意味著把相應的重任交給你。”在這個儀式上，士兵們排成方隊。說來也巧，場上的士兵正好排成６２個方陣，每個方陣的人數全一樣。整齊的隊伍，加上北軍士兵個個精神抖擻，整個訓練場顯出威武雄壯的氣派，林肯一看非常高興，大大誇獎了格蘭特一番。
格蘭特聽到了林肯的誇獎心裏非常高興，他提議要與士兵們站在一起。他脫下戰袍，改換輕裝，加入了士兵們的行列。格蘭特的這一舉動打破了原來的方陣，陪同林肯的將軍們都為他捏了一把汗。可格蘭特不忙不慌，隻見他命令士兵改換陣勢，把全部士兵（包括自己在內）改排成一個大方陣。說起來真巧，原來的小方陣一下子排成大方陣，而且人數不多不少。這樣一來林肯很高興，格蘭特也出盡了風頭。你知道他用什麼方法嗎？這批士兵有多少人呢？
“方陣問題”在我國古算中很常見，也是很有意思的題目。
當然，它們的解法不算困難。
設原先６２個實心小方陣，每個小方陣的每邊人數為ｘ；將軍本人也加進去以後，排成的一個大方陣，每邊人數為ｙ。
根據題意，可以列出一個方程如下：
６２ｘ２＋１＝ｙ２。
這是一個不定方程，移項分解就得到：
６２ｘ２＝ｙ２－１＝（ｙ－１）（ｙ＋１）。
到此地步，就可看出ｙ非等於６３不可。因為６３－１不多不少恰好就是６２，而６３＋１＝６４，又正好是８的平方。因此這批士兵共有：６２×８２＝３９６８（人）。加上將軍自己，正好可以排成一個每邊有６３人的方陣。
三角函數破陣孫臏與龐涓是同窗好友。龐涓早於孫臏下山前去魏國，被魏王封為大將。孫臏雖有雄韜大略，卻不善諂媚之術，四處周遊，無人重用。為了施展才華，他投奔到同窗學友龐涓處，希望能向魏王引薦。但是龐涓素知孫臏的才智在自己之上，因而擔心引薦孫臏，會搶了他大將的位置，一心想除掉這個隱患，同時，他又耳聞孫臏從老師那裏也有所得，想據為己有。他想出一毒計，在魏王前誣孫臏有叛國行為，請魏王對其施以臏刑，讓他無法逃脫。
龐涓將受不白之冤的孫臏關在一個秘密的地方，極力表明自己在魏王麵前替孫臏說了多少好話，才使他免於一死，同時向孫臏索要《孫子兵法》。孫臏當即答應。
孫臏一直對自己無辜地突遭不幸感到困惑，可萬萬沒有想到原來是同窗好友設下的陷阱，經童仆一說，他才恍然大悟。可是現在他雙腿不能行走，又在龐涓的看管之下。當晚他一會兒號啕大哭，一會兒嘻皮笑臉，語無倫次，傻相百出。他將抄好的書簡翻出來，投入火中。將食物打翻在地，見了土塊和汙物，孫臏卻抓起來就吃。龐涓相信孫臏確實已成為一個廢物，就放鬆了戒備。
後來一個叫禽滑厘的人聽說了孫臏的遭遇，他深知孫臏的才能，就想幫助他逃出魏國。於是他將孫臏的情況告訴了齊國的相國鄒忌，鄒忌又轉告齊王。齊王便派人將孫臏偷偷地帶回齊國。
孫臏在齊國受到重用。
孫臏所在的齊國與龐涓所在的魏國有多次交戰。相傳一次龐涓將孫臏的部隊圍在即墨城中，是孫臏活用鬼穀子所傳的陣圖使他突出重圍，為日後大敗龐涓創造了機會。孫臏的部隊被龐涓圍在即墨已經七天了。內無糧草，外無援兵，諸將憂心如焚，紛紛進帳請戰：與其被困死，不如殺出重圍，也許還能生還幾個呢！
大敵當前，眾寡懸殊，作為全軍統帥的孫臏，也在籌思對策。
這天晚上，孫臏攀上山頂的那棵老柏樹，縱目眺望，隻見遠處龐兵營房火把映天，兵馬屯紮整齊。環視一周，自己正是被困核心，外界形成六角包圍，就像被六把鉗子緊緊夾住一樣。
“全軍突圍是不可能的了！”孫臏自言自語地喃喃說道。
“元帥，怎麼這般泄氣？”隨從問道。
隻見孫臏不慌不忙地答道：“你等有所不知，這陣勢名為七曜陣，按日、月、金、木、水、火、土排列，客座應在中心，占日位，為我軍所在，受外圍‘一月五星’控製，嚴密包圍。‘一月五星’互相牽動，好生厲害，我軍倘若妄動，即刻會遭到群起聚殲，後果將不堪設想！”說著，信手在沙地上畫個草圖。
孫臏心想，要想突圍成功，必定要派一員猛將打頭陣。
隻聽他大喝一聲：“甘蒙聽令！”
孫臏手下猛將甘蒙無論如何沒有想到會點到自己，自己這兩下子，孫臏最清楚。這時他連聲叫喊：
“我不行啊，我不行！”
什麼行不行？一聲驚堂木響：“甘蒙膽敢違抗軍令，來人啊，推出去砍了！”
甘蒙慌了，連忙同意：“我去，我去。隻怕誤了軍機，可不是鬧著玩的。”
當晚，孫臏設酒席給甘蒙餞行，笑嗬嗬勸酒。甘蒙卻愁腸百結：此去必死無疑，我一死不足惜，可憐數萬弟兄都要斷送在我手中了！
“孫將軍，趁我未去黃泉之前，可還有什麼話說？”
“甘將軍，何出此言，今晚飲的是慶功酒，此番定能馬到成功！”孫臏一邊敬酒，一邊說下去，“你催動坐騎，徑直朝金木門的中心馳出，不去管番將的迎殺，便可安然突圍。”果真如此。兩天後，救援的軍隊會師牛頭山，大破七曜陣，直殺得龐涓人仰馬翻，潰不成軍。甘蒙立下了特等大功。
其中奧妙何在呢？原來孫臏曾命令可靠偵探探得番將坐騎的最快速度，隻相當於甘蒙追風馬的八成（百分之八十），孫臏估計到甘蒙一出營房（從日位朝金木連線的中點方向），龐涓人馬就會分別從六角座位（以日位為中心的正六邊形各頂點）衝擊，始終緊盯著甘蒙奔馳處靠近，但他們卻追不上甘蒙。
你知道這是什麼道理嗎？
圖（甲），當甘蒙從日位出發，徑直朝金木門的中心馳出（箭頭方向），顯然，僅討論金點（或木點）的敵人追逐情況即可。
圖（乙），甘蒙從Ｏ點跑至Ｐ１，同時金點敵將從Ａ點追至Ｐ′１，＝０.８０Ｐ１；繼續前進，則敵將路線成ＡＰ１……Ｐ′２……Ｐ１１′曲線。圖（丙），某種不同情況下，甘蒙跑到ＯＨ三分點的Ｐ處：
敵將追至Ｐ１（比曲線要近得多），接著立即搶先到Ｈ點攔截，即使這樣，他也追不上甘蒙，因為槡ＡＨ＝３ａ，對△ＡＰ′Ｈ運用餘弦定理，則有槡Ｐ′Ｈ２＝（１.６ａ）２＋（槡３ａ）２＝２×１.６ａ·槡３ａｃｏｓ３０°＝０.７６ａ２，故Ｐ′Ｈ＝０.８７２ａ，Ｐ′Ｈ大於ＰＨ的八成，即Ｐ′Ｈ＞０.８ａ。
所以，當敵將到達Ｈ點時，甘蒙已過Ｈ點；再繼續前進，路線幾乎在同一直線，甘蒙馬快，愈來愈追不上。
用不定方程算張宗昌有多少兵力張宗昌是綠林大盜出身，本來肚子裏沒有什麼文化，可說是鬥大字不識一筐。作為一軍之長更是個糊塗蛋，竟不知自己手下有多少兵！一日，他到某營地視察。該營營長集合了士兵之後，不知是因為緊張，還是與張宗昌一樣是個糊塗蛋，點了半天的士兵也沒點清。其實，這個營的人數不多，不過３００多人。按照當時的排隊慣例，兩人排一行多出１人，改為３人、４人、５人、６人排一行，也都多出１人，７人排一行卻不多不少。我想學過最小公倍數原理的同學們一定可以算得出來。
解這道題有個辦法，先求出２、３、４、５、６的最小公倍數是６０，推算出士兵總數應該是：６０ｘ＋１，並且知道６０ｘ＋１能被７除盡，經過幾次試算，就能找出ｘ是什麼數，也就知道人數是多少了。
這個辦法，實際上是“湊”出個數來，對付較簡單的數是可以的。如果我們把題目改一下，把“士兵不超過４００人”改為“士兵人數在１０００到１２００人之間”，或者改為“士兵人數在３９００到４２００之間”，用湊數的辦法就很困難了。如果采用列不定方程的辦法，就可以使解答具有普遍性，不論數目的數字多大，總是可以應用這種方法解答的。
設這支隊伍有ｘ人。每２人、３人、４人、５人、６人排一行都多出一人，換一句話說，（ｘ－１）能被２、３、４、５和６整除，而２、３、４、５和６五個數的最小公倍數是６０，因此（ｘ－１）亦能被６０整除。除ｘ－１６＝ｙ，ｙ應是正整數。變換一下，就列出不定方程式：
ｘ＝６０ｙ＋１Ｘ能被７整除，即６０ｙ＋１７＝８ｙ＋４ｙ＋１７是正整數。設４ｙ＋１７＝ｔ，ｔ也應是正整數。變換一下，得出：
ｙ＝７ｔ－１４＝ｔ＋３ｔ－１４設３ｔ－１４＝ｔ１，為了使ｙ是正整數，ｔ１亦是正整數，變換一下，得出：
ｔ＝４ｔ１＋１３＝ｔ１＋ｔ１＋１３設ｔ１＋１３＝ｔ２，為了使ｔ是整數（並注意ｔ１是正數），ｔ２亦必須是正整數，變換一下，得出：
ｔ１＝３ｔ２－１現在我們來列一個ｔ２與ｘ的關係式，ｘ＝６０ｙ＋１＝６０（７ｔ－１４）＋１＝１０５ｔ－１４＝１０５（４ｔ１＋１３）－１４＝１４０ｔ１＋２１＝４２０ｔ２－１１９ｔ２是正整數，可以取１、２、３……，但題目規定這支隊伍不超過４００人，所以ｔ２隻能取值１，即ｘ＝４２０－１１９＝３０１，這支部隊有３０１人。
引入這樣多未知數，目的就是要求出未知數ｘ的通解（也可以求出ｙ的通解），當取任何整數，我們將得到方程式ｘ＝６０ｙ＋１所有整數解，這樣的解，具有普遍性，數學上稱為通解。事實上，這一題的解法，基本上已告訴大家，對ａｘ＋ｂｙ＝ｃ這種類型的不定方程式，求出所有整解的一般方法。如果你知道，求兩個整數最大公約數的“輾轉相除”方法（或者將一個分數化成連分數的方法），你就會發現，上麵的解法實質上就是“輾轉相除”。
采用這個方法，很快就可以算出，當隊伍人數在１０００與１２００之間時，解答是１１４１（ｔ２＝３）。隊伍人數在３９００到４２００之間時，解答是４０８１人（ｔ２＝１０）。
水兵的“特解”方程故事統觀全球流行的水兵服裝，其顯著特點是：上裝有方形披肩，下裝褲管肥大。
古代男子流行蓄長發，而水手為了適應海上的漂泊生活，喜歡將長發梳成辮子，並塗油增加美感。誰知油光鋥亮的辮梢又常常玷汙水手的服裝。於是，他們又在自己的肩上披上一塊方巾來保潔。這個方法曆經數百年的演變後，就成了今天別樹一幟的水兵上裝款式。
水兵褲褲筒肥大，這同樣與他們的海上活動緊密相關。水手們長年在驚濤中拚搏，一旦不慎落水，肥大的褲子將易於掙脫，從而減輕了負重；水手日常衝洗甲板勞作頻繁，肥大褲口可以罩住靴子、阻擋水花濺入；也有助於將褲筒翻卷過膝蓋。不知從何時開始，這種水兵褲在陸地上也逐漸流傳開來，並被人們視為時髦，甚至有意加大尺寸，變成了“喇叭褲”。
水兵們除穿著奇特外，做事也有自己的原則，由於他們長年要在海上度過，所以，養成了善於思考的好習慣，你看，一次海上訓練時，有５個水兵帶了１隻猴子，來到南太平洋的一個荒島上，在這裏，他們做了一個小小惡作劇，從而引出了一個小小的數學難題———他們一行５人剛踏上這個小島時，發現那裏有一大堆椰子，因為長時間的航行，旅途極度勞累，他們一躺下就睡著了。不久，第一名水兵醒來，他把椰子平分為５堆，還剩下一隻椰子便丟給猴子吃了，自己私藏起一堆，就翻身睡下。隔了一會兒，第二名、第三名、第四名、第五名水兵先後醒來，各自將這出“戲”（平分成５堆，自己私藏一堆，丟１隻椰子給猴子吃）重演了一番。天亮了，大家都心裏有數，誰也不說，但為了公平起見，又把剩下的椰子重新分成５堆，大家各取一堆。這時，說也奇怪，正好又多出１隻椰子，把它丟給了猴子。你能算出原先一共有多少隻椰子嗎？
此題存在著無限多解。現隻求最小整數解，並探討解的一般規律。
設Ｎ是最初的椰子數，Ｆ是天亮後最末一次分配時，每名水手所分到的椰子數，於是可列出下列的方程組：
Ｎ＝５Ａ＋１４Ａ＝５Ｂ＋１４Ｂ＝５Ｃ＋１４Ｃ＝５Ｄ＋１４Ｄ＝５Ｅ＋１４Ｅ＝５Ｆ＋１化簡後可得：
１０２４Ｎ＝１５６２５Ｆ＋１１５２９由於椰子數Ｎ曾被連續６次分成５堆，因此如果某數是該方程的一個解，則把此數加上５６（５６＝１５６２５）後，顯然仍是方程的解。一般人解不定方程應用題，總是設法求出它的正整數解，可是數理邏輯學家懷特海卻想出一個異乎尋常的辦法，他先請負整數來幫忙，求出特解之後，再“讓位”給正整數。
令Ｆ＝－１，代入方程可求出Ｎ＝－４，既然－４是這個不定方程的一個“特解”，那麼－４＋５６仍然是該方程的特解，於是就馬上求出了本題的椰子數應該是：
－４＋１５６２５＝１５６２１（隻）懷特海怎麼會“領悟”出這種傳奇式的解法呢？假定當初有－４隻椰子，則在其中硬拿出一隻給猴子後，還剩下－４－１＝－５（隻），分成五堆，每堆有－１隻椰子，私自藏起一堆後，還剩四堆，所以一共仍然是－４隻椰子，這正好是回到了沒有以前的情況。
設想ｘ是原來的椰子數，ｙ是經過一位水手搞小動作以後的椰子數，則有變換Ｔ（ｘ）＝ｙ，其解析表達式是：
ｙ＝４（ｘ－１５）顯然，ｘ＝－４時，ｙ＝ｘ，所以－４是這個線性變換的“不動點”。不動點是數學裏一個非常重要的概念，其意義已遠遠超出了題趣。
方程知道火箭炮在哪裏在海灣戰爭中，出盡風頭的美國軍隊顯然對這樣的一個事實感到萬分羞愧。１９８５年，有幾個小偷公然登上了海軍“山鷹”號航空母艦，拆卸了Ｆ－１４飛機上的零部件。事情被發現後，美國全國一片嘩然，許多人批評說，一些軍火庫的防護網盡是破洞，報警係統名存實亡。
國際軍火商顯然知道哪些美國軍事裝備容易搞到手。美國官員多次截獲了出售數以百計的導彈、大炮，甚至直升機的清單。
在德國的一個美軍基地裏，美國官員發現先進的“毒刺”式導彈就隨意放在鏽跡斑斑的金屬箱子中，外麵還有“毒刺”式導彈的標記，好像生怕竊賊認不出來似的。
盜竊武器的人不僅有一般的小偷，甚至軍人和警衛人員也從事盜竊。失竊的武器大到導彈，小到手槍，五花八門。這些盜賊膽大包天的程度使人難以相信。
美軍華盛頓一個軍火庫，夜裏丟失了新研製的火箭炮。警察局長派善於運用數學偵察的愛克探長前往軍火庫偵察。愛克探長先找到當晚看守軍火庫的值勤士兵，問他們可曾發現什麼異常情況。兩個士兵回答：“昨天午夜我們聽到軍火庫後麵有響動，問口令但沒有人回答。正端起槍想轉到後麵看看，隻覺得腦袋上重重地挨了一下，然後就什麼也不知道了。”