投擲次數越多，頻率越接近於０.５。這中間究竟有些什麼奧妙？現代概率論給予了科學的回答：即是當試驗次數很大時，事件出現的頻率和概率有較大偏差的可能性很小，因此可用頻率來代替概率。可見，在大量紛紜雜亂的偶然現象背後，隱藏著必然的規律，“頻率的穩定性”就是這種偶然中的一種必然。可見，要想使１００枚錢幣扔下去全部朝上顯然有違常規。狄青的僚屬正由於深知這一點，才力勸主帥放棄這種嚐試的。廣大的士兵出於對鬼神的崇拜、經驗的啟示和對主帥的神秘感，則半信半疑，拭目以待，而這種可能性微乎其微的事竟然發生了，將士們自然認為是有神靈護佑。這是古代將帥使用“愚兵計”的治軍用兵的典型事例，這我們姑且不論，還是回過頭看看狄青如何在破敵凱旋後，來感謝神靈的吧。
狄青帶著部隊凱旋回來後，便當即命人把戰前動員時所投下的１００枚銅錢上的釘子拔起來，在那一刹那，他的僚屬們才恍然大悟，原來，這些錢幣都是狄青特製的，兩麵都隻鑄了正麵！聰明的狄青，注意到人們在觀察隨機現象時，往往過於相信自身的經驗，而忽視了前提條件。從而利用了人們的思維定式和敬畏鬼神的迷信心理，機智巧妙地采用偷梁換柱的手法，更換了“銅幣有正反兩麵”的前提，把銅幣兩麵鑄成一樣。這時，對狄青來說，１００枚錢全部朝上是個必然事件，但在別人看來，卻是幾乎不可能出現的事件，然而這不可能發生的事竟然發生了！那時那刻，在眾人的心目中，興奮戰勝了懷疑。眾士兵自然覺得，神靈的護佑是這種超乎尋常巧合的唯一解釋。於是，一種對科學的愚弄，騙過了他的部下，竟然激發起千軍萬馬的勇氣，鼓舞了士氣，贏得了勝利。從這個故事中可以看出，大將狄青不愧是一名有勇有謀的猛將。概率解鎖送情報一天，智身和師傅為給八路軍送情報，師徒二人一路沿途化緣來到一座大山腳下，此山上密林蔥蔥，輕霧繚繞，頗有一派人間仙境的風光。師徒二人稍稍休息，便起程上路。不想當二人來到一處稍平坦的地域時，突然叢林中竄出幾條大漢，不由分說將師徒二人捆綁起來，蒙住眼睛，帶到不知何處。當師徒二人被拿掉蒙眼布時，他們看見眼前是一位凶神惡煞般的山大王，以及周圍的諸多嘍，原來是一群土匪。此情景使師傅打了個冷戰，心想：“這下可完了，情報送不成了，命也難保住。”扭頭看智身，隻見徒弟麵不露驚色，從容不迫，師傅不禁麵露愧色，隨之穩定精神。打劫者沒有搶到什麼財物，便想刁難一下他們再放走師徒二人。於是便出了幾個智力題讓他們回答，如果回答不上來，便要他們留下為奴。不想智身一連答對了這幾個問題，山大王不得不履行諾言，放他們走。誰知因智身的機智惹惱了山大王，臨下山之際他突然改變了主意，叫來兩名嘍，用鐵鎖把智身師傅的雙腳鎖住了。
智身氣憤地問：“你把他的雙腳鎖起來，叫他怎樣走路？”
“哈，哈……”山大王一陣狂笑說，“你應該幫助他呀！我已經把下山的路線寫得清清楚楚，剩下的事情就由你這個徒弟來做了。”
山大王指著智身的師傅腳上的鎖說：“這是把密碼鎖，密碼是由六位數字１ａｂｃｄｅ組成。把這六位數乘以３，乘積就是ａｂｃｄｅ１，你們可以算算這個密碼是多少。不過，你們要注意，算對了就能打開鎖。如果算錯了，撥錯了密碼，鎖會變得非常緊，你師傅的腳就要被夾壞呀！”
憤怒的智身問：“可以走了嗎？”
山大王石手向前一伸說：“請！”
智身也沒搭話，背起師傅就走。按照山大王給的圖示上所標的路線，來到了一條大河邊。河上架著一座用繩子綁成的木板橋，橋還挺長，中間用幾根木柱支撐著。橋邊立著一塊木牌，上麵寫著：此橋最多承重５０公斤。
智身將師傅放到了地上，擦了把汗問：“師傅，您有多重？”
師傅回答：“３５公斤。”
智身說：“我４０公斤，看來我背著你過橋是不行了。”
師傅說：“智身，你先下山送情報吧。叫你背著我走，你的負擔太重了。”
智身也很著急，他既不想把師傅扔下不管，又不想耽擱了八路軍的情報，怎麼辦呢？智身焦急地在橋邊來回遛了兩趟，突然他雙手一拍說：“有主意啦！”智身解開綁橋板的繩子，拆下一段橋板，又用繩子的一頭拴住木板，讓師傅平躺在木板上。智身跳到水裏遊了一段，又爬上木橋，他用繩子拉著木板一同往前走，很快就把師傅拉過了河。
師傅高興地說：“利用水的浮力，你把我拉過了河。”
智身一拍大腿說：“嘿！咱倆可真糊塗。把密碼鎖打開，不是一切問題都解決了麼！”
師傅說：“這要算半天哪！密碼的六位數字是１ａｂｃｄｅ，乘以３之後，得ａｂｃｄｅ１，可以列個豎式。ｅ×３的個位數是１，隻有７×３＝２１，ｅ必定是７；由於２１在十位上進了２，這樣ｄ×３的個位數必定是５，那麼ｄ一定是５；同樣可以推算出ｃ＝８、ｂ＝２、ａ＝４。”師傅在地上寫了幾個算式：
１ａｂｃｄｅ×３ａｂｃｄｅ１１ａｂｃｄ７×３ａｂｃｄｅ７１ａｂｃｄ５７×３ａｂｃ５７１師傅高興地舉起雙手說：“哈哈，我算出來啦！密碼是１４２８５７，我來把鎖打開。”說完就要開鎖。
“慢，”智身說，“如果錯了，可就糟啦！鐵鎖會越來越緊。
這樣吧，我用列方程的方法再算一遍，看看得數是否一樣。如果一樣了再開鎖也不遲。”
智身在地上邊算邊寫：
設ａｂｃｄｅ＝ｘ，那麼１ａｂｃｄｅ＝１０００００＋ｘ，因為ａｂｃｄｅ１＝１０×ａｂｃｄｅ＋１＝１０ｘ＋１，可列出方程３×（１０００００＋ｘ）＝１０ｘ＋１，展開３０００００＋３ｘ＝１０ｘ＋１，７ｘ＝２９９９９９，ｘ＝４２８５７，∴１ａｂｃｄｅ＝１４２８５７。
師傅高興地說：“結果一樣，沒問題啦！”
智身小心地把密碼鎖撥到１４２８５７，隻聽“哢嗒”一響，鎖打開了。兩人非常高興，順順利利地將八路軍的情報送到了。數理統計解戰爭名著案件“１９１９年１１月，克拉斯諾夫將軍的白軍重新集結力量對察裏津發動了新的攻擊。白衛軍把第９集團軍逼向北部，在第１０集團軍的右翼轉入了進攻，奪取了杜博夫卡後，向伏爾加河前進。
杜博夫卡是戰局轉換的一個樞紐，如果重新占領它，那麼將恢複察裏津東北地區的局勢，而且可以將卡梅申戰鬥地段與保衛察裏津的整個戰線連成一片。為此，布瓊尼率領的騎兵們以隱蔽動作到達衝擊出發點古姆拉克，１１日發動突然襲擊，於１２日中午攻克杜博夫卡，共消滅敵軍４個騎兵團和２個步兵團，隨後向達維多卡發動了進攻……”
這是１９１８年察裏津保衛戰中的片斷。這樣激烈的戰爭場麵，當它被描寫進小說《靜靜的頓河》裏之後，理所當然要引起文壇的注意。因此，１９６５年它獲得了諾貝爾文學獎也是不足為奇的。
然而《靜靜的頓河》的故事遠不止這些。先是兩位蘇聯作家亞曆山大·索爾仁尼金與羅伊·麥德維傑夫指控肖洛霍夫是個騙子，聲稱《靜靜的頓河》不是肖洛霍夫寫的，真正的作者是哥薩克地方民族主義者費奧爾·克魯烏科夫。而肖洛霍夫隻不過將已去世作家未出版的作品手稿重新改寫了前兩卷的５％，後兩卷的３０％，就改頭換麵，以自己的名義發表了。接著是克魯烏科夫的未亡人出來大鬧天宮。近年來，又殺出一位程咬金———挪威首都奧斯陸大學的蘇聯文學教授蓋爾·克其薩，他用電子計算機對文學作品進行分析研究，其別具一格的論文曾發表在世界知名的權威性雜誌《計算機與人文科學》上，轟動一時。
克其薩教授與他的挪威、瑞典同事，使用烏普沙拉大學的一台ＩＢＭ３７０／１５５電子計算機對《靜靜的頓河》的文章風格與其他一些特點與克魯烏科夫的公認作品，進行了統計分析：抽取樣品，編製程序，測定句子的長度，計算詞類的分布與組合情況，力求得出一個客觀的結論。他們主要研究了三個重要參數，為了對比，把肖洛霍夫的無可爭辯的作品作為第一組，《靜靜的頓河》
作為第二組，克魯烏科夫的作品作為第三組。
第一個參數是一部作品中不同詞彙總量與總詞彙量的百分比。統計結果表明：第一組為６５.６％，第二組為６４.６％，兩者非常接近。而第三組卻隻有５８.９％，明顯低於前兩個數據。這說明，克魯烏科夫在其作品中，更喜歡經常重複使用同樣的詞彙。
第二個參數是詞彙分布頻譜。對比，也是第一組與第二組比較接近。學者們選取了２０個俄文中常見的詞彙來研究比較。它們占作品中全部詞彙的百分比分別是：第一組２２.８％，第二組２３.３％，第三組２６.２％。
最後一個參數是作品中隻出現過一次的詞彙所占的百分比。
對此，肖洛霍夫的作品為８０.９％，《靜靜的頓河》為８１.９％，克魯烏科夫的作品則隻有７６.９％。
研究結果表明，所有的參數都存在一個一致的趨勢，即克魯烏科夫的作品與《靜靜的頓河》之間，存在著顯著的統計差異。
由此可見，這部傑作的真正作者很難說是克魯烏科夫。相比之下，肖洛霍夫倒更像是《靜靜的頓河》的原作者了。
數理統計使文壇上這宗多年懸而未決的案件進一步明了，筆墨官司打到如此地步，看來對肖洛霍夫是有利的。至於將來究竟如何結案，還要看文壇專家的結論。
弓箭戰中的概率問題在中世紀的曆史上，雖然英、法兩國關係非常密切，也時常發生衝突。早在１０世紀末的時候，法蘭克王國分裂成許多公國，其中最強大的是西部的諾曼底公國。諾曼底公國與英吉利王國隻相隔一條拉曼什海峽（今稱多佛爾海峽）。１１世紀下半期，諾曼底公爵威廉趁英吉利王國內訌，渡海進攻，打敗了英國，不久進入倫敦，加冕為英吉利國王。這就是曆史上的“諾曼底征服”
事件。
到１２世紀中期，威廉的後裔不僅占領了英吉利的疆域，而且以法王封臣的身份，在法國占有了比法蘭西王室多６倍的領土。法王為了取得法蘭西的統一，時常同英國發生武裝衝突。
１３２８年，法王腓力六世與英吉利的國王愛德華三世，為了爭奪富饒的紡織地區佛蘭德爾，發生衝突，愛德華三世以自己是法王腓力四世的外孫，與腓力六世爭奪國王的繼承權為借口，引發了兩國之間長達百年之久的戰爭。
戰爭於１３３７年１１月開始的時候，雙方的軍事行動都很緩慢，但到了１３４０年，當英國海軍在擊潰了法國的艦隊後，英國便獲得了海上優勢。６年後，英國陸軍又出現在法蘭西土地上，此舉引起了法王腓力六世的雪恥解恨的複仇心理。一天清晨，他親自統帥著隊伍，從行宮所在地阿柏維爾城出發，向英軍駐地進軍。當傳令兵前來報告前方已經看到了英軍的旌旗時，腓力六世立即傳令各部隊馬上停止進軍，原地待命。但不知什麼原因，盡管最前麵的部隊已經停下，後麵的部隊卻繼續向前行進。這樣隊伍發生了混亂，國王和將軍們都無法控製他們。沒多久，法軍就全部暴露在英軍麵前。
當時指揮英軍的英王太子見到法軍接近，就立即命令英軍排列成三道戰線：弓箭手排成方陣，重騎兵列在戰線底層，第二線的兵力整齊地展開成為翼形，隨時準備應援。
這邊腓力六世看到英軍以後，頓時滿腔怒火，眼睛通紅。他不顧自己隊伍混亂，就命令弓箭手們上前，立即開始戰鬥。
法王這次帶來的弓箭手有１５０００名之多，都是從熱那亞招募來的雇傭兵，每人每分鍾能射出四支飛箭。但是他們背著弓箭，走了這麼多的路，已經非常勞累，加之天公不作美，電光閃閃，大雨傾盆。這些士兵早就失去了戰鬥力。看到這情形，腓力六世氣得青筋在鬢邊迅速跳動。他抽出寶劍，猛地向旁邊的一棵樹砍去：“傳我的命令，立即進行戰鬥，否則就地處死！”
雙方打了一陣子，雷雨停止，天氣晴朗，陽光燦爛。那光芒從英軍背後照耀過來，正好映入法軍眼簾。法軍的弓箭手們集合起來開始進攻了。他們先是又跳又叫，肆意辱罵英軍，但英軍絲毫不為所動，繼續保持原有陣勢。法軍士兵拉起弓來激烈地發射，但是，由於對著陽光，非常耀眼，不大能命中目標。
看時機已經成熟，英王太子一聲號令，英軍的弓箭手們前進一步，開始發箭。那些箭既集中，又有力量，連珠炮似的發射到法軍弓箭手的頭上和胸部，嚇得他們狼狽後退。原來，英軍的弓箭手雖然也是雇傭兵，但都是從本國招募來的。他們能用很重的弓，把箭準確地射中３５０步遠的目標，而且發射速度遠比熱那亞人的快，每分鍾能射出１５支；加上他們所處的位置好、不耀眼，因此在這場弓箭戰中占了上風。
法王見自己的弓箭手們亂紛紛地後退，便下令殺掉雇用來的弓箭手，以清除前進的障礙。於是，立即有一隊重騎兵衝到後退的弓箭手隊伍中舉刀砍殺，法軍的隊伍一片混亂。被砍殺的法軍弓箭手成了亡命徒。其中一個弓箭手不顧一切抓起一簇箭射向砍殺他的騎兵，他將一半的箭用於自衛，箭數的平方根的４倍殺死了一些戰馬，有６支箭射中了舉旗的法軍騎兵，３支箭射破了法軍的旗幟，最後一支射得準極了，正好穿透了砍殺他的騎兵的頭顱。（這個弓箭手到底拿了多少支箭？）英軍見法軍陣勢混亂，繼續不停地把利箭發射到法軍的重騎兵中去，接著，騎兵和步兵又衝進法軍隊伍，大肆進行砍殺。腓力六世見勢不妙，帶領殘兵倉皇逃走。
戰後英軍打掃戰場時發現，有８５％的弓箭手被砍掉了耳朵，８０％的弓箭手被打瞎了眼睛，７５％的弓箭手被砍掉了手，７０％的弓箭手被砍斷了腳。英王太子高興之餘，便問士兵在這次戰鬥中，同時失去耳朵、眼睛、手和腳的弓箭手至少占多大比例？
在英法的這場衝突中，涉及兩個數學問題。先來分析前一個問題，弓箭手到底拿了多少支箭？
不知讀者們注意到了沒有，裏麵有一句話提到了平方根，也就是說，要知道答案，就必須解一個無理方程。可是在當時，無論是法軍的弓箭手還是騎兵都不知道無理方程是什麼，也不知道怎樣去解。用現代的數學知識是很容易解決這個問題的。如果設弓箭手射出的箭數為ｘ支，那麼他用於自衛的箭數就是１２ｘ，箭數的平方根的４倍即槡４ｘ支箭射死了一些戰馬，而射中旗手的是６支，射破旗幟的有３支，射中騎兵的有１支，把這麼多支箭加起來就是弓箭手射出的箭數。
方程為：１２槡ｘ＋４ｘ＋６＋３＋１＝ｘ方程兩邊都減去１２ｘ和１０，得槡４ｘ＝１２ｘ－１０方程兩邊都平方，得１６ｘ＝１４ｘ２－１０ｘ＋１００ｘ＝１００或ｘ＝４由於射中旗手的箭就有６支，這樣ｘ＝４不符合題意（舍去），所以弓箭手一共射出了１００支箭。由此可知，其中用５０支自衛，用４０支箭射死了一些戰馬。
再來看第二個問題，即英王太子的問題，因為８５％的弓箭手失去了耳朵，８０％的弓箭手失去了眼睛（兩個百分數之和為１６５％），那麼他們至少有６５％的人同時失去了耳朵和眼睛。又因為同時失去耳朵和眼睛的人不少於６５％，而失去手的人又占７５％（這兩個百分數的和是１４０％），那麼，同時失去耳朵、眼睛和手的人至少是４０％。由於同時失去耳朵、眼睛和手的人至少是４０％，失去腳的人占７０％（這兩個百分數的和是１１０％），那麼，同時失去耳朵、眼睛、手和腳的人至少是１０％。細菌戰中的數學意義這是朝鮮戰場上的第二個春天。春天的田野裏，一個十來戶人家的小村莊被青山綠水環繞。村東頭的小學校，從地下室傳來孩子們清脆的歌聲。美國強盜的炮彈擋不住孩子們上學。
放學了，孩子們背著書包唱著歌蹦蹦跳跳沿著小溪往家走，走著走著，前麵的孩子停止了歌聲，捂住了鼻子。接著，其他的孩子也聞到了一股臭味。他們迎著飄來的臭味找去，發現綠草中有一枚大彈殼，裏麵是一堆臭老鼠。死老鼠怎麼鑽到彈殼裏麵去了？原來這是美國強盜投的細菌彈。孩子們飛快跑回村子報告了誌願軍，誌願軍的衛生隊立刻對現場進行消毒。為了保證朝鮮人民的安全與健康，戰鬥勝利後，誌願軍的醫療隊馬上對附近地區的１４００戶朝鮮居民進行霍亂、肝炎檢查。普通的檢查方法是：
由醫療人員到各個普查點抽取每位受檢人員的少量血液，做好標記，由醫療人員帶回逐一檢查，最後再把檢查結果告訴每一位被檢查者。這種普查方法雖然很有效，但是檢查過程費時費力。由於醫療隊的人數有限，不可能做到一一驗血，那麼有沒有省時省力的辦法昵？答案是肯定的。