幾何學的新時代自從公元前３世紀歐幾裏得的《幾何原本》一出現，就被公認為是最完美的數學體係。建築在最基本的假設之上，《幾何原本》構建了格外壯觀的數學定理架構。歐氏幾何是形式公理演繹體係，然而，幾何學的這一嚐試帶來了一個小問題，而曆代數學家們則總是盯著這一問題不放，試圖做些文章，這就是第五公設。有爭議的第五公設是：如果一條直線與已知兩條直線相交且與這兩條直線在同一側所圍成的角之和小於１８０°，則這已知的兩條直線在這一側相交。簡單地說：如果兩條直線不平行，這兩條直線一定有一個交點。所有人都認為第五公設是正確的，但是人們不理解為什麼要把它作為《幾何原本》的公設。人們試圖去證明它：認為它是一個由其他公理可以證明的定理，而不是公設。
很多人都認為自己證明了第五公設，但是，仔細審查這些證明就可以發現，在證明中總是潛藏著新的假設，而這一新的假設不過是第五公設的變形。很難找到另一個更顯而易見的公設來代替第五公設。
很多數學家都在繼續研究第五公設。最有名的是１１世紀的花剌子密和１３世紀的突斯人奈綏爾丁。兩人的研究被翻譯成拉丁文並影響了傑羅拉莫·薩凱裏（ＧｉｒｏｌａｍｏＳａｃｃｈｅｒｉ，１６６７—１７３３）。在薩凱裏去世那一年他出版了題為《免除所有汙點的歐幾裏得幾何》的著作。他試圖通過與其他可能的公設相矛盾的反證手段來證明第五公設。他畫出了現今被稱為“薩凱裏四邊形”
的由兩組“平行線”組成的四邊形，並提出了關於薩凱裏四邊形內角和的三個不同假設，它們分別是：四邊形的內角和小於、等於、大於３６０°。如果他能證明第一個和第三個假設存在邏輯矛盾，那麼他就證明了中間的那個假設是唯一能構成自相容幾何學的假設，這也就是證明了與其等價的第五公設。具有諷刺意義的是，這將會證明歐幾裏得把它作為公設是正確的。薩凱裏很輕鬆地證明了第三個假設將導致邏輯矛盾，但是第一個假設沒有邏輯矛盾，實際上他使用第一個假設證明了許多定理。最早的非歐幾何學已經在薩凱裏的眼前了，但是薩凱裏拒絕承認它。請記住，他所有這些工作的目的是為了推翻這一假設的正當性，而不是構造一門新幾何學。基於他所掌握的那些不符合邏輯的神學條例，他放棄了這一新幾何學。後來的數學家們卻與他不同，不存在如此大的懷疑。
對第五公設的過於迷戀，已不再隻是有關邏輯合理性的問題，它具有更深刻的意義。我們需要重新考慮現實空間本身的性質。歐氏幾何學不僅是和諧和堅固的數學體係，而且也是構造空間本身的方法。例如，歐氏幾何學認為兩點間最短連線從理論上或實際上都是直線。但是在已建立的古典球麵幾何學中，上述事實不再成立。在一個球麵上，兩點間最短連線是通過這兩點的大圓上的弧線，而且球麵上任意三角形內角和大於１８０°。那麼這又有什麼大驚小怪的呢？這與幾何體係的內在性質與外在性質的不同有關。外在性質是從體係之外能夠推知的性質，而內在性質是從體係內部可以推知的性質。例如，球麵幾何學的規則是通過從球麵外部觀測球麵時得到的，就好比手裏拿著一個球一樣。但是我們怎樣才能從純幾何學的角度來斷定我們是否生活在一個球麵上呢？我們能從純幾何學的角度斷定我們是生活在平坦的地球上還是生活在圓球形的地球上嗎？換一種方式來看，是否存在內在的性質，它在平麵上和球麵上是不同的呢？在考慮我們生活的三維空間的真正屬性時，這些相對簡單的觀念是重要的。在這一空間內，我們隻能以內在性質作為入門的捷徑。
約翰·海因裏希·蘭伯特（ＪｏｈａｎｎＨｅｉｎｒｉｃｈＬａｍｂｅｒｔ，１７２８—１７７７）是非歐幾何學的先驅。在他的《平行線理論》（１７６６年）一書中，他用與薩凱裏類似的方法證明了三個假設，它們分別等價於三角形內角的和小於、等於、大於１８０°的三種情況。他還揭示了球麵幾何學與其中第三種情況相類似。他推測第一種情況可能與以虛數為半徑的球麵幾何學相對應，以虛數半徑代替實數半徑導致了後來被稱為雙曲幾何學的公式和定理的產生。在雙曲幾何學裏，人們熟悉的ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ被ｓｉｎｈｘ、ｃｏｓｈｘ所取代。因此，雖然這種想法從現實上看不合情理，但是在數學中卻是接近真理的。蘭伯特的推測不久之後被驗證。
１９世紀初期，所有證明第五公設的嚐試都以失敗而告終。人們開始意識到非歐幾何學確實存在。這裏有兩位不知名的數學家成為這一領域的新星。
尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基（ＮｉｋｏｌａｓＩｖａｎｏｖｉｃｈＬｏｂａｃｈｅｖｓｋｙ，１７９３—１８５６）出生在俄羅斯一個小官吏的家庭。１１歲時他父親去世，留下羅巴切夫斯基的母親和３個孩子，生活拮據。後來他全家移居喀山，孩子們都受到了良好的教育，其中羅巴切夫斯基成績最突出。１４歲時，他進入了剛剛成立的喀山大學學習。在那裏，他接觸到了許多來自德國的傑出教授。２１歲時，羅巴切夫斯基成為一名教師，２年後擔任教授。作為一個有耐心、有條理又勤奮的人，他受到了同事們的尊重，回報卻是讓他接替了沒有什麼收益的管理工作。他擔任了學校的圖書館館長和學校混亂的博物館館長。在沒有任何助手的情況下，他一個人完成了所有的工作，使得圖書館和博物館變得井然有序。
１８２５年，政府終於為大學指派了一位專門的督察，後來該督察利用他的政治影響當選為校長。從１８２７年起讓羅巴切夫斯基成為學校的校長，他重組了學校的管理隊伍，使得教學自由化，建造了學校的基本設施，其中包括天文台的創建。大學是他的一切。１８３０年的霍亂席卷喀山，羅巴切夫斯基命令所有的學生和職員及家屬到校園尋找避難場所。由於他實施了嚴格的衛生條例，６６０人當中隻有１６人死亡。盡管他為喀山大學不知疲倦地工作，政府卻於１８４６年莫名其妙地解除了他校長和教授的職務。他的同事和朋友向當權者懇求，但還是無濟於事。當時他的視力已經很差，可他仍堅持數學研究。他最後的著作是口述的，因為那時他已經完全失明。
１８２６年，羅巴切夫斯基向學校提交了他的第一篇論文（使用了學術界通用的法語）。在論文中，羅巴切夫斯基概述了他的幾何思想。這篇題為《關於幾何原理》的文章直到３年後才發表在《喀山學報》上。這就是說，１８２９年是羅巴切夫斯基的非歐幾何學誕生的年份。在上述文章中，他闡述了第五公設是不可證的，而且通過用另一個公設取代第五公設，建立了新的幾何學。
他非常欣賞薩凱裏和蘭伯特的非歐幾何學的初期研究。同歐氏幾何學一樣，非歐幾何學具有堅實的邏輯體係。對羅巴切夫斯基自己來說，他所推導的定理與現實普遍認同的概念相抵觸，因此他把自己的發現稱為“虛幾何學”。但這並沒有降低他的工作的重要性。１８３５—１８３８年，他用俄語寫了《幾何新基礎》的論文。
１８４０年，他用德文發表了《平行線理論的幾何研究》一書。正是由於這本書，高斯向哥廷根科學院推薦了羅巴切夫斯基，羅巴切夫斯基於１８４２年被選為院士。然而高斯卻拒絕用文字的形式讚揚他。因此，他的創新思想未能很快被數學界接受，這使羅巴切夫斯基感到非常失望。隨之而來的被大學開除和失明更是雪上加霜。１８５５年他用法語和俄語同時出版了他最後的一本書《論幾何學》。羅巴切夫斯基———“幾何學領域的哥白尼”，死於１８５６年。貝爾特拉米（ＥｕｇｅｎｉｏＢｅｌｔｒａｍｉ，１８３５—１９００）給出了非歐幾何學的物理解釋，他證明了偽球麵滿足羅巴切夫斯基幾何學，同樣也滿足蘭伯特的早期重要的研究結果。
羅巴切夫斯基的新公設可以解釋如下：想象一條無限延長的直線，取直線外一點。歐氏幾何學的第五公設表述為，過該點能夠且隻能作一條與已知直線平行的直線，羅巴切夫斯基認為，過該點可以作多條直線與已知直線平行。這裏兩條直線平行，意味著兩條直線不相交。用數學術語來表示這一公設，會產生奇特但卻自相容的幾何學。事實上，根據“平行性觀點”的不同，存在無窮多個這樣的幾何學。
高斯沒有對羅巴切夫斯基的工作給以充分的肯定，他的理由可能是想對他的朋友Ｆ.鮑耶顯示自己的公正。Ｆ.鮑耶的兒子Ｊ.
鮑耶（ＪａｎｏｓＢｏｌｙａｉ，１８０２—１８６０）與羅巴切夫斯基同時創建了非歐幾何學。Ｆ.鮑耶是匈牙利鄉村的數學教師，並致力於證明第五公設。當他的兒子繼續他本人的工作時，他對兒子能否成功感到絕望，因此寫信給兒子說：“我懇求你看在上帝的麵上，放棄這一研究，不要逞一時之快。它會浪費你的時間，奪取你的健康、你內心的平靜和你的幸福。”然而Ｊ.鮑耶卻反而被父親的這封信所激勵，繼續他的研究。於１８２９年得到了實質上與羅巴切夫斯基一樣的結論。
Ｊ.鮑耶創建了他稱為“空間的絕對科學”的非歐幾何學，並附在父親老鮑耶的一本書中發表。這一成果於１８２９年得到。
這正是羅巴切夫斯基發表論文的同一年。但是，這一成果直到１８３２年才出版。由於他的文章隻是作為一本普通數學書的附錄，很容易被世人忽視。好在Ｆ.鮑耶是高斯的朋友，Ｆ.鮑耶把這一附錄寄給了高斯。高斯的回應是，對Ｊ.鮑耶的工作給以肯定，但是回避公開支持他的研究。原因是讚揚Ｊ.鮑耶就會被人認為是讚揚他自己，因為幾年前他本人也有過同樣的想法。這對Ｊ.
鮑耶是一個重大打擊，也毀了他的一生。他害怕自己的研究被人抄襲，拒絕發表其他任何內容。
高斯不願意承認羅巴切夫斯基和Ｊ.鮑耶二人的工作，這顯得有些無理。是的，高斯對這些問題確實曾有過一些想法，但沒有事實證明他曾經探索過非歐幾何學的本質。如果這樣的數學大家能伸出幫助之手，就能挽救Ｊ.鮑耶的研究生涯和羅巴切夫斯基的身體健康。高斯本人是從不同的觀點考慮這一問題的，當觀察一個曲麵上的直線時，他得到“一個曲麵的曲率與它所用的度量相關”的結論，他證明了曲率與曲麵所在空間無關。曲率是與曲麵上三角形內角和相關的內在性質，由此可見，這與非歐幾何學顯然類似。
由於持續了２０００多年的第五公設的神話被打破，歐氏幾何學的大廈瀕臨坍塌。雖然歐氏幾何學在邏輯上是首尾一致的體係，但它現在隻是許多幾何學中的一種，因此對它是否是宇宙空間本身的幾何學也產生了疑問。由於我們無法從外部了解我們生活的宇宙空間，作為觀察宇宙空間的真實幾何學的方法，對宇宙空間的內在性質的研究變得越來越重要，幾何學麵臨陷入雜亂無章的危險。這時，一位數學家俯瞰整個幾何學，給出了幾何學是什麼以全新定義。
伯恩哈德·黎曼（ＢｅｒｎｈａｒｄＲｉｅｍａｎｎ，１８２６—１８６６）是一位普通牧師的兒子，但他在柏林和哥廷根受到了良好的教育，１８５４年成為哥廷根大學的講師。哥廷根大學要求本校的每位新講師寫一篇就職論文。黎曼的這篇論文是數學史上最引人注目的一篇就職論文。他的題為《關於幾何基礎的假設》的就職論文，用最通俗的語言闡述了把幾何學構建為一門學科。這與歐幾裏得的尺規法完全不同。黎曼定義幾何學為關於流形的一門學科。流形是帶有坐標係以及定義了兩點間最短距離度量公式的任意維的有界或無界空間（包括無窮維空間）。在三維歐氏幾何空間，度量公式由ｄｓ２＝ｄｘ２＋ｄｙ２＋ｄｚ２給出。這一公式是畢達哥斯定理的微分等價物。這些流形是空間本身，不帶外部參考係。這樣，任何空間的曲率完全由該流形的內在性質確定。對於黎曼來說，幾何本質上是由一個ｎ維有序數組的集合與該集合上特定的規則組成。他關於空間的觀念推廣到幾乎不占地方，而變量間的任意關係，都可認為是“空間”。對不帶度量的係統的研究，稱為拓撲學的數學分支，它研究空間中區域如何彼此相連。
黎曼發明了現在被所有數學家使用的數學工具。平時慎重的高斯第一次對別人的工作大加讚賞。在黎曼擴展的幾何觀點下，歐氏幾何學就是曲率為零的幾何學，羅巴切夫斯基的幾何學是曲率為－１的幾何學，而球麵幾何學是曲率為１的幾何學。雖然黎曼可以看成是新時代的歐幾裏得，但是人們總是把他的名字與一種非常特殊的幾何學聯係起來，這一幾何學把平麵解釋為球麵的映象。後來黎曼開始研究理論物理。他的度量曲率空間的一般研究，為廣義相對論鋪平了道路。我們生活的空間不再是歐氏空間，但是我們現在已經有了探索宇宙的真正幾何性質的數學工具。
扔銅錢決勝疆場
宋皇五年，即公元１０５３年，發生了宋與儂智高之間的戰爭。
儂智高，是北宋廣源州（今越南高平省廣淵）壯族首領，慶曆元年（１０４１年）建“大曆”國，後又襲占安德州（今廣西清西）建南天國，隨之上書宋朝廷要求封為岜桂節度使，沒有得以滿足。皇四年（１０５２年）五月，儂智高率眾反宋。儂軍沿左江攻破岜州等八州，並多次在賀州等再打敗宋軍。九月，儂軍又攻破賓州。一時間打得宋軍不可招架，紛紛棄城而逃。
麵對儂智高反叛朝廷一時得勢，宋朝統治者怎能善罷甘休，仁宗趙禎遂命樞密院副使狄青為宣撫使，率軍南下平息叛亂。皇五年（１０５３年）正月，狄青率大軍開始南征。狄青所指揮的部隊都是嶺南駐軍，由於前時儂智高軍氣焰囂張，連克宋軍九座城池，對儂軍作戰自然心有餘悸。狄青對此了如指掌，他打仗一向注重激勵軍中士卒。他本是由皇帝衛士提拔起來的戰將，身經百戰所向披靡，深得範仲淹的賞識，後官至馬軍副都指揮使，仁宗念其功高，特意讓他敷藥以除去麵涅（士卒麵部刺的符號），狄青則留其麵涅作為激勵軍士的範例，向士卒表明朝廷是不論門第，隻論功擢升，士卒隻要戰功卓著，完全可以大有作為。這次，擔此大任，大部分軍校還沒有從以前的失敗情緒中解脫出來，自然對勝利就缺乏信心了。
狄青不愧是帶兵打仗的行家裏手，他自有激勵軍心士氣的靈丹妙藥。當他率大軍行至桂林以南時，一座神廟出現在眼前。據百姓傳說，這座廟供奉的神特別靈驗，既然如此，何不用之祈禱一番，狄青下令部隊在廟前停止前進，親自率眾將入廟祈禱，以求神靈在平叛作戰中取勝。隻聽他說道：“此次出兵，勝負無以說明。如果能夠大獲全勝，我撒出去的錢全是錢麵朝上。”說完就要把手中的一小袋錢幣撒出去。眾將見狀，不由得麵呈難色，這樣的祈禱未免太冒險，別說那麼多錢幣，就是一枚錢幣也隻有５０％的把握，這一撒出去，錢麵全朝上的把握實在是太小了，這樣做，很難如願，反而會長了他人的威風，滅自己的誌氣。眾將念及此舉非同小可，一齊勸阻狄青。狄青根本不聽勸阻，他似乎信心十足，揮手把百枚銅錢拋撒出去。眾將的心“嗵嗵”直跳。
銅錢從空中落下來，掙紮幾下躺在地上。眾人瞪大眼睛去尋找那難以出現的結果。但奇跡發生了，地上的銅錢清一色的錢麵朝上，真是“神靈”有眼，誠心讓宋軍得勝。眾將不禁轉憂為喜，此事在軍中傳開，上下齊聲歡呼，士氣大振。
狄青乘軍心大振，士氣旺盛之時，一舉突破昆侖關，收複岜州，平定南疆，把儂智高趕往大理。後來狄青命眾將觀賞這神力無比的錢幣，這時方才恍然大悟，原來狄青拋的是兩麵都一樣的錢幣，無論怎樣，結局都是一樣的幣麵。學過高中代數課概率這一章的人都知道，自然界的現象大致可分兩類，一類是確定性現象，另一類是隨機現象。而隨機事件在現實生活中是廣泛存在的，從表麵看，對隨機現象的每一次觀察，結果總是偶然的、不可預測的，但多次觀察一個隨機現象，便能從中發現規律。這種寓於偶然中的必然的學問就是高中代數課所學的概率。其定義是指在大量重複進行同一試驗時，某事件發生的頻率總是接近於某個常數，在它附近擺動，這個常數便是概率。身為大將軍的狄青在當時可能不甚清楚有概率論這門學問，但作為生活經驗他何嚐不知道，擲一枚銅錢，出現正反麵是隨機的，錢麵可能朝上，也可能朝下，有兩種不同結果呢？也就是朝上有１２的可能性。當然扔２枚錢時，會有４種結果，而２枚都朝上隻是其中一種，其可能性為１２２。同樣，扔３枚錢時，錢麵全部朝上是有１２３的可能性；扔４枚錢時，錢麵全部朝上有１２４的可能性；……以後每多擲一枚銅錢，各種正反的配合種數便增多１倍。扔１００枚錢時，錢麵全部朝上的可能性隻有１２１００，這個數字幾乎等於０了。這就是說，要想使１００枚錢幣扔出去全部朝上，這幾乎是不可能的事。這應當是人所共知的經驗。