神炮手用“圓”射擊
大家都知道，火炮射擊是離不開炮架的，但這裏講的故事就是不用炮架的神炮手是如何通過心算和目測進行射擊的。那是１９４４年７月７日，豫北八路軍打開了著名的輝縣張村據點，這是過去國民黨正規軍用全副新式裝備、重武器屢次沒有打開的一個據點，三個兩丈多高的小碉堡，圍著五丈高，三丈見方，牆厚五尺，上磚下石的大碉堡。六年來，敵人一直相信這是無法攻破的堡壘，然而，胡連長卻用了一門沒有炮架的迫擊炮，打破了敵人的美夢。當時胡奇才連長的炮在攻打大碉堡周圍的小碉堡時震壞了平射裝置，連炮架也震散了，眼看它不能用了，然而胡連長卻把沒有炮架的炮筒擱到牆缺口，兩邊用杠子壓住，就轟開了。第一炮從碉堡頂上飛了過去。老胡輕輕說聲糟糕，又從炮筒下抽去兩個坯，炮更加低了，低得隻有二十度。第二炮轟出去，把人的耳朵都震聾了，碉堡上層的磚牆嘩啦地倒下去了，裏麵叫著，“不行啦，不行啦！”緊接著第三炮出去，又是一角牆垮下去。隻聽碉堡裏的樓梯響，偽軍都下到第二層了。說來也巧，第四顆炮彈轟出去，鑽進頂層，沒有炸，倒過來從樓口一直掉下去，剛剛在第二層炸了個大開花。整個碉堡頓時混亂了。“同誌們，碉堡打垮了，衝上去！”胡連長興奮地高呼著。六年來從來沒有打開過的碉堡被沒有炮架的火炮給摧毀了，望著騰空而起的碉堡，胡奇才雙手撫摸著還沒用完的最後一發炮彈微笑了。
在這個故事中，大家注意，胡連長在射擊時，主要是通過抽去磚坯來調整射擊角度的。而現在射擊就方便多了，有激光測距機，可測角度和距離，也可通過測距儀來準備射擊諸元。請看圖。圖中ＡＢ是以ＯＡ＝Ｄ作半徑的圓上的一段弧；ａｂ是以０ａ＝ｒ作半徑的圓上的一段弧。從兩個相似的扇形ＡＯＢ和ａＯｂ，可以寫出下列比例式：ＡＢ／Ｄ＝ａｂ／ｒ，或ＡＢ＝ａｂ／ｒ×Ｄ。式中ａｂ／ｒ表示視角ＡＯＢ的大小；知道了這個比例值，就可以在Ｄ值已知的情形下算出ＡＢ值，或在ＡＢ值已知的情形下算出Ｄ的值來。炮兵們為了使計算簡化，他們不采用把圓周劃分成３６０等分的分度法，而把圓周劃分成６０００等分，這時每一等分大約相當於半徑長度的千分之一。
假定圖中圓Ｏ的ａｂ弧是一個分劃單位，那麼，全圓周的長度２πｒ≈６ｒ，而弧長ａｂ≈６ｒ／６０００＝１／１０００ｒ。這個單位，炮兵術語上叫做一個“密位”。因此ＡＢ≈０.００１ｒ／ｒ×ｄ≈０.００１Ｄ，也就是說，為了要知道和測角儀中每一“密位”相當的ＡＢ間的距離，隻要把距離Ｄ的小數點向左移動三位就成了。
在用口語或電訊下達命令、傳達觀測結果的時候，這種度數一般要像電話號碼的讀法讀出。１０５“密位”讀作“一○五”，寫成：“１－０５”；８“密位”讀作“○○八”，寫成：“０－０８”。
現在，你可以很容易地來解答下麵這個題目了。
如從反坦克炮上望去，在０－０５密位角下望到了一輛敵方坦克。試求坦克的距離，假定坦克高２米。
測角儀５密位相當於２米，測距儀１密位相當於２／５＝０.４米。由於測角儀每一密位相當的弧長等於距離的千分之一，因此，敵方坦克的距離是弧長的１０００倍，就是：Ｄ＝０.４×１０００＝４００米。
假如指揮員或偵察員沒有任何測角儀器，那麼他可以利用他的手掌，手指或任何手中現在的東西。不過必須把測出的“值”
折成“密位”，不能用普通的度數。
下麵是幾種物體“密位”的近似數值：
手掌———１－２０中指、食指或無名指———０－３０圓杆鉛筆———０－１２火柴長度———０－７５火柴寬度———０－０３使犯人屢次上當的橢圓１９４３年４月，當美國軍隊在北非取得全麵勝利後，美英法軍隊已從東西兩麵對突尼斯的德意法西斯軍隊形成包圍之勢，勝利在望了。經盟軍初步商定，一旦突尼斯的軍事行動結束後，下一步的進攻目標應是意大利的西西裏島。為此盟軍指定由副總司令亞曆山大負責指揮第１５集團軍群奪占西西裏島。該集團軍群下轄蒙哥馬利指揮的英軍第８集團軍和巴頓指揮的美軍第７集團軍，共有１３個師和３個獨立旅，總兵力達４７.８萬人。
西西裏島位於意大利的西南，是地中海的最大島嶼。該島東北隔墨西拿海峽與意大利本土相對，最狹處僅相距３公裏，呈三角形。由於它地處地中海的中部，戰略地位十分重要。在這個東西最長３００公裏，南北最寬為２００公裏的島上竟設有機場１０個，瀕海有水上機場４個。由於此島的重要戰略地位，德國和意大利對該島實行了重兵防衛，在這個麵積僅有２萬多平方公裏的島嶼上，部署了１３個主戰師和１４００多架飛機，總兵力達３６萬人。
由於盟軍戰前實施了有效的欺騙手段，致使德軍錯誤地將撒丁島和伯羅奔尼撒作為主要的防禦方向，而將西西裏島作為次要防禦方向，負責南歐指揮重任的德國陸軍元帥隆美爾還把他的大本營搬到希臘。當盟軍集中主力於１９４３年７月９日夜打響西西裏島登陸戰役時，對於德軍來說是絕對意外的。盟軍的登陸兵和空降兵在西西裏島南部的錫臘庫斯至傑拉１８０公裏的地段上實施了登陸和空降。
當天，實施空降作戰的美空降第８２師和英軍空降突擊隊的部分官兵被德軍俘獲，德軍將他們關押在一座岩洞監獄中，晚上他們偷偷聚集在岩洞的最裏麵，小聲議論著各自部隊的作戰情況，討論著越獄辦法和逃跑的方向。但是，美英空降兵沒有料到，他們周密的出逃計劃竟被德軍知曉。在第二天的突擊審訊中，有好幾個人的情況是德軍早已掌握的，這是怎麼回事呢？島嶼的夜晚是月清夜靜的，但這些被俘的盟軍官兵卻各懷心思，他們相互之間不再信任，大家麵麵相覷，相對無言。突然戴爾上尉想出了一個鬼主意，他想試探一下究竟是誰出賣了他們。他清了清嗓子，環顧一下大家，說道：“其實我們此行已經完成任務，讓德國佬在西西裏坐守空城吧！”戴爾上尉說完做了一個鬼臉，有幾個人詭笑起來，接著又是沉默。這晚直到就寢，大家再也沒有說話。戴爾上尉暗自慶幸，但等明天一早德國佬來提審。
第二天又是一個晴天，戴爾上尉一夜睡得很好，他早起使勁伸了個懶腰，微笑著向大家道早安，突然鐵門咣的一聲被撞開，德國佬來提人了。戴爾上尉不動聲色，暗中觀察德軍的動向，沒料到德軍徑直走向戴爾上尉，他們要提審戴爾上尉，大家被這個意外事件弄蒙了，怔怔地看著戴爾上尉走出牢房。
中午，戴爾上尉返回牢房，戰友們並未像往常那樣迎上來，也沒有人詢問他被審問的情況，戴爾上尉尷尬地衝大家笑笑，躺下睡去。
８月１７日德軍撤離西西裏島時，將關在岩洞裏的盟軍戰俘全部殺害，戴爾上尉也沒能幸免。雖然德軍迅速調整了作戰部署（一方麵調集了島上的兵力進行頑抗，以掩護該島通往墨西拿海峽東岸的道路；一方麵有組織後撤，使戰線縮短），致使美英盟軍合圍德意軍隊的企圖受挫，但他們最終取得了西西裏島登陸戰役的勝利。
後來，人們在清理戰場時，為戴爾上尉平反昭雪。原來德軍關押戰俘的監獄，是古希臘西西裏島的統治者開鑿的一個岩洞，專門作為監獄。這個岩洞不是隨便開鑿的，而是請了一位叫刁尼秀斯的官員專門設計的。岩洞監獄采用了橢圓形的結構，這種特殊的結構使得犯人在最裏麵小聲議論的聲音，通過反射可清楚地傳到洞口看守人的耳朵裏。後來人們就把這種設計叫做“刁尼秀斯之耳”。
橢圓很好畫。園藝工人修建橢圓形花壇時，先在地上釘兩根木樁Ａ和Ｂ。找來一根長短合適的繩子，將繩子的兩端分別係在兩根木樁上。再找一根短棍把繩子拉成折線，順著一個方向畫，畫出來的就是一個橢圓。
從上麵的畫法可以知道：一個動點到兩個定點距離之和保持一定長，那麼動點畫出來的圖形就是橢圓。兩個定點叫做橢圓的焦點。“焦”一詞來源於希臘文，原意是“爐子”和“火”。
橢圓有一個重要性質：就是從一個焦點上發出來的聲音、光或熱，經橢圓反射，可以全部聚集到另一個焦點上。
可以修一座橢圓弧形狀的牆，從一個焦點處向橢圓形牆上任何地方踢球，被牆反彈回來的球總是朝著另一個焦點滾去。
刁尼秀斯設計的岩洞監獄，其中一麵牆修成橢圓形的，犯人議論的地點恰好在橢圓的一個焦點上，而看守人則在洞口的另一個焦點上。盡管戴爾上尉他們說話聲音比較小，距離看守人也比較遠，但是聲音通過橢圓牆壁的反射，全部聚集到看守人員處，於是德軍就清楚地聽到了他們的議論。
古希臘人還修建過橢圓形的音樂廳，把演奏台設置在其中的一個焦點處。他們認為這樣設計，一個樂隊演奏，兩個焦點可以同時發出聲音，相當於有兩個樂隊同時演奏，音響效果好。
橢圓的這個重要性質，近年來被廣泛應用在科學技術上。比如激光。有一些物質如紅寶石、二氧化碳等，在外界強光的刺激下，可以發出一種能量非常集中、方向性非常好的單色光，這就是激光。
激光在工業、通信、測量、醫療、軍事等方麵有著重要應用。用激光測量地球到月球的距離，在３８４４００千米距離中，誤差隻有幾厘米，還不到一根指頭的長度。先進的激光炮，可以摧毀敵人的導彈和飛機。
各種激光材料需要在外界強光的刺激下，才能發出激光。目前，外界光源常選用高壓氙氣燈。如何把氙燈發出來的光，最大限度地集中到激光材料上去？科學家看中了橢圓。他們用反光性能非常好的材料，做成一個橢圓形柱麵的聚光器，然後把棒狀激光材料和氙燈，分別放在橢圓的兩個焦點處，使氙燈發出來的光，經過橢圓形柱麵的反射，能更好地集中在激光材料上，得到更好的激發。刁尼秀斯之耳在新的時代找到更多的用場。
戰俘的幾何逃生路囚禁是一種比死亡更可怕的生存。１８１２年的法俄戰爭中，時年４４歲的法軍上尉薩貝安被俄軍俘虜囚禁，曆經１００年後，以１４４歲高齡死去。這是世界戰爭史上少有的奇聞。一般情況下，被俘虜者都要想方設法逃跑。二戰中盟軍的一些士兵在潛入敵人占領的海島時被俘，德軍將他們關押在一個靠海邊的一個石洞中。在又黑又潮的石洞中，這些被俘的盟軍士兵想方設法摸清地形，準備逃走。他們知道，一旦盟軍大部隊攻打此島，敵人就會將他們殺害。經過觀察，他們發現這個洞後麵有一個直通大海的門，用木板封住。原來這裏是古時用來關押黑奴的地方，那些不馴服的黑奴就是通過這扇門被活活海葬的。他們揀來貝殼，將門鑿了個小洞，透過小洞可以看清外邊有一個通道，兩側一麵堆放著武器，另一麵是船隻。不遠處還有一個小島，暫時未被敵人占領。被俘的盟軍士兵要想從這個出口逃跑，必須奪得槍支和船隻，跑到遠處的那個小島後，才能逃出虎口，脫離危險。在行動之前，他們考慮了各種途徑，為的是能夠在最短的時間內到達小島。其中一個士兵通過數學方法獲得的逃跑路線得到大家一致同意。他是這樣設計逃跑路線的：
方法一：設此島為Ａ，未被敵人占領的小島為Ｂ，先求得Ａ在左邊對稱點Ａ′，Ａ′點在右邊的對稱點Ａ″，連接ＢＡ″。實際路線是ＡＡ′Ａ″Ｂ，即先獲船隻，再奪槍支，然後徑直到Ｂ島。
方法二：由Ａ向右邊求對稱點Ａ１，然後由Ａ１又在左邊求對稱點Ａ２，連接ＢＡ２，這樣的實際路線是ＡＡ１Ａ２Ｂ，即先奪槍支再獲船隻，逃到Ｂ島。
當然這兩種辦法中還有比較：這就要看ＡＡ′Ａ″Ｂ與ＡＡ１Ａ２Ｂ總路程哪個更短。海戰中的幾何學海軍將領哈爾西率領第三艦隊從南太平洋北上，參加了攻占菲律賓的戰鬥，狠狠打擊了日軍。美軍占領菲律賓後，日本人害怕美軍占領日本本土諸島，登陸日本，從大本營調動大量兵力，企圖挽回敗局。在實施所謂的“捷１號作戰計劃”過程中，日軍艦隊對麥克阿瑟率領的艦隊進行了突然襲擊，擊沉美軍４艘登陸艦。此舉激怒了麥克阿瑟將軍。１９４４年１０月２２日，正當日軍栗田武雄和小澤治三郎帶領的兩支主攻艦隊準備襲擊美軍時，遭到美軍潛艇的攻擊，隻聽轟的一聲巨響，小澤艦隊的“摩耶”號重巡洋艦中彈起火。小澤還沒來得及下達準備戰鬥的命令，又是一聲巨響，“愛岸”號重巡洋艦也中彈起火，日軍已無路可逃。原來美軍早就在此地布置了大批潛艇，將日艦團團包圍。２４日，美軍２５００多架艦載機向走投無路的小澤艦隊發起了猛烈進攻，以最快速度接近日艦艇，日軍毫無準備，航空母艦上的飛機還沒來得及起飛就被美軍的炸彈炸毀了。許多日艦中彈起火，叫罵的日本兵一個個被炸彈掀起的巨浪拋到海中。
當時，在美軍潛艇接近日艦艇的途中有許多暗礁地帶，如果設美軍潛艇的位置為Ａ，日軍艦艇的位置為Ｂ，Ａ、Ｂ之間有很多暗礁，還有四個燈塔Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ。據確切情報，在ＣＤ為弦的１００°圓周角的範圍內有暗礁，在ＥＦ為弦的６０°圓周角的範圍內也有一片暗礁。根據航海知識，從Ａ到Ｂ不能直接航行。而美軍潛艇卻以最快的速度從Ａ到Ｂ，他們是怎樣選擇路徑的呢？
隻要保持在航行過程中（比如Ｎ點）與ＣＤ的夾角小於１００°，與ＥＦ的夾角小於６０°即可。
具體航線可以這樣選擇：以ＣＤ為弦作一個包含１００°圓周角的圓，同樣，以ＥＦ為弦作一個包含６０°圓周角的圓。連接兩個圓心，在兩個圓周之間選一個點Ｍ。以Ａ、Ｍ、Ｂ三點作共圓，即是理想的航線。
當任意選擇ＡＭＢ航線中一點Ｎ，可以看到∠ＣＤＮ＜∠ＣＰＤ＝１００°＜∠ＥＮＦ＜∠ＥＱＦ＝６０°，滿足題中的安全要求，因此不會觸礁。
讀者朋友不妨動手做一做，驗證一下結論的正確性。
解金色長方形救國家當時，整個國家的情況非常糟糕，老蘇丹王昏庸無能，大小官吏隻知道搜刮老百姓的錢財，帶兵的將領隻會欺壓人民，強盜到處橫行，敵人又不斷地侵擾邊境，企圖滅亡蘇丹王國。民間廣泛流傳著這樣一句話：“真主將要降災難於這個國家了！”
王子即位了，老百姓希望新國王能夠改革政治，懲辦貪官，選用人才，振興國家。可是，卻不見哈裏發做了什麼大事，年輕的國王整天帶著侍從們外出打獵。三年一晃過去了，國家情況仍和老蘇丹王在位的時候一樣，老百姓失望了，而貪官汙吏們高興極了。有一天，長期不理朝政的國王忽然召集了所有的宮廷大臣，隻見年輕的蘇丹王麵帶憂愁地坐在椅子上，時而用手撐著前額，時而發出輕微的歎息聲。宰相恭敬地走上前去行禮，小心翼翼地問國王召集大家來有什麼吩咐。
國王用冷酷的眼光掃視了大臣們說：“你們可知道，真主要降災禍於我們了！”大臣們麵麵相覷，不敢出聲。宰相走上前說：
“英明的陛下，真主會保佑我們的，我們的祖先也會保佑我們的，什麼災難這都是刁民的瘋話。”
國王說：“不，這不是胡說，前天晚上，我做了一個十分奇怪的夢。我夢見去世了的祖父，慈祥的老人神情嚴峻地告訴我，真主要降災難於我們的國家了。這句話，老人清楚地連說了三遍。”宰相想插話，哈裏發用手勢止住了他，又說：“我原來隻以為是一個噩夢，可昨天晚上我又夢見了祖父，他把這句話又連說了三遍。我害怕了，問他有什麼辦法能祈求真主寬容我們，免遭災禍？老人說隻有一個辦法：用金子做成一種長方形，這種長方形的長與寬都是３尺的整數倍，而它的周長數恰等於它的麵積數，把所有大小不同的這樣的長方形供祭真主，才能消免災禍。”
宰相和大臣們聽了噓了一口氣，他們想，原來貪玩的國王要錢，那隻要從老百姓那兒再搜刮一些給他就行了。宰相上前說：
“尊敬的陛下，請放心，我們一定把這樣的矩形奉給真主。”哈裏發於是命令宰相在三天之內把事做好，否則按國法嚴辦。
三天之後，宰相報告國王說，這樣的金長方形已經做好了，供在神壇上。哈裏發同宰相到了神殿，隻見一塊長９尺寬３尺的薄金片放在神壇上，金光燦爛。國王和大臣們跪拜在地，祈禱真主保佑。過了三天，哈裏發又把宰相和大臣們召進了宮。國王劈頭就問宰相：“你那個金長方形就是我祖父所說的嗎？”宰相說：“尊敬的陛下，完全是照您的吩咐去做的。”國王又問：“長多少？寬多少？麵積多少？”宰相答：“長９尺，寬３尺，他們都是３尺的整數倍。”國王又問：“周長多少？”宰相答：“周長２４，麵積２７。”國王問：“它們相等嗎？”“……”宰相被問得張口結舌。
國王發怒地說：“我要求的是周長數與麵積數相等，可你的矩形周長數比麵積數少。連算術也不會做，你還能治理國家嗎？神要你把所有這樣的祭品都供奉給他，而你卻隻獻了一個，你竟敢欺騙真主，來人，把他抓起來，送到監獄裏去。”國王又命令侍衛查抄宰相的家，這時，大臣們一個個嚇得連氣也不敢出。哈裏發對大臣們說：“真主正在降災難於我們。前天，敵人又侵占我們的一個村落，搶走了羊群，把老百姓擄去當奴隸，我們要拯救我們的國家呀！”國王命令財政大臣在三天之內完成祭神的事。財政大臣急忙跪下，說：“陛下，我不會……不會算……”哈裏發說：“什麼？你不會算，還理什麼國家的財政？”財政大臣無言可答，隻得答應照辦。