回到家裏，財政大臣想，宰相的事出在他那個長方形的周長比麵積小，而且隻做了一個。他算來算去，算出了一個，長４尺，寬４尺，周長是１６，麵積也恰好是１６。他又狠了狠心，做了十個這樣的金長方形。
三天之後，當著哈裏發和大臣的麵，財政大臣洋洋得意地讓人把十個金長方形獻進宮。哈裏發眯著眼問：“它們的長、寬是多少？”財政大臣說：“４尺。”哈裏發大喝一聲：“４是３的整數倍嗎？”財政大臣一聽，嚇得全身癱了下來。衛兵們把財政大臣押進了監獄。哈裏發怒視著大臣們說：“真主在降災難於我們，到處是饑荒與疾病，可你們卻不拯救祖國，我命令你們三天內獻出供奉真主的祭品，否則統統治你們的罪。”大臣們一個個都嚇呆了。回到家，有的想溜，有的想造反，但他們的家都已被國王的衛士們看住了。
三天後，大臣們被士兵押進了王宮，他們拿出了無數的平時搜刮出來的財寶，求國王寬恕，因為國王所要求的長方形他們都做不出來。哈裏發看著這一切，大聲歎息地說：“真主啊！難道你真的要我們都滅亡嗎？誰來拯救我們的國家和人民？”這時隻聽得一聲沉著有力的聲音：“陛下，真主所要求的禮品在這兒。”
說這話的人就是花拉子密。花拉子密雙手捧著一個盤子，盤子裏放著一個金箔做的長方形，走到國王跟前，說：“這是真主所要的祭品。”哈裏發仔細地看著這個長方形，它長６尺，寬３尺，都是３的正整數倍，周長數與麵積都是１８，恰好相等。哈裏發微微點了點頭，又問：“真主要所有不同大小的這樣的長方形，你怎麼隻獻了一個？”花拉子密向哈裏發行了一個禮，說：“尊敬的陛下，真主與人民給了我智慧和力量，托你的洪福，我反複地算了，真主所要的禮品就隻是這麼一個。”花拉子密叫人拿來了一張很大的羊皮紙，用炭筆在上麵寫了一個又一個的算式，他的眼光裏充滿著智慧，聲音裏洋溢著自信與力量，不一會兒就把問題講解得清清楚楚。
哈裏發興奮地站了起來，喊道：“對！對！真主所要的禮品就是這一個，我們的國家有救了。”他下令三天後舉行隆重的祭禮，借此來振奮人心。接著，年輕有為的國王處置了一批貪官汙吏，罷黜了無能的將領，選用良才，整頓軍隊，蘇丹王國又逐漸興旺起來了。
為什麼傳說中的蘇丹王的矩形就是花拉子密所算出的一個呢？我們用在學校裏學過的數學知識加以分析，是不難解決的。
我們假設這樣的長方形的長是ａ，寬是ｂ。
那麼，２ａ＋２ｂ＝ａｂ（周長數等於麵積數）。
可得，ａｂ－２ａ＝２ｂ（和減去其中一個加數２，等於另一個加數）。
由乘法分配律得：
ａ（ｂ－２）＝２ｂ。
那麼，ａ＝２ｂ／（ｂ－２）（其中一個因數等於積除以另一個因數），２ｂｂ－２－２ｂ－４＋４ｂ－２－２ｂ－４ｂ－２＋４２－２（ｂ－２）ｂ－２＋４ｂ－２＝２＋４／（ｂ－２）即ａ＝２＋４／（ｂ－２）。
因此這種長方形的長ａ等於２加上４被寬減２所除的商，由於ａ與ｂ都隻能是自然數，因此寬ｂ隻能是３、４與６。這樣，我們就得到三組數：長３寬６，長４寬４，長６寬３。再由邊長都要是３的整數倍，就得到答案是６尺長，３尺寬（３尺長６尺寬的情況與６尺長３尺寬是同一種長方形），這樣問題就解決了。
飛機表演中的數學圖形１９５１年７月，美軍趁朝鮮北方特大洪水之際，對我誌願軍發動夏季攻勢，在我後方發動大規模的“空中封鎖戰役”———“絞殺戰”。所謂“絞殺戰”是美軍仿照１９４４年３月盟國空軍在意大利境內以德軍使用的鐵路線為主要攻擊目標而發動的一次空中戰役。那次戰役，最初被稱為空軍協同攻勢，後來被稱為“絞殺戰”。由於朝鮮半島的地形、交通線的構成以及美軍空中封鎖的計劃都同在意大利進行過的“絞殺戰”極為相似，所以美軍也稱其為“絞殺戰”，意在將朝鮮半島變為昔日的亞平寧半島。
當時我誌願軍沒有空中力量，使得我軍的後方損失很大，勤務保障也異常艱難。白天，美軍憑借其有豐富經驗的參加過二戰的老牌飛行員和先進的飛機，對我補給車輛實施“一個不漏網”
的政策，這樣，我誌願軍的補給隻能在晚間進行。可當時正值寒冬，路麵滑不說且道路狹窄，彈坑累累，因此，我運輸車輛撞車、翻車、挨炸等情況不斷發生。雖然我軍針對此進行了強大的“反絞殺戰”攻勢，但損失仍然很慘重。
麵對這種情況，我國及我軍領導人迅速做出英明決策，加快我國空軍建設。不久，朝鮮戰場便傳出了我空軍英雄擊敗美空軍王牌飛行中隊的捷報。
有一次，英雄王海率領著１０餘架飛機，在清川江上空，和４４架“佩刀式”敵機遇上了。敵人布置了一個“魚餌戰術”，想要英雄們進他們的圈套。所謂“魚餌戰術”，就是以小批敵機在低空迷惑，引誘我機，當做魚餌，大批敵機在高空當做“釣魚”
盤旋、隱蔽。當我機受“魚餌”的引誘飛向前去時，高空敵機就來釣魚了。英雄王海，早識破這套詭計，他一麵派小部隊去吃“魚餌”，自己卻帶著另一部分，在高空打“釣魚的。”結果“魚餌”被吃掉了，“釣魚的”沒釣著魚，被打得像滿天飛的黑老鴰似的鑽上翻下。英雄們從萬米高空，把敵機打到百米低空；低得連樹梢、屋脊都看清楚了，又從低空打到高空。敵人往雲裏鑽，他們就穿雲打；敵人貼著海水逃，他們就貼著海麵飛著打，打得敵人四機變雙機，雙機成單機，一架架石頭似的往地下摔，朝海裏掉……這個挨打的敵人，正是美國侵朝空軍中馳名的五十一大隊，敵人的“王牌”。可是，“王牌”卻被打得喊“共軍太多”，“快來增援”。敵人的地麵指揮員隻得命令他的另一支“王牌”———四大隊快去增援。可是，四大隊卻在另一個空域，正喊五十一大隊救命哩！原來，也被我軍另一機群，打得更狼狽。於是，兩個“王牌”在天空，你喊我增援，我喊你救命，誰也救不了誰。當敵人的指揮員下令地麵再起飛時，地麵光剩些“油挑子”和草包飛行員了，根本不敢上去照麵。
如今，我軍的空中力量非常壯大，再也沒有人敢歧視中國人民解放軍的空軍了。就拿在珠海舉行的航空展來說，中國飛行員的飛行技術令世界各國驚歎，空中飛行表演的造型尤為精彩。這裏數學可立了不少功。比如說吧，有１７架飛機要進行表演，在飛行中想要使飛機群組成一個飛機形狀，而且從不同方向看過去，形成７條直線，每條直線的方向都由５架飛機組成。你知道是怎樣排列的嗎？
台兒莊大捷聯歡會上的彩繩長度計算這是１９３８年的春天，日本大規模侵華戰爭已持續了６年半，占東北建“滿洲國”，奪長城據華北，攻上海下南京，雖遭中國軍隊和廣大人民的有力反擊，但終究是節節勝利。現在又欲打通華北與華中地區交通，繼而兵進武漢，全殲國民黨軍有生力量。
徐州地處四省通衢，曆來是古代兵家必爭之地，自然成為日軍攻擊的重點。於是，中日雙方的徐州會戰便在古戰場上全麵鋪開，而台兒莊戰役則是其中最為激烈、最為壯麗的一戰。
台兒莊地處山東嶧縣東南，為津浦路上由臨城（今薛城）經棗莊、峰縣而南銜隴海鐵路大動脈的一條支線上的小寨鎮。它背靠北去的大運河，又是一個水陸碼頭。由於其地理位置恰在徐州之東北，又為交通要衝，實為徐州東北之門戶，所以，日軍為奪取魯南，進攻徐州，便把台兒莊視為必得之地，定為會攻的目標。
早春２月，剛剛吐綠的嫩牙還沒有來得及盡情地吮吸春光播撒的乳汁，便被無情的炮火吞噬。敵人開始了對台兒莊的進攻，衝在最前麵的就是素有“鋼鐵師團”之稱的日軍第５和第１０師團。這兩個師團均屬日軍中的甲級師團，在侵華戰爭中可謂罪惡累累。第１０師團由中將磯穀廉介指揮，沿津浦路南進，經過滕縣、臨城、棗莊、韓莊和嶧縣等地，前鋒直達台兒莊，威脅徐州。第５師團由中將板垣征四郎率領，沿膠濟路東進，連下濰縣、青島等重鎮，由濰縣經沂水和青島經諸城、營縣，直通台兒莊東北之臨沂，與第１０師團分路合擊徐、台。麵對進攻的敵人，我守軍龐炳勳、張自忠、馮玉祥部等雖予以奮力反擊，但由於我軍裝備十分落後，不僅沒有重武器，而且連手中的步槍都五花八門，相當陳舊，使敵人在坦克、大炮等重武器的掩護下，得以占據了台兒莊北之北洛車站等據點。此後，敵人便逼近莊下，發起攻擊。在進攻受阻的情況下，日軍又派來增援部隊，這時敵人的攻城部隊已增至兩個步兵大隊、一個機關槍大隊、兩個輕、中型裝甲車中隊、兩個野炮兵中隊、兩個野戰重炮兵大隊和一個工兵小隊，另加１５厘米榴彈炮兩門，兵力達３０００餘人，還有飛機的掩護。天上的炸彈、地上的各種炮彈頃刻間便把我防禦陣地夷為平地，然後便是橫衝直撞的坦克和裝甲戰車，以及緊隨其後的瘋狂步兵。轟轟的爆炸聲、嗒嗒的機槍射擊聲與撕肝裂肺、聲嘶力竭的喊殺聲融彙在一起，把周圍的一切籠罩在無限恐懼之中。然而，中國官兵在敵人凶狠的炮火麵前，以超常的勇氣和果敢，巍然屹立於陣地之上。日軍盡管占據了周邊的幾個村莊，對寨城發動了一次又一次猛攻，但由於我守莊將士奮力抵抗，敵軍始終未能越城池半步。
接著敵人又是增兵台兒莊，使攻城部隊達５０００餘人，同時增補重炮、坦克和彈藥，飛機進行不間斷地輪番轟炸，攻勢愈加猛烈。在抗擊敵人的一次又一次進攻中，我軍雖先後給敵以重大殺傷，使其付出沉重代價，但終因敵強我弱，使日軍最終在城畔立穩腳跟。敵人趁機擴大戰果，由西而東擴充，我軍依民宅、街巷等逐次抗擊，與敵人展開了殘酷的肉搏戰和拉鋸戰。當敵炮猛轟時，戰士們便隱蔽在掩體或戰壕中，炮擊一停，他們便一躍而起，向衝上來的敵軍坦克、步兵還擊。子彈打光，刺刀彎了，便抽出背上的大刀。敵人為我將士的無畏精神所震懾，動搖了，退卻了，於是我軍又連續作戰，乘勝進擊，對其據守點發起猛攻。
一個排一個排、整連整連地衝入敵營，頓時便被無情的炮火吞沒。連長犧牲了，排長上；排長犧牲了，戰士上；戰士們犧牲了，炊事兵們就自動地拿起死難同胞們手中還緊握的刀槍，狂呼著衝進了濃煙烈火之中。戰鬥就這樣進行著，敵軍還在增兵，而我守軍的傷亡也在日益增多。打紅了眼的敵人開始晝夜不停地狂轟濫炸，整座城寨幾成火海，敵軍的攻勢也越來越強，我守軍陣地日益縮小。在這種情況下，為了迅速合圍台兒莊之敵，我第五戰區指揮部李宗仁將軍急令外圍收縮，聚殲攻城敵軍，同時亦令守城部隊不惜犧牲一切死守城寨，伺機反擊。按著指揮部的命令，我官兵組織反攻，使日軍每占一座房屋、一條街巷，都要付出幾十乃至幾百餘人的沉重代價。激戰終夜，日軍不斷增援，其直接投入到台兒莊戰場的兵力總數已超過一個師團，我守城部隊更加處於劣勢，城池一度有四分之三淪入敵手。好在外圍戰場我軍攻勢頻頻，已基本上將敵包圍，使其處於內外受擊的地位，才終於使整個戰局趨於穩定。
根據戰場形勢的變化，國民黨最高軍事當局作出果斷決定，限第五戰區於４月１０日前務必殲滅台兒莊正麵之敵。於是我前線部隊全麵反攻，經三日連續作戰，直下外圍敵軍陣地，使台兒莊內頑敵頓成孤軍。但敵人困獸猶鬥，以其優良的裝備和飛機、大炮的掩護，仍向我守軍發動異常凶猛的進攻。經過十幾個日日夜夜的不間斷作戰，城內的戰局達到空前危急。在這種情況下，我守軍七拚八湊組織一支幾百人的敢死突擊隊，分數組衝入敵陣，手執大刀，各自為戰，頓時敵軍陣腳大亂，紛紛潰退。敵軍見敗局已定，在總指揮部還沒有下達撤退令之前，便及時決定脫離台兒莊戰場，向嶧縣狂奔。我軍乘勝追擊，直把日軍打得落花流水，丟盔卸甲，最後龜縮在嶧縣、棗莊等據點裏，依有利地形和優勢裝備固守待援。至此，震驚中外的台兒莊之戰遂告結束。
彈丸小城台兒莊從未遭此浩劫，也從未有過如此榮耀。日本侵略者以１.２萬人的代價領教了中國人民不屈的民魂。台兒莊向世人宣告：侵略者必敗！這場舉世聞名的戰鬥雖然勝利了，但很少有人知道其中還有個秘密，就是當年的台兒莊大捷曾得益於周恩來的建議。
那是１９３８年３月下旬，北路日軍與中國軍隊在山東省台兒莊外圍展開激烈的戰鬥。這時，守衛津浦線地區的是以李宗仁為司令長官的國民黨第五戰區的軍隊。白崇禧以副參謀總長的身份去徐州協助李宗仁指揮作戰，白在離開武漢前，特邀請周恩來副主席和葉劍英參謀長到其寓所，請教對敵作戰的指導方針。周恩來分析了當時的戰況說道：日寇現在是調集精銳部隊分進合擊，這就需要我們避其鋒芒，機動靈活地消滅它。我建議，在津浦縣南段，由張雲逸的新四軍第四支隊協同李品仙、廖磊兩個集團軍，實施以運動戰為主、遊擊戰為輔的聯合行動，牢牢地鉗製住敵人，使它不敢貿然北上支援南下日軍。而在徐州以北，又必須采取陣地戰與運動戰相結合的方針，守點打援。這樣，便可以達到各個擊破、出奇製勝的目的。白崇禧聽後大為讚賞，連忙說：
“周公言之有理！”後來，在協助李宗仁作戰的過程中，白崇禧基本上采取了周恩來提出的方針。
台兒莊告捷後，舉國歡騰，人們紛紛要為抗戰的勇士慶功。
一天，老百姓和軍隊準備召開聯歡會，在布置會場時，遇到了難題。原來聯歡會的會場是一個精致的、邊長為５米的正六邊形客廳。假如從會場中間任意一點，向正六邊形每條邊垂直地拉一根彩繩，那麼六根彩繩的總長度是多少呢？
分別連接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ、ＰＥ、ＰＦ則正六邊形麵積Ｓ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋…＋△ＰＦＡ＝１／２·５·（ｈ１＋ｈ２＋……＋ｈ６）其中ｈ為Ｐ到各邊距離（即彩繩長度）。
∴（ｈ１＋ｈ２＋…＋ｈ６）＝２／５Ｓ而槡Ｓ＝２５／４３ｘ６＝７５／２·槡３∴ｈ１＋ｈ２＋…＋ｈ６＝２／５·７５／２·槡槡３＝１５３（米）因此，六條彩繩的總長度為槡１５３米，可見會場中間一點是任意取的，它並不影響總體的最後結果。
足球場上的幾何學問公元１０１７年，丹麥人占領了英格蘭，他們在英格蘭燒殺掠奪，無惡不作。丹麥人的暴行激起了英格蘭人民的仇恨，他們等待、尋找複仇的機會。這一天終於到來了，公元１０４２年，丹麥人被趕出了英格蘭。在打掃戰場時，幾個英國的清道夫發現了一個侵略者的骷髏，出於複仇心理，這幾個英國人便你一腳、我一腳地踢起來，幾下子便將骷髏踢碎了。後來，人們將牛的膀胱吹足氣當球踢，久而久之就演變成現代的體育運動———足球。
足球與戰爭的特殊關係還表現在，戰爭中的好多謀略可以為足球所用，這一點愛好足球的朋友可以從任何一場足球賽中看到。但鮮為人知的是數學中的許多原理也可以為足球所用。不信你來看看下麵這個問題：在一場足球賽中，甲、乙雙方對壘，甲方３號隊員持球在Ａ位置，甲方５號隊員在邊沿線上等著傳球過來。如果乙方的球門為ＢＣ，問３號隊員應傳球在哪個範圍，使５號隊員射門最近？
這個問題可以通過作輔助線而輕易解決。設５號隊員所在的邊沿線為ＦＧ，以ＦＧ為對稱軸，取Ａ′為Ａ點的對稱點。連接Ａ′，Ｂ和Ａ′，Ｃ，與邊沿線ＦＧ分別交於Ｄ和Ｅ，那麼，ＤＥ這段範圍就是甲方３號隊員應向５號隊員傳球的位置。
三角運算妙解“炮彈奔月”
也許在絕望之中的隆美爾不會去認真想這個問題，但如果有一門威力足夠強大的炮，當它發射出一發炮彈後，這枚炮彈會不會永遠不跌回到地球上，而是繼續飛向太空呢？讓我們來認真想一想這種可能性。為什麼一顆水平射出的炮彈最終要回到地球呢？因為當炮彈射出膛之後，它就失去了不斷給它加速度的火藥推力，而依靠動量繼續作減速運動。盡管是減速運動，它的運動速度依然十分之大。在促使炮彈作減速運動的因素中，地球吸力是最主要的因素。因此，炮彈並沒有能夠作直線運動，而是作了一個拋物線，最終落回到地球上。但我們注意到地球是一個球麵，當炮彈達到一定的初速度時，它所運行的拋物線的彎度小於或等於地球表麵的彎度，那麼這枚炮彈就永遠不會跌回到地麵上來！就像太陽係中的九大行星繞著太陽作圓形的軌道運動一樣。