在以上的討論中我們可以得出結論，當炮彈的拋物線彎度等於地球表麵彎度時，炮彈會像行星一樣以橢圓形的軌道繞著太陽轉，而當拋物線的彎度小於地球表麵時，它就會脫離地球的吸力場奔向天空，而所有這一切的最關鍵因素取決於炮彈的初速度。
如圖，我們看到一幅畫有地球橫截麵的圖。在山峰Ａ點上，我們安放一門大炮。如果沒有地球的吸引力，在極短時間內，我們可以推測出它將落在Ｂ點。但在實際情況中，我們卻發現炮彈落在了比Ｂ點低５米的Ｃ點。為什麼呢？因為在地球吸引力的作用下，炮彈的拋物線的彎度要大於地球的球表麵彎度。但我們也可以設想在一個適當的速度下，這顆炮彈沿著地球的同心圓飛行。
現在我們隻剩下求出ＡＢ線段的長短，也就是說，求出炮彈在１秒鍾裏沿水平方向所走的距離；這樣我們就可以知道，炮彈應該用每秒多少的速度發射出去才可以使它不跌回到地麵上來。
這個計算並不麻煩，可以從三角形ＡＯＢ求出：在這個三角形裏，ＯＡ是地球半徑（大約等於６３７００００米）；ＯＣ＝０Ａ，ＢＣ＝５米；因此ＯＢ＝６３７０００５米。根據勾股弦定理，得ＡＢ２＝（６３７０００５）２－（６３７００００）２把上式解出來，得ＡＢ大約等於８０００米。
這樣，假如沒有阻止物體運動的空氣，那麼從大炮裏用每秒８０００米的速度射出的炮彈就永遠不會落回到地麵上來，而是繞著地球轉圈子，就像一顆衛星一樣。
那麼，假如我們能夠使炮彈從大炮裏用比每秒８千米更大的速度射出去，它會射到什麼地方去呢？天體力學證明，當速度是每秒８千米以上，９千米，甚至１０千米的時候，炮彈從炮膛射出以後要繞地球走出橢圓的路線，初速度越大橢圓越伸長。當炮彈速度在每秒１１千米或者１１千米以上的時候，炮彈所走出的路線已經不再是橢圓，而是不封閉的“拋物線”或“雙曲線”，永遠離開地球了。
現在，在發射了人造地球衛星和宇宙火箭以後，我們可以說宇宙旅行利用的將是火箭，而不是炮彈。但是，火箭的最後一級工作完了後，支配火箭運動的原理跟炮彈是一樣的。
樹葉上的幾何學在白楊樹的樹陰下，一株白楊樹的根上生出了一株小樹。你試著摘下這株小樹的一片葉子，就可以看見它要比它生身父母的那株大白楊樹葉大，尤其是比那些在強烈陽光下生長的葉子更大得多。這是因為在陰影中的樹葉必須用增大自己的接觸陽光的麵積來補償陽光的不足。那麼，如果我問你，你能夠算出小樹的樹葉麵積比母樹葉子要大出多少倍來嗎？
怎樣著手去解答這個問題呢？
你最先想到的也許是求出每片樹葉的麵積，然後計算它們的比例。但是要測量樹葉的麵積，可不太容易。常見的做法是把一張透明的方格紙鋪在樹葉上麵，看看樹葉上共有多少個小方格，再乘以每個小方格的麵積，進而求出樹葉的麵積來。
還有比較簡單的方法嗎？有。根據這樣一個原則：兩片樹葉，雖然大小不同，卻常常具有相同的或幾乎相同的形狀；也就是說，它們的圖形在幾何學上是相似的。於是，這兩個圖形的麵積比，等於它們直線尺寸平方的比。因此，隻要知道了一片葉子是另一片長或寬的多少倍，就可以由它們的平方算出兩者的麵積比了。
假定小樹的葉子長１５厘米，而大樹上的葉子長隻有４厘米，那麼直線尺寸比為１５４。那麼小樹葉子的麵積相當於大樹葉子麵積的１５２４２＝２２５１６倍，即１４倍。
在森林中可以找到許多形狀相似大小不同的樹葉，這樣得到一批關於相似的有趣事實。兩張葉子在長度或寬度上雖然隻有不大的差別，但在麵積上卻相差得這麼驚人！例如，有兩張形狀相似的葉子，一張比另一張隻長出２０％，而它們的麵積上的比竟是：１．２２≈１.４，就是說兩片葉子在麵積上相差達４０％之多。如果這兩片葉子在寬度上相差４０％，那麼大的一張在麵積上相當於小的１.４２≈２，就是大約兩倍。
圓台形的大煙囪當我們走進工廠、礦山，看到許多高高的大煙囪，這些煙囪都是圓柱形的，但不是上下一樣粗的圓柱，往往上麵細一點，下麵粗一點，數學上把這樣的形狀稱為圓台。
我們都知道，好的大煙囪應該盡量地排放煙塵，從理論上講，煙囪的口徑要做成大大的才好，但實際上由於做煙囪的材料所限，煙囪的口徑不可能做得很大很大，所以我們設法用有限的材料做出口徑比較大的煙囪來。
那麼當材料有限時，做成哪一種形狀的煙囪，它的排煙量大呢？也就是說，做成的煙囪的口徑的麵積要大。當麵積一定時，圓的周長最小，三角形的最大，正方形的居中。把這個結論反過來看，當圖形的周長一定時，圓的麵積是不是最大呢？仔細想一想，是不是這樣呢？
這就是問題的答案。當材料量確定不變時，用這些材料做成同樣高度的圓柱形、三角柱形、正方體形，由於圓的麵積比三角形、正方形的麵積都大，使得圓柱形大煙囪的排煙量最大。所以大煙囪都是圓柱形的。
圓台形的上麵細一點，下麵粗一點，有三個好處：第一，這樣的柱子很穩固，圓台形煙囪要比圓柱形的穩當，大煙囪那麼高，煙囪的下部很吃力，常常要做得厚重些。第二，伸得高高的煙囪，它的上半段會受到很大的風力，做成圓台形後，上麵細一些，可以使煙囪受到風力的影響有所減弱。第三，煙囪做成圓台形，方便了清除煙囪內側壁上的積垢。
前麵講的專指工廠裏的大煙囪，如果家裏要安個煙囪，就不用考慮這麼多了。因為家用的煙囪排煙量小多了，做成圓形、方形的都沒關係，而且方形的煙囪砌起來還方便呢！
幾何原本的力量希臘人來自愛奧尼亞與愛琴海之間的北方，以侵略者的身份登上了曆史舞台。他們渴望向更古老的鄰國學習並渴望超越埃及人和美索不達米亞人的智慧。希臘人及希臘社會由文化背景而不是由種族差異確定。以亞曆山大大帝為過渡期，希臘的發展過程分為兩個時期。對於數學來說，這兩個時期可叫做雅典時期和亞曆山大時期。
第一次奧林匹克運動會於公元前７７６年舉行。從那時起希臘文獻已經開始誇耀荷馬和赫西奧德的作品，但是直到公元前６世紀，我們對希臘的數學還是一無所知。希臘最早的數學家可能是米利都的泰勒斯（ＴｈａｌｅｓｏｆＭｉｌｅｔｕｓ，公元前６２４—前５４８）。人們認為是他首先給出了許多幾何定理的證明，並因此孕育了傑出的歐幾裏得幾何體係。但是我們對希臘數學及其他方麵的認識，很容易受到諸多曆史因素的幹擾。我們沒有這一時期的文字記載，因而不得不依賴於遠隔１０００多年以後的學者們所寫的關於一些往事的注釋。
公元前４世紀，雅典成為地中海文明世界的中心。這一時期的柏拉圖學園，以及這之後亞裏士多德學園的創建，都對雅典的發展起到了極大的促進作用。柏拉圖在數學史上的作用，至今仍是一個有爭議的焦點。柏拉圖本人沒有留下數學著作。但是他的思想對數學哲學有著深遠的影響。在《共和國》一書中，他強調數學應該是未來君主的必修課程。在《提麥奧斯》一書中，我們看到一種改良的畢達哥拉斯主義的陳述，柏拉圖體是由表示火、土、氣、水等４種基本元素的立方體及象征著整個宇宙的１２麵體組成。亞裏士多德哲學對數學的影響並非都是正麵的。他對邏輯演繹的強調有著正麵的影響，但是他不讚同使用無窮大及無窮小，而他認為圓和直線是理想圖形的思想，可能對數學的發展產生了負麵的影響。
柏拉圖學園和亞裏士多德學園都是數學教育和數學研究的重要中心。亞裏士多德當時是亞曆山大大帝的老師。亞曆山大帝國在發展的巔峰時期，將其版圖一直延伸到了印度的北部。亞曆山大死後，亞曆山大帝國被對手瓜分。在托勒密一世開明的統治下，被分割後的一個小國成為學習和研究的中心———這就是擁有音樂廳及珍貴圖書館的亞曆山大新城。在古希臘文明的第二階段，亞曆山大遠遠超越了雅典，這一時期是希臘數學的黃金時代。
希臘數學中最重要的文獻，無疑是由歐幾裏得（Ｅｕｃｌｉｄ，約公元前３２５—前２６５）寫的《幾何原本》。與如此著名的傑作相比，我們對歐幾裏得的生活卻知之甚少，甚至連他的出生地都不知道。我們通過普羅克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ，約公元前４１０—前３８５）的關於歐幾裏得《幾何原本》第１卷的評注才知道：歐幾裏得在托勒密統治下的亞曆山大新城教學。而且還記錄了這樣一件軼事：當托勒密王問他是否有學習幾何的捷徑可走時，歐幾裏得回答說：“幾何學中沒有專為國王鋪設的大道。”《幾何原本》的聲譽遠遠超過了歐幾裏得寫的許多其他的著作，例如歐幾裏得寫的關於光學、力學、天文學和音樂等方麵的著作。《幾何原本》成為正規的幾何教科書，使得以往的幾何書籍甚至它們的手抄本都變得多餘而沒有保留下來。像所有的教科書一樣，這裏所使用的《幾何原本》大多都不是原著。但我們仍然要感謝歐幾裏得：是他收集整理了這些資料和結果，並把這些結果用定理和證明的演繹係統的形式展示給我們。《幾何原本》不是希臘數學的概述，而僅僅是幾何學的基礎部分。它不僅沒有包含計算的技巧，而且也沒有涉及如二次曲線這樣的高深數學的內容。
《幾何原本》分為１３卷。它囊括了初等平麵幾何、數論，以及不可比量和立體幾何。《幾何原本》一開始就是由２３個公理組成的定義列表。例如“點沒有大小”，又例如“線無寬度”。接著是５個公設和５個“一般概念”。其中著名的第五公設有著它自己的故事。《幾何原本》的每卷的每一節都以該節要探討的新課題開始。歐幾裏得認為，與公設相比，定義是不證自明的。而對今天的我們來說，定義和公設與公理都是同等的。如果有什麼區別的話，公設更傾向於程序化，正如“連接任意兩點做直線”，而定義則是“直線是由點組成的平坦的線”。總的來說，初等幾何規定隻能用直尺和圓規畫圖。這兩個簡單的工具———圓規和直尺產生了整個初等幾何體係，因為圓和直線是最完美的圖形。當時的希臘人還使用了其他的“機械化”的構造方法，但是《幾何原本》沒有涉及這些方法。
該書的第１卷到第４卷討論了平麵圖形，包括四邊形、三角形、圓和多邊形的幾何作圖片。有人認為這幾卷書，尤其是第２卷暗示了一類代數幾何學。在這裏，幾何作圖法與代數運算具有同樣的功能。無論上述觀點正確與否，但從早期的這些定理來看，歐幾裏得所關注的完全是幾何概念。術語“量”或“量度”
（ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）全都用於表示任何一個幾何對象。如一條線段或一個圖形，而書中的定理則是關於作圖法和量之間的關係，但書中沒有給出像長度這樣的數值概念。例如一個正方形被看成為來源於一條線段的幾何作圖，歐幾裏得在任何地方都沒有提到過一個正方形的麵積是其兩邊長乘積的結論，這一結論在很久以後才被給出。因此，量是《幾何原本》中最基本的概念，它是該書其餘部分的基礎。在這一背景下，歐幾裏得用圖形轉換的方法證明了畢達哥拉斯定理。如果我們被涉及的實際麵積所吸引，將得到另外一種完全不同的證明，這一點是非常有趣的。
第５卷是比例的一般理論。比例論的研究是由歐多克索斯（ＥｕｄｏｘｕｓｏｆＣｎｉｄｕｓ，約公元前４０８—前３５５）首先闡述的。作為柏拉圖學派的一員，歐多克索斯是當時最有名的數學家之一。他有兩個重要的發現：比例論和窮竭法。通過歐多克索斯的比例論，我們有能力求不可公度量的積和比，從而在很大程度上克服了不可公度量所引發的危機。實際上，歐幾裏得引用了比例的許多規則及這些規則的使用條件。對分數寧願用比例，可以帶來很大方便。比如我們可以這樣敘述規則：“圓的麵積與它直徑的平方成正比。”從而可以在許多定理中使用這一規則而避開使用無理數π。同類量之間的比是無單位的，這樣，比和比之間可以進行比較，正如上例所示。因此，比是量之間的最基本的關係。比例論使我們可以比較不同的比。第６卷論述相似圖形的規律。其中包含了畢達哥拉斯定理的推廣，該推廣不限定於由直角三角形的邊所構成的正方形，同時也推廣到其他與邊長有關的圖形。這樣，如果我們以直角三角的邊長為直徑作半圓，則兩個小半圓的麵積和與大半圓的麵積相等。
第７卷到第９卷論述了數論。歐幾裏得認為“數”是指整數。從第７卷中的定義可以看到：處理整數實質上就是處理幾何圖形。歐幾裏得認為：“大數是小數的倍數，當前者可用後者度量時”，而兩個整數的積是一個長方形的麵積。在第７卷中還有一個有名的歐幾裏得算法：求兩個整數的最大公約數。或者用歐幾裏得的話說是“測量兩個量的最大公約”。在第９卷裏，我們發現一個有關下述有名結論的證明：用現代的說法是，素數個數是無窮的。而歐幾裏得盡可能地避開使用無窮大這一術語，因而他是這樣闡述上述定理的：“素數的個數，比任何指定的素數的值還要大。”《幾何原理》第９卷隻給出了當素數的個數為３時的這一定理的證明，並沒有指明對任意給定個數的素數的證明。在這一卷中還給出了構造完全數的方法。完全數是這樣的數：它是它的因子的和。例如第一個完全數是６（６的因子是１，２，３，而ｌ＋２＋３＝６）。第二個完全數是２８（２８的因子是１，２，４，７和１４，而１＋２＋４＋７＋１４＝２８）。
第１０卷詳細論述了各類不可比的長度。在這裏，我們還發現，一般量之間的不可比的思想已精煉成長度間（及麵積間）不可公度的概念。給定一條指定為可比的線段，那麼，任意與它不可公度的線段稱為無理的。該卷對各種不同類型的無理量（無理數）做了詳細的論證：從簡單的平方根到複合根，如（槡槡槡ａ＋ｂ）。一個關於用數值表示無理數的方法的論述引起了人們的注意。確實存在著一個基於歐幾裏得算法的無理數的數值表示方法。雖然它能夠有效地表示單個的無理數，但用同樣的表示法我們沒有表達無理數的和或積的簡單方法。人們好奇的是引理１，它是一個著名的定理：存在兩個平方數，它們的和是另一個平方數。也就是畢達哥拉斯定理的數論表示形式。但在此沒有提到在第一卷末尾所給出的這一結果的證明。也正是在這一卷中，歐幾裏得著重強調了數值———幾何的處理過程，是解決更進一步問題的前奏，如求積問題。還注意到處理無理數都還可以用直尺和圓規作圖的方法進行。這裏沒有關於立方根的討論。無理數的詳細分類，在《幾何原本》的最後一節變得很有意義。在那裏，無理數出現在與正立方體的關係中。
《幾何原本》的最後３卷討論了立體幾何圖形的性質，並且把歐多克索斯的窮竭法作為通過反複逼近求麵積和體積的嚴格方法。阿基米德聲稱，是歐多克索斯首先證明了圓錐體的體積是同底等高圓柱體體積的１／３。第１２卷的大部分想法基於歐多克索斯的工作。第１３卷的末尾，證明了隻存在５種柏拉圖立體，這些立體可以由三角形、正方形、五邊形構造出來，每個立體都內接於球體。這裏還詳細說明了立體的棱到這一球心的距離。在這一卷中，我們還發現在第１０卷中描述過的無理量。
從古到今《幾何原本》都是最有影響的一本教科書。該書多次再版，在再版的過程中不斷有新的評注加入。同時，它被翻譯、編譯成適合各種文化的版本。歐幾裏得的原始著作已經無從考察。公元９世紀以前的有關資料已所剩無幾。但是，這一幾何巨作一直流傳至今，並使它之前的所有幾何著作黯然失色。
在此之後的一段時間裏，亞曆山大新城一直保持著學術中心的地位。幾何巨匠佩爾加的阿波羅尼奧斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ，公元前２６２—前１９０）在此學習和教學。他最著名的著作是關於幾何的開創性研究———《圓錐曲線》。圓錐截麵是通過從各種角度切割一個圓錐體而得到的截麵。這樣的截麵的截口有圓、橢圓、拋物線和雙曲線。阿基米德以及其後的托勒密和丟番圖（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，公元前２８７年）都在亞曆山大新城學習過。從公元前４世紀開始亞曆山大新城的學術自由逐漸衰退。泰昂的女兒希帕蒂婭（Ｈｙｐａｔｉａ，約３７０—４１５）是數學史中第一位女數學家。她曾一度是新柏拉圖學派的領袖。隨著基督教權勢的增大，這一學派對被他們視為異教的科學及哲學越來越敵視。希帕蒂婭死於當地基督教徒之手，她的死標誌著亞曆山大學術中心衰落的開始，數學發展的中心從此轉向東方的巴格達。