48為什麼九條路不可能不相交
在世界各地，廣泛地流傳著一道數學名題，盡管說法有不同，但實質上是同一個問題：某地有三個村莊和三所學校，從每個村莊到三所學校各修一條路，能不能使這九條路互不相交呢?您可能以為，隻要不怕費事繞繞彎子，這事是不能辦到的。可事實並非如此，上述想法是不能實現的，這裏有著奧妙的數學原理。
19世紀，瑞士大數學家歐拉，在研究多麵體的頂點數、棱數和麵數的關係時，發現了一個規律，如立方體有8個頂點、12條棱、6個麵、具有關係8-12＋6＝2。其它多麵體也是這樣，即一個多麵體若有n個頂點、m條棱、p個平麵，則一定有n-m＋p＝2，這就是著名的歐拉公式。
有了歐拉公式，前麵的問題就可迎刃而解了。把問題看成是立體圖形，每個村莊或學校就相當一個頂點，一條路就相當一條棱，用路圍起來的部分就相當於一個麵。因為有九條棱、六個頂點，那麼有6-9＋p＝2，即p＝5，就是說應該有5個麵；而從另一個角度考慮，從一個村莊出發，走一條路就到達一所學校，再走一條路就到達另一個村莊，再走一段路就到達另一所學校，再走一段路才能回到原地。所以圍成一個至少要四段路即四條邊，現有9條棱，若數麵的邊當然是18條邊，至少四條邊圍一個麵，當然圍不成5個麵。也就是說九條路的設想是不能實現的。讀者們不妨想一下，若隻修八條路能否實現?
對這類問題的研究，已經形成了數學領域的一個分支——拓撲學。它對工程設計，機器元件的設計，集成電路設計，電子計算機的程控、各種信息網絡係統的建立，都有廣泛的應用。
49為什麼球麵不能展成平麵圖形
我們知道：圓柱、圓錐、圓台的側麵麵積，可以利用它們在平麵內的展開圖來求出。由於球麵不能展成平麵圖形，所以球的表麵積公式無法用此法求出。
為什麼球麵不能展成平麵圖形呢?我們作如下說明。
圓柱、圓錐、圓台的側麵可以看成由一條直線(或線段)運動生成，球麵是不能通過直線運動生成的。換言之，圓柱、圓錐、圓台的側麵存在直線，而在球麵上沒有一條直線存在。所以球麵不能展成平麵圖形。我們把能夠展成平麵圖形的曲麵稱為直紋麵，圓柱、圓錐、圓台的側麵都是直紋麵。
若在平麵上隨意剪下一塊，例如矩形或扇形，就可以即不疊皺，也不撕破地吻合在圓柱或圓錐的側麵上。而在平麵上無論你剪下什麼樣的形狀的一塊，都無法既不疊皺也不撕破地貼在球麵上。事實上，如果我們在剪下的矩形、扇形或某一形狀上，過任意一點，沿任意方向作相交於該點的直線段a、b、c……將這些畫有線段a、b、c……的矩形、扇形貼在圓柱、圓錐側麵上，a、b、c……的長度均不變。而將畫有線段a、b、c……的某形狀往球麵上貼，或者貼不上去，或者“貼”上去了，則某些方向上的線段c或d……長度就變了。因為隻有使某些線段重合一部分，或拉長，或撕斷才能貼在球的表麵上去。兩個曲麵(平麵是曲麵的特殊情況)可以互相貼合的充要條件是這兩個曲麵等距。所謂等距是指兩曲麵間建立了一一對應關係，且對應曲線長度相等。平麵與球麵是建立不了等距關係的，所以球麵不能展成平麵圖形。