第二章
三、數學理論的發展宋元數學
從秦漢到隋唐，中國數學可算是蓬勃發展的，出現了不少數學家與數學著作，數學教育也積極展開。但是與宋元時期相比，後者已把中國的籌算數學發展到了頂峰，在數學的許多領域，宋元數學的成就代表了當時世界數學的水平。其中傑出的數學家和數學成就有：
沈括(1031～1095)，其著《夢溪筆談》26卷(1088年左右)，載錄了他所發明的“隙積術”和“會圓術”，前者是一種高階等差級數的求和方法，後者是關於弓形弧長計算的近似方法。
秦九韶(1202～1261)，其著《數書九章》18卷(1247)，載錄了他所創造的“大衍求一術”和“正負開方術”，前者是由《孫子算經》所開創的一次同餘式理論的發展，在世界數學史上被稱為“孫子剩餘定理”；後者是沿著《九章算術》用開方術求二次方程數值解這條脈絡，在賈憲(11世紀)的“增乘開方法”基礎上發展起來的，這是一個求任意次方程數值解的方法，比同類型的“霍納法”要早出500多年。
李冶(1192～1279)，其著《測圓海鏡》12卷(1248)和《益古演段》3卷(1259)，載錄了他發明的“勾股容圓術”和“天元術”，前者是圓外切直角三角形各種線段間的關係的計算問題；後者是列方程的方法，這是初等代數的核心問題。
楊輝(13世紀)，其著《詳解九章算法》12卷(1261)、《日用算法》2卷(1262)、《田畝比類乘除捷法》2卷(1275)。其中尤以《詳解九章算法》因附有二項式係數三角陣，即所謂的楊輝三角而聞名於世。其實，楊輝自己說這種三角陣出自賈憲書中，原名為“開方作法本源圖”，賈憲是用它來進行高次冪開方的。楊輝著作的大部分內容都是民間實用數學的總結，它代表了籌算數學頂峰時期的一個發展方向。
朱世傑(14世紀)，其著《算學啟蒙》3卷(1299)和《四元玉鑒》3卷(1303)，前者屬日用算書，後者重理論探求。在《四元玉鑒》中朱世傑將列一元高次方程的天元術，推而廣之，提出了列四元高次方程的方法——四元術、又在沈括的“隙積術”和郭守敬等人的“招差術”的基礎上，提出了“垛積招差術”——有限差分法的一種形式，著名的有限差分法是1715年由英國數學家泰勒提出的。
總之，宋元時期是中國數學大放異彩的時期，它像一盞燦爛的明燈，表明了世界數學發展的高度。
宋元數學為什麼會出現如此盛況，這自然要從宋元社會的特點和中國數學的發展規律中去尋找答案。
就宋元社會來說，它有一個較長時間的相對安定的局麵，這有利於社會生產的發展，尤其是以手工業為主體的工業生產的興起，給科學文化帶來積極的影響和推動作用，像雕版印刷的廣泛采用，印本數學著作的出現都給數學發展提供了條件。
數學學派的出現是促進宋元數學發展的直接原因。北宋以後中國民間曾多次出現各學術團體，它們各有自己的研究中心，形成具有一定風格的學派。這些學派的中心人物大都是獻身數學而不求官職的學者，因此在學術上很有造詣。其中有朱世傑為代表的燕山學派；有楊輝為代表的錢塘學派；有郭守敬、王恂為代表的河北武安紫金山學派；還有李冶為代表的河北元氏封龍山學派。這些學派都曾在中國數學史上獨樹一幟，作出了傑出的貢獻。
宋元數學高峰，也是籌算數學發展的必然趨勢。籌算數學從春秋開創以後，曾在解決實際問題過程中得到發展，由於當時實際問題對數學的要求主要是計算方麵的，因此籌算數學所能創造的成就的範圍基本上也屬於計算方麵的，有一定的局限性。如同一切事物具有產生、發展及消亡過程一樣，籌算在其消亡的前期必然會出現一個頂峰，在它可能獲得成就的範圍上創造出一個最高的水平。宋元數學高峰以後，籌算數學的發展也就日趨低潮，不久被珠算和西洋數學所代替。