第四章
對於方程中的各項係數，除常數項規定了“實常為負”以外，其餘可正可負。不受任何限製。缺項表示該項係數為零。
中國古代注重求方程的數值解，而不注重對方程的分類和討論，但秦九韶不同，他開始注意了對某些特殊形式的方程作出區分，如他稱｜a0｜≠1的方程為“連枝某乘方”；稱僅有偶次項的方程為“玲瓏某乘方”。不過這些區分還尚未構成對方程明確分類的程度，理論上進取仍顯不夠。
但是，在應用增乘開方法求方程數值解方麵，秦九韶是研究得相當係統而徹底的。他稱增乘開方法為“正負開方術”，這種方法與通常所謂的霍納方法基本一致。例如，《數書九章》卷5第1題“尖田求積”列出方程為
-x4+763200x2-4064256000=0
秦九韶在列出方程的籌式後，依次用21個籌算圖式來詳細說明解方程的每一個步驟。下麵我們改用阿拉伯數字並用橫式抄錄其主要圖式如下表所示。(摘自沈康身：《增乘開方法源流》，載《秦九韶與數書九章》一書，北京師範大學出版社，1987年)
正負開方術的籌算圖示(程序)
程序隅下廉上廉方實商①-107632000-40642560000②-100000763200000-40642560000③-100000000076320000000-40642560000800④-100000000-8000000001232000000985600000038205440000續表
程序隅下廉上廉方實商⑤-100000000-1600000000-11568000000-8268800000038205440000⑥-100000000-2400000000-30768000000-8268800000038205440000⑦-100000000-3200000000-30768000000-8268800000038205440000⑧-10000-32000000-307680000-8268800000038205440000840⑨-10000-3240000-320640000-95513600000程序①相當於列出方程：-x4+763200x2-40642560000=0(1)程序②相當於對上式(1)進行x=100x1的變換，得-(10)8x41+763200×(10)4x21-40642560000=0(2)當求得8 -(10)8x42-3200(10)6x32-3076800(10)4x22-
826880000(10)2x2+38205440000＝0(3)
程序⑧相當於對(3)式進行了x3＝10x2的變換後得出的新的方程：
-(10)4x43-3200(10)3x33-3076800(10)2x23-
82680000(10)x3+38205440000＝0(4)
最後求得x3=4，故得：x＝100x1＝100(8+x2)=100(8+x310)＝840秦九韶還對運算過程中所產生的某些特殊情況進行了討論。特別是當開方得到無理根時，秦九韶改變唐宋數學家不重視十進分數的做法，積極采用劉徽的十進分數法來表示無理根的近似值，從而使高次方程數值解的範圍擴展到最大限度。另外，秦九韶對常數項絕對值增大或減小，符號從負變正也不像以前的數學家那樣畏懼，而將它們視為理所當然，不影響算法的正確性，這就充分發揮了他的“正負開方術”解各種類型方程的有效性。高階等差數列