第三章
中國古代，把開高次方和解二次以上的方程，統稱為開方。在《周髀算經》和趙爽注，以及《九章算術》和劉徽注中，已經有了完整的開平方法和開立方法，在二次方程x2+px＝N的數值解法和求根公式這兩個方麵都取得了一定的成就。後來，祖衝之創“開差冪”和“開差立”在解三次方程方麵作出重要的推進，可惜算書失傳，其內容也不得而知了。唐朝，王孝通采用幾何方法建立三次方程x3+px+q=N，同時發展了三次方程數值解法。正是在這個基礎上，宋元時期的數學家們開創了增乘開方術和正負開方術，使得中國數學關於高次方程的理論取得了更加輝煌的成就。
賈憲三角
中國數學中關於開平方、開立方的方法不僅出現得早而且方法合理，與今天我們通用的開方法基本一致，都是二項式展開式的原則運用。如開平方(即求方程x2＝N的正數根)，就是利用(x21+x22)2=x21+2x1x2+x22=x21+(2x1+x2)x2這一展開式，確定初商x1後，利用(x1+x2)2-x21＝(2x1+x2)x2來確定次商x2。可以看出，這一運算實質是應用了二項式展開式中的係數1、2、1。同樣，開立方要用到展開式(x1+x2)3=x31+3x21x2+3x1x22+x32，實際也是利用了展開式右端的四個係數1、3、3、1。顯然，同樣的步驟對於任意次冪的開方都是適用的。因此，找出二項式展開式中的係數的規律就可以利用它來進行對高次冪的開方。中國數學史上，較早認識這一點，並給出二項式展開式中的係數規律的是北宋數學家賈憲。
11世紀上半葉，賈憲給出了一張二項定理展開式(指數是正整數)的係數表，附在他的《黃帝九章算法細草》之中，賈憲稱此為“開方作法本源圖”，意思是說，這是用作進行開方的基本圖式。現在所說的“楊輝三角”就是指賈憲的這張圖。因為賈憲的《黃帝九章算法細草》已經失傳，我們所見的圖是從楊輝的《詳解九章算法》中出現的，所以稱它為楊輝三角。不過楊輝說得很明白，他書中的這張圖來自賈憲書中，因此我們稱它為賈憲三角才對。
開方作法本源圖歐洲人一般稱這種三角形表為巴斯卡三角，巴斯卡發表它是在1665年。在國外，比巴斯卡早知道這三角形的是阿拉伯數學家阿爾·卡西(AL—Kashi?—1429)，他給出了二項係數的一般式子並加了證明。
前麵指出，賈憲造表的宗旨是用它來求開高次冪的根，而不僅是為了求二項式展開式中各項的係數。怎樣用法呢?賈憲在他的開方作法本源圖上有一段說明：其中頭兩句說，“左袤乃積數，右袤乃偶算”，其中“袤”本應作衺，斜的意思。這兩句是指圖中最外的左右兩斜線上的數字，都分別是(x1+x2)n展開式中“積”(x1的最高次項)與“隅算”(x2的最高次項)的係數；第三句“中藏者皆廉”是說明圖中間所藏的數字“二”、“三、三”、“四、六、四”等等分別是展開式中的“廉”(除x1、x2最高次係數以外的各項的係數)；最後兩句“以廉乘商方，命實而除之”則直接點穿了用展開式中的係數，進行開方的方法，就是以各廉乘商(即根的一位數得數)的相應次方，然後從“實”(被開方數)中減去。實際步驟就是前麵講過的開平方的過程，隻是賈憲已經把《九章算術》中的開方原理，推廣到了開高次冪上；這不能不說是一大創造。
增乘開方術
賈憲三角雖隻七行，但按賈憲的造表方法，要任意擴大是不成問題的。賈憲的造表方法叫“增乘方法求廉草”。“草”，文稿的意思；求廉就是求賈憲三角中的除左右兩斜行“一”以外數字；增乘方法是指使用的方法的名稱。
用增乘法求廉大致是這樣的:
①先列六個1，如圖中(a)；
②從最底下的一個1起，自下增入上一位，遞增到首位，得6而止，如圖中(b)；
③再如前麵樣升增，到第二位得15而止，如圖中(c)；
④再如上進行升增，但分別到第三位得20，到第四位得15，第五位得6止，如圖中(d)、圖中(e)、圖中(f)。
第一位11+5＝6
第二位11+4＝510+5＝15
第三位11+3＝46+4＝1010+10＝20
第四位1l+2＝33+3＝64+6＝105+10＝15
第五位11+1＝21+2＝31+3＝41+4＝51+5＝6
底位111111
(a)(b)(c)(d)(e)(f)