第七章
珠算等實用數學的發展
實用數學是隨著社會經濟特別是商業的發展而發展起來的。早在唐代中期，為適應社會需要已經出現了一些實用算書，如《韓延算術》、《得一算經》等，入宋以後，更有沈括、楊輝、朱世傑、丁巨、賈亨、何子平等人致力於改進計算技術，創造出了一個又一個先進的算法，使籌算技術發展到了一個嶄新的水平。特別是求一算法和歸除歌訣的發明，有效地簡化了籌算的多位數除法，使籌算四則運算都有了捷法。
在唐宋實用數學和乘除口訣化的基礎上，元末產生了珠算盤和珠算術。由於明代商業經濟的迅速繁榮，珠算很快就在明代得到普及和發展。各種珠算書相繼問世，其中以程大位的《直指算法統宗》(1592年)最為重要，而明代的實用數學著作則以吳敬的《九章算法比類大全》為代表。
《九章算法比類大全》
《九章算法比類大全》的作者吳敬是一個長期從事會計工作的實際工作者。吳敬幾次擔任浙江布政使司的幕府，掌管全省田賦和稅收的會計工作。1440年左右，吳敬根據自己多年的理論研究和實踐經驗的積累，著手編著《九章算法比類大全》，10年成書，共10卷。
正如書名所表示的，《九章算法比類大全》以《九章算術》中的九個類目作為分類標準。全書除卷首外其餘九卷各對應《九章算術》中的一章。各卷的最初幾個應用問題，主要引自《詳解九章算法》等古書，稱為“古問”，然後結合當時的實際應用題進行“比類”。這種著書方式既起到了提倡古典數學的作用，也有利於讀者掌握各種算法及其具體的應用。為了適應當時商業經濟發展的需要，在全書一千多個應用問題中，商業應用問題，如利息計算、商品交換、就物抽分(以貨物作價抵償費或加工費等)、合夥經營占有相當大的比例。這些商業算術後來在西方算書中時有出現。
由於明代時古算書已所見不多，所以吳敬的《九章算法比類大全》在當時具有很大的影響。他的書的仿古體例給後來的數學著作起到了示範作用。吳敬以後的數學著作，如許榮的《九章詳注算法》(1478)、程大位的《直指算法統宗》(1592)等書都以“九章”名義為應用問題的分類標誌。
珠算盤與珠算術的產生與發展
珠算盤在中國究竟起源於何時，至今尚未定論。但普遍使用上二珠下五珠中間隔橫梁的珠算盤是在明代，那是沒有多大爭議的。
中國珠算是由籌算發展而來的。從7～14世紀，中國籌算算法一直在進行著改進，唐中葉發明的簡化籌算四則運算，變三列籌碼為一列籌碼的做法在計算形式上已經為珠算打下了基礎。14世紀產生了歸除、撞歸、起一、化零等口訣，為算法機械化創造了條件。口訣的快速思維，勢必與算籌撥動不便產生矛盾，從而促使計算器具的改進，珠算盤也就在這種情況下產生。
從珠算中可以發現，中國算盤的結構原理以及珠算記數形式和四則運算方法都與籌算十分相同。中國珠算記數，完全取之於傳統的籌算布數法。我國古代算盤，有上一珠下五珠的和上二珠下五珠兩種。下五珠都用於記1～5，它是仿照籌算用積聚方法記數；用上一珠和下五珠記6～9，是仿照籌算記數也較明顯。至於下珠串有五個而不是四個，那是由於受籌算“五不單張”的影響。記數時似乎上一珠下五珠就足夠了，但計算時卻仍有不便之處。因為應用乘除口訣，在多位數乘、除的演算過程中，有時有某一位數碼大於9而不便進左邊一位的情況，在籌算中須要多用表示5的算籌來表示這個數碼，例如或表示14。所以創製算盤時就采取上邊安放二珠，下邊安放五珠的製度，使每檔的算珠表示的數碼可以多到15，這樣一般的乘除演算就沒有困難了。
現在所知，有關珠算盤的記載最早見於元末陶宗議的《南村輟耕錄》(1366)，而現代樣式的上二珠和下五珠中間隔橫梁的算盤圖式，見之於柯尚遷的《數學通規》(1578)。這是一個有13檔的算盤圖，被稱之為“初定算盤圖式”，可見，這種樣式在當時還出現不久，此後，有關珠算的記載和專門的珠算書籍就逐漸多起來了。明代影響最大的珠算著作是程大位的《直指算法統宗》，這本書不僅在中國，在國外尤其是日本影響也很大。
《直指算法統宗》