尖錐求積術
尖錐求積術是一種求冪函數的積分的方法，是李善蘭在翻譯西方數學著作之前研究所得的成果，其中“尖錐”是一種處理代數問題的幾何模型，各種不同的尖錐相當於給出直線、拋物線、立方拋物線……的方程：y=b;y=bhx;y=bh2x2;y=bh3x3;……。
李善蘭的積分法屬於微積分曆史上的不可分量方法。他認為“盈尺之書由疊紙而得，盈丈之絹由積絲而成也，”即把體看作是由麵迭積而成，把麵看成是由線迭積而成。但在實際求積的時候，他把組成體的“麵”仍看作是厚度為無限小的體；而把組成麵的“線”看成是寬度為無限小的麵。因此，立體的體積可以通過對無窮個體微元的求和來解決，例如，以x2為變截麵的二乘尖錐的體積等於
立體體積limn→∞［(an)2+(2an)2+…+(nan)2］·an
=limn→∞∑ni=1(ian)2·an=limn→∞n(n+1)(2n+1)6·（a3n3）=(a33)
其結果相當於∫a0x2dx=a33。
以x3為變截麵的三乘尖錐的體積等於limn→∞［(an)3+(2an)3+…+(nan)3］·an
=limn→∞∑ni=1(ian)3·an=limn→∞［n2(1+n)］2·a4n4=(a44)結果相當於∫a0x3dx=a44。
推而廣之，李善蘭得出：由平麵積xn迭積起來的尖錐體體積應是an+1n+1。其結果相當於∫a0xndx=an+1n+1因此，李善蘭的“尖錐求積術”，相當於給出了冪函數y＝kxn的定積分公式：∫a0kx2dx=kan+1n+1李善蘭同時指出：同高的幾個尖錐可以合並為一個尖錐，它相當於定積分公式：∫a0k1xdx+∫a0k2x2dx+…+∫a0knxndx
∫a0(k1x+k2x2+…knxn)dx在微積分發展史上，李善蘭的尖錐求積術並不具有重要的地位。但在中國數學史上，這是獨樹一幟的創造性貢獻。這一貢獻的意義在於它說明了：中國自身具有發展微積分學說的基礎。就如偉烈亞力在《代微積拾級》序言中所說的：“……然觀當代天算家如……戴鄂士(煦)氏、李秋紉(善蘭)氏所著各書，其理有甚近微分者。因不用代數式，故成言之甚繁，推之甚繁。今特偕李君譯此書，為微分積分入門之助。異時中國算學日上，未必非此書實基之也。”
垛積術自北宋沈括開垛積術研究之後，經南宋楊輝、元代朱世傑的發展，垛積術自成體係，成為中國數學的一項很有特色的內容。無論是所得結果，還是理論的深度都有很大的提高。李善蘭的垛積術包括許多內容，其中最出色之處有：
(1)推廣朱世傑的三角垛求和公式，得出∑ni=11p!r·(r+1)(r+2)……(r+p-1)
=1(p+1)!n(n+1)(n+2)……(n+p)
∑ni=11p!r·(r+1)……(r+p-2)(mr+p-m)
=1(p+1)!n(n+1)……(n+p-1)·(mn+p-m+1)(2)討論了自然數冪的公式，並得出∑ni=1ip=Ap1(np+1）+Ap2(n-1p+1)+……+App(n-p+1p+1)其中係數按p的層次列表如下
1p=1
11p=2
141p=3
111111p=4
12666261p=5
157302302571p=6
…………
上下層係數之間有關係：Api=(p-i+1)Ap-1i-1+iAp-1i
(3)創造了“三角自乘垛”求和公式，即“李善蘭恒等式”(n+pp)2=∑qk=0(qk)2(qk)(n+2q-k2q) (4)創造了中國獨有的垛積差分法，即公式ut=∑ni=0(n+t-1-in)di