由於劉徽將球體看作是從圓柱到圓台這一變化過程的繼續，因此所要尋找的立體，也應該是從方柱到方台這一變化過程的繼續，而且它的截麵既應是正方形的，又該與球同高處的截麵——圓的麵積之比恒為π∶4；這一立體應該是一個中心對稱的，且對稱中心截麵麵積為最大，而且截麵分別向上、下逐漸縮小的立體。
另外，根據《九章算術》將球體放在外切圓柱及外切立方體之中考察的啟發，劉徽醒悟到這立方體應該是內切於立方體的兩個直交圓柱的所圍部分，即“牟合方蓋”了。
“牟合方蓋”的發現是一個很了不起的成就，這反映了劉徽已經不是單純地停留於經驗總結，他已經采用了辯證的思維形式。
劉徽之後200多年，他所期望的“能言者”果真出現，那就是祖衝之和他的兒子祖暅(又名祖暅之)。祖暅也是博學多才的數學家，從小就懂得孝敬父母，勤奮學習。傳說，在祖衝之臨終的時候，祖暅發誓要繼承發揚他父親的成就，一定要讓皇帝采納《大明曆》，還說每年祖暅總要給他父親上墳，向他父親的在天之靈彙報讀書、研究心得。後來，他果真實現了自己的誓言。祖暅的主要工作是對《級術》進行修改、補充，有人還認為《級術》是由祖衝之和祖暅合著的。祖衝之在與戴法興辯論時曾指出張衡盲從古人，沿用了《九章算術》中錯誤的球體積公式。看來，祖衝之已經得到了正確的球體積計算公式。但是唐朝李淳風在注《九章算術》時，又說所引用求球體積的方法是祖暅的。現在人們推測很可能是，祖衝之已經明確地知道以前的球體積公式是錯誤的，並且找到了正確的球體積公式，而祖暅則將它清晰地表達出來，並給出了嚴格的證明。
祖衝之、祖暅父子，運用“祖暅原理”獲得球體積公式。所謂祖暅原理，是指“夾在兩個平行平麵間的兩個立體，被平行於這兩個平麵的任何平麵所截。如果它們的截麵麵積總相等，那麼這兩個立體的體積相等”。
西方數學書上稱這一原理為“卡瓦列裏定理”，他們認為是17世紀時意大利數學家卡瓦列裏於1635年最早發現的。實際上，祖暅早於卡瓦列裏1100多年前就發現了。
祖暅原理的原文是：“冪勢既同，則積不容異。”按現在的話來說，即：二同高的立體，如在等高處的截麵積相等則體積也相等。該文原載於祖衝之、祖暅父子撰寫的《綴術》一書，《綴術》已失傳。唐朝數學家李淳風作《九章算術》注時，把祖暅原理及祖暅的由球體積求直徑的“開立圓術”引用了進去，這才使這一發明得以流傳下來。
祖暅繼承了劉徽未完成的事業，求出了“牟合方蓋”的體積，從而得到球體積公式。他是這樣做的：
取牟合方蓋(簡稱“方蓋”)的1／8，如圖(a)，設圓柱半徑為R。
作一距底麵h的平麵交方蓋，得一正方形PQMN(用陰影表示)，其邊長為a，則有a2=R2-h2
另作一棱長為R的正方體，如圖(b)，且使它的底麵A1B1C1D1,與方蓋的底ABCD在同一平麵上。從正方體中挖去一個倒立的四棱錐，得到一個新幾何體G。作一距底麵為A的截麵，交G得一曲尺形截麵(圖(b)中陰影表示)，其麵積為R2-h2=a2。
由祖暅原理，方蓋的18與G等積，而G的體積=R3-13R2×R=23R3。
所以，牟合方蓋的體積V牟=8×23R3=163R3。
再由劉徽的公式，即可求得：
V球=π4V牟=π4×164R3=43πR3
這個球體積公式是數學史上的一個巨大成就，也是我們中華民族對世界科學的偉大貢獻。
祖暅原理還可以推廣為：“夾在兩平行平麵間的兩個立體，被平行於這兩個平麵的任一平麵所截，如果它們的截麵麵積的比恒為一定值，那麼這兩個立體的體積之比也等於這個定值。
94如何丈量地球
根據牛頓有關引力的理論，可以推想出來，地球並不是一個純粹的圓球體，而應該有點像橘子那樣，是個中間寬，兩頭扁的球狀體。換句話說，由於離心力的作用，地球在赤道上的直徑要比兩極間的直徑要長。也就是說，兩極的每一緯度間的距離要比赤道附近每一緯度間的距離要大。
為了證實這一理論，法國政府於1735年組織了兩次考察。考察隊的任務是通過對子午線弧度的測量，精確地計算出地球的形狀和大小。第一支考察隊，由拉康達明率領，他們在深入到位於赤道附近的秘魯安第斯山區時遇到了許多困難。兩年後，第二支考察隊由馬保梯率領，去了北歐拉普蘭地區，那是當時歐洲人所能到達的最靠近北極的地區。由於惡劣的氣候條件和儀器的敏感度很高，這兩次考察不僅耗費時日，而且曆盡周折。但是，在曆時數年的艱苦工作中，他們所收集到的數據和得出的計算結果證實了牛頓的想法。北極附近的一個緯度間距要比赤道附近的一個緯度間距長1％。赤道部位的地球要比兩極部位的更圓。今天我們知道，赤道區域的海平麵要比兩極地區的海平麵離地球的中心遠21千米。