92劉徽如何發明“重差術”
劉徽是我國三國時代的魏國人，可能是山東人。他曾從事度量衡考校工作，研究過天文曆法，但主要是研究數學。
劉徽自幼就學習《九章算術》，對該書有獨到的研究，他不迷信古人，對《九章算術》中許多問題的解法不滿意，於公元263年完成了《九章算術注》，對《九章算術》的公式和定理給出了合乎邏輯的證明，對其中的重要概念給出了嚴格的定義，為我國古代數學建立了完備的理論。
劉徽創造了一種測量可望而不可即目標的方法，叫做“重差術”。重差術也叫“海島算經”，附在《九章算術》之後，共有九個問題。
劉徽說：“凡望極高，測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差也。”這段話的意思是，重差用於測不可到達物的距離。用兩次測量之差，再利用相似比來進行計算。
“海島算經”的第一個問題是“測海島高及距離。”題目原文是：
“今有望海島，立兩表齊高三丈，前後相去千步，今後表與前表參相直。從前表卻行123步，人目著地取望島峰，與表末參合。從後表卻行一127步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何。”按現代數學浯言譯出，就是：“為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和E處樹立標杆DC和EF，標杆高都是3丈，兩標杆相距1000步，AB、CD和EF在同一平麵內。從標杆DC退後123步到G點，看到島峰A和標杆頂端C在一條直線上；從標杆FE退後127步到H點，也看到島峰A和標杆頂端正在一條直線上。求島峰高AB及水平距離BE。”
為解此題，可令標杆高為h，兩標杆的距離為d，第一次退a1，第二次退a2。又設島高為x，BE為y。
按劉徽的作法是，作EL∥AG交BH於L點。
∵△ELH～△ACE
△EHF～△AEK
∴ECHL=AEEH·AEEH=AKEF
∴ECHL=AKEF
已知EC=DF=d,HL=FH-FL=FH-DG=a2-a1,EF=h，可得：
da2-a1=AKh,AK=da2-a1h
x=AK+h=da2-a1h+h
又∵△CDG～△AKC
∴KCDG=AKCD
已知KC=yDG=a1AK=da2-a1hCD=h所以
ya1=da2-a1hh
y=da2-a1a1
在上麵公式裏da2-a1是兩個差數之比，所以叫重差術，也有人說因為兩次用的差a2-a1，所以叫重差。
劉徽也得到了上麵的公式，其公式為：
島高=表高×表間後表卻行-前表卻行+表高
其中“表”就是標杆，“卻行”就是後退。
將“海島算經”第一題的數據代入公式，可得x=1506步，y=30750步。
“海島算經”本來不獨立成書，是附在《九章算術》中“勾股”章後麵的一個附錄，主要講用勾股定理進行測量的補充和發展。到公元7世紀唐朝初年，才從《九章算術》中抽出來成為一部獨立著作。因為第一題是關於測量海島的高和遠，所以起名《海島算經》。
現傳本《海島算經》的九個問題中，有三個問題需要觀測兩次；有四個問題要觀測三次；還有兩個問題要觀測四次。所有的觀測和計算，都是應用相似三角形對應邊成比例進行的，雖然沒有引入三角函數，但是利用線段之比，同樣可得結果。
重差術是我國數學上的一個創造。
93球體積怎樣證明
劉徽在注《九章算術》時，研究了球體積公式。在《九章算術》中，提出了V=916d2的球體積計算公式。從這個公式可以看出，當時把足球的體積作為它的外切立方體體積的916倍來計算的，其中“9”實際表示π2，因那時人們經常取π=3進行計算。劉徽首先看出了其中的錯誤。他發現了一種有趣的立體圖形，並把它叫做“牟合方蓋”。牟，相等；蓋，傘。“牟合方蓋”是指兩個半徑相同，且兩軸相互垂直相交的圓柱的公共部分。由於其形狀就像把兩個方口圓頂的傘對合在一起，故取名為“牟合方蓋”。劉徽指出球體積應該等於外切於它的一個牟合方蓋體積的π4倍，即
V球=π4V牟
因此，計算球體積的問題歸結為計算V牟的問題，但劉徽一直沒有找到求“牟合方蓋”的體積辦法。他坦率地說：“欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑?以俟能言者。”希望後世能幹的學者能盡快解決。
眼下暫且不談後世學者的事，先講講讀者關心的問題：劉徽是怎樣想到這種有趣的圖形的?有人說，因為他曾經長時期使用過一種方口圓頂的鬥笠，從中受到啟發。這種開玩笑的說法是沒有根據的。數學史家推測，他是應用了類推法。
劉徽研究《九章算術》時曾發現：圓柱、圓錐、圓台的體積分別與同高的外切方柱、方椎、方台的體積之比，等於同高處橫截麵麵積之比，即π∶4。劉徽認為，球體的體積可以通過其他容易求出體積的立體來表示，隻要這個立體與球體在同高處的截麵麵積之比處處相等就可以了。