第二章6
88進位製是如何發現的
人類在認識數字的同時，也進行著對數字記法的探索。中國早在五六千年前就有了數字記法，到3000多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的數字已十分常見，這時，自然數計數都采用十進位製。甲骨文中就有從一到十、百、千、萬的13個記數單位。
對於任意大於1的整數p，每個自然數都可以惟一地寫成a、pn+an1pn-1+……+a1p+a0的形式，其中a0、a1……an-1、an是在0、1、2……P中取值的整數。於是就可以用(anan-1……a1a0)，來表示這個自然數，這種表示自然數的方法稱為p進製記數法。當p=2時，就得到二進製記數法；當p=10時，就是十進製記數法。
在二進製中，隻有0、1兩個記號，遵循逢二進一的規則。機械式計算機的創始人萊布尼茨係統研究了二進位製，其中曾受到中國古代八卦的啟發。下表說明了二進製與我們通常所用的十進製的關係：
十進位製12345678910……二進位製11011100101110111100010011010……89計算工具如何發現的
俗話講“巧婦難為無米之炊”。要提高運算速度和精確度，必須借助於相應的計算工具。
小時候學習算術，學生們經常用十指來幫助計算，手指成為最簡單易用的計算工具。實際上，用十指計算從人類認識數開始就已經有了。除了用手指幫助計算，傳說古代的中國也用在繩子上打結來記數和計算，史稱結繩記數。算籌是中國古代用於計算和占卜的重要工具，算籌有竹製、木製和骨製的。利用算籌，古改進後的算盤代中國人最先創立了完善的十進位位值製記數法，這是古代中國在數學上的重要發明之一。算盤並不是中國獨有的，日本和俄羅斯都有與中國類似的穿珠算盤。算盤實際上是對算籌的改進，由於漢字一字一音，珠算規則易於編成口訣，這大大加快了運算的速度。時至今日，算盤在很多場合仍然顯示出它獨有的魅力。計算器實際上是功能比較簡單的計算機，它的發展可以追溯到17世紀，但電子計算機到20世紀中葉才出現。近幾十年來，以現代計算機為代表的計算工具已經發展到了很高的水平。計算機已遠不止是用於簡單的計算，它已經能夠做很多複雜的事情，並不斷滲透到生活的各個方麵。
90數學悖論如何發現的
一般而言，數學給人的印象總是嚴密和可靠的。但早在2000多年前的古希臘，人們就發現了一些看起來好像正確，但卻能導致與直覺和日常經驗相矛盾的命題，這些自相矛盾的命題就被稱為悖論或反論，即如果承認這個命題，就可推出它的否定，反之，如果承認這個命題的否定，又可推出這個命題。
約公元前5世紀的古希臘哲學家芝諾提出了4個著名的悖論。第一個悖論說運動不存在。理由是運動物體到達目的地之前必須先抵達小點。也就是說，一個物體從A到B，永遠不能達到。因為要從A到B，必須先達到AB的中點C，為達到C必須先達到AB的中點D，等等。這就要求物體在有限時間內通過無限多個點，從而是不可能的。第二個悖論說希臘的神行太保阿希裏永遠趕不上在他前麵的烏龜。因為追趕者首先必須到達被追者的起點，因而被追者永遠在前麵。第三個悖論說飛箭靜止，因為在某一時間間隔，飛箭總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是遊行隊伍悖論，內容與前者基本上是相似的。芝諾悖論在數學史上有著重要的地位，有人將它看成是第二次數學危機的開始。無理數的發現，被認為是第一次數學危機，並由此導致了實數理論、集合論的誕生。
英國著名哲學家、數學家、邏輯學家羅素(1872年～1970年)講這樣一個故事：有一個村莊的理發師立下了“隻為所有不自己理發的人理發”的規矩。於是有人問他：“理發師先生，您的頭由誰理呢?”這可難住了理發師。因為從邏輯上講有兩種可能性，自己給自己理或請別人給自己理。但若自己給自己理，那就違背了立下的規矩；如果請別人給自己理，那他自己就成了“不自己理發的人”，按照規矩，他應該給自己理發。無論怎樣都和自己的規矩相衝突。看來這位理發師真是遇到難題了。這就是羅素於20世紀初提出的著名的理發師悖論，或稱羅素悖論。羅素悖論標誌著第三次數學危機的開始，由此導致了對數學基礎的廣泛討論。實際上，與羅素悖論本質上完全一樣的說謊者悖論早在公元前4世紀就由古希臘數學家歐幾裏得提出，即“我正在說的這句話是謊話”。這句話到底是真話還是謊話呢?這也是一個無法自圓其說的論題。
對於數學悖論的研究，推動了數學的發展，同時也使人們認識到盡管數學是很嚴密的，但它的真理性卻也是相對的。隻有不斷去探索、去研究，才能更好的發現真理、掌握真理，真正理解世界的涵義。
91自然數如何發現的
在數學的浩瀚海洋中，人們最熟悉的恐怕就是自然數了。人們一般把1，2，3，4……稱為自然數。學校中最基礎的數學分類是質數(又叫素數)與合數。自然數中隻有能被1與它自身整除的數稱為質數，比如2、5、7等。
質數就像建築上用的磚一樣，它是數論中的基石。許多數學家傾注了大量心血，甚至終身對它進行研究。我們注意到，似乎自然數越大，則同它相鄰的自然數中質數越少。那麼，質數到底有多少個呢?古希臘數學家歐幾裏得用反證法很巧妙地證明了“質數有無窮多個”。