第二章5
79虛數是如何發現的
從自然數逐步擴大到了實數，數是否“夠用”了?夠不夠用，要看能不能滿足實踐的需要。
在研究一元二次方程x2+1=0時，人們提出了一個問題：我們都知道在實數範圍內x2+1=0是沒有解的，如果硬把它解算一下，看看會得到什麼結果呢?
由x2+1=0，得x2=-1。
兩邊同時開平方，得x=±-1(通常把-1記為i)。
-1是什麼?是數嗎?關於這個問題的正確回答，經曆了一個很長的探索過程。
16世紀意大利數學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了-1，對它還進行過運算。
17世紀法國數學家和哲學家笛卡兒把-1做”虛數”，意思是“虛假的數”、“想像當中的，並不存在的數”。他把人們熟悉的有理數和無理數叫做“實數”，意思是“實際存在的數”。
數學家對虛數是什麼樣的數，一直感到神秘莫測。笛卡兒認為：虛數是“不可思議的”。大數學家萊布尼茲一直到18世紀還以為“虛數是神靈美妙與驚奇的避難所，它幾乎是又存在又不存在的兩棲物”。
隨著數學研究的進展，數學家發現像-1這樣的虛數非常有用，後來把形如2+3-1，6-5-1，一般地把a+b-1記為a+bi，其中a，b為實數，這樣的數叫做複數。
當b=0時，就是實數；
當b≠0時，叫做虛數。
當a=0，b≠0時，叫做純虛數。
虛數作為複數的一部分，也是客觀存在的一種數，並不是虛無飄渺的。由於引進了虛數單位-1=i，開闊了數學家的視野，解決了許多數學問題。如負數在複數範圍內可以開偶次方，因此在複數內加、減、乘、除、乘方、開方六種運算總是可行的；在實數範圍內一元n次方程不一定總是有根的，比如x2+1=0在實數範圍內就無根。但是在複數範圍內一元n次方程總有幾個根。複數的建立不僅解決了代數方麵的問題，也為其他學科和工程技術解決了許多問題。
自然數、整數、有理數、實數、複數，人類認識的數，在不斷地向外膨脹。
隨著數概念的擴大，數增添了許多新的性質，但是也減少了某些性質。比如在實數範圍內，數之間是可以比較大小的，可是在複數範圍內，數之間已經不能比較大小了。
所謂能比較大小，就是對於規定的“>”關係能滿足下麵四條性質：
(1)對於任意兩個不同的實數。a和b,或a>b，或b>a，兩者不能同時成立。
(2)若a>b，b>c，則a>c
(3)若a>b，則a+c>b+c
(4)若a>b，c>0，則ac>bc
對於實數範圍內的數，“＞”關係是滿這四條性質的。但對於複數範圍內，數之間是否能規定一種“＞”關係來滿足上述四條性質呢?答案是不能的，也就是說複數不能比較大小。
為了證明這個結論，我們需要交待複數運算的部分內容，證明中要用到它：
(1)-1·-1=-1-1·0=0
--1·0=0
(--1)·(--1)=-1
-1+(--1)=0
0+(--1)=--1
(2)複數中的實數仍按實數的運算法則進行運算。
現在用反證法證明複數不能比較大小。假設我們找到了一種“＞”關係(注意：“＞”關係不一定是實數中規定的含義)來滿足上述四條性質。當然對於-1應具有性質(1)：
-1＞0或0＜-1
先證明-1＞0不可能。
-1＞0的兩邊同乘-1，由性質(4)得：
-1·-1＞-1·0
-1＞0
(注意：由於“＞”不一定是實數各規定的含義，故未導出矛盾。)
-1＞0的兩邊同加1，由性質(3)得：
-1+1＞0+1
0＞1
-1＞0的兩邊同乘-1，由性質(4)得：
(-1)·(-1)＞(-1)·0
1＞0
於是得到0＞1，而且1＞0，也就是0與1無法滿足性質(1)，這與假設形成矛盾，所以-1＞0是不可能的。
其次證明0＞-1不可能。
0＞-1的兩邊同加--1，由性質(3)得：
0+(--1)＞-1+(--1)
--1＞0
--1＞0的兩邊同乘--1，由性質(4)得：
(--1)·(--1)＞(--1＞)·0
-1＞0
以下可依第一種情況證明，導出矛盾，所以0＞-1不可能。
以上證明從複數中取出兩個數-1與0是無法比較大小的，從而證明了複數沒有大小關係。
複數無大小，聽來新鮮，確是事實!
80函數是如何發現的
函數概念最初產生於17世紀，這首先應歸功於解析幾何的創始人法國數學家笛卡兒，但是，最早使用“函數”一詞的卻是德國數學家萊布尼茨。盡管人們早已在不自覺地使用著函數，但究竟什麼是函數，在很長一個時期裏並沒有形成一個很清晰的概念。大數學家歐拉曾認為“一個變量的函數是一解析表示，由這個變量及一些數或常量用任何規定方式結合而成”。與此同時，歐拉把“用筆畫出的線”也叫做函數。到了19世紀，函數概念進一步發展，逐漸發展為現代的函數概念，俄國數學家羅巴切夫斯基最早較為完整地敘述了函數的定義，這時已經非常接近於當今在中學數學課本中所看到的定義了。現代意義上的函數是數學的基礎概念之一。在物質世界裏常常是一些量依賴於另一些量，即一些量的值隨另一些量的值確定而確定。函數就是這種依賴關係的一種數學概括。一般地，非空集合A到B的對應集為函數(或映射)，如果f滿足:對任意A中元素a，在B中都有一個元素［記為f(a)］與a對應。
函數在人們的日常生活中是很常見的，比如經常會看到類似這樣的統計數字：某護士每小時量一次病人的體溫，可以將6小時所得的結果製成下表：小時123456溫度371℃38℃37℃39℃38℃372℃這就是一種函數關係。函數關係不一定很有規律，當然也不一定非得用規則的表達式表示出來，實際上，更多的函數是不能用表達式表示出來的。在中學階段，同學們主要學習的函數都是非常簡單和有規律的，比如初中學習的正比例函數(y=kx,k≠0)、反比例函數(y=kxk≠0)、一次函數(y=kx+b，k≠0)和二次函數(y=ax2+bx+c,a≠0)。函數可以用圖像直觀地表示出來，我們經常看到用“直方圖”表示的函數。
在學習過程中，同學們更多地使用“描點法”來描繪函數的圖像，即將滿足函數方程的點逐一在直角坐標係中描繪出來，從而得到函數的圖像。數與形的結合是研究函數的有效的手段。
81代數式與多項式是如何發現的
用字母來代替數是數學從算術發展到代數的重要標誌。比如，用R表示一個圓的半徑，那麼πR2就表示這個圓的麵積；如果分別用a、b表示直角三角形的兩個直角邊，則該三角形的麵積就是12ab。一般地，我們把用加、減、乘、除、乘方、開方等數學符號聯結在一起的表示數的字母組成的式子稱為代數式。一個數或一個字母也叫做代數式，比如πR2，12ab,x,a等。代數式中的字母一般可以任意取值，用給定數值代替代數式裏的字母所得到的結果，叫做代數式的值。比如a=1,b=2時，12ab=1。
代數式可以分成很多種，沒有加減符號聯結的代數式叫單項式，比如x，3y等；有加減號聯結的代數式稱為多項式，比如2x+1，3x2-x+1等。一般地，形如anx2+an-1xn-1+……+a1x+a0的代數式稱為關於x的一元n次多項式(n為非負整數，an≠0)。aixi,為多項式的i次項，ai稱為i次項的係數。在小學階段，學生們鑽研最多的是一元二次多項式，比如2x2+3x+1等。代入一元n次多項式後所得代數式的值為0的x的值，稱為多項式的根。關於多項式根的研究在數學史上曾經持續了好幾百年，法國數學家伽羅瓦(1811年～1832年)在這方麵做出了傑出貢獻，開創了現代代數學。關於多項式根的研究目前仍然是數學家們關注的熱點。
82韋達定理是如何發現的
數學在許多人眼裏是很抽象，複雜的，但在這些複雜現象的背後卻往往有著非常和諧、自然的規律，如果能更加理解和掌握這些規律，就會對數學有更深刻的認識。很多迷戀數學的人就是被數學的這一特點所吸引。韋達定理就很好地反映了數學這一特點。
韋達定理是以16世紀法國數學家韋達的名字命名的。韋達定理通過揭示多項式根與係數的關係反映了多項式根的問題的基本特征，是多項式理論中的關鍵定理之一。在中學階段學生們比較熟悉的是關於二次多項式的韋達定理，即對於ax2+bx+c(a≠0)來說，若它的兩個根是x1和x2，則x1+x2=-ba,x1x2=ca。利用這種關係可以不求根而直接用係數表達出關於x1、x2的某些對稱式的值，比如：