六、趣味數學2
棋盤上的獎賞
這是發生在國際象棋棋盤上的一個故事。
說到國際象棋，你可能還不知道是個什麼樣子，這不要緊。要弄明白這個故事，根本用不著懂得下棋，隻要知道這種象棋的棋盤是四方形的，上麵畫著64個小方格就行了。
這種國際象棋是印度宰相西薩·班·達依爾發明的。國王舍罕知道後非常讚賞，就把宰相達依爾召到麵前，說：
“老愛卿，你以自己的聰明才智發明了這種變化無窮、引人入勝的遊戲，我要重重地獎賞你。”
宰相達依爾跪倒在國王麵前，說：“陛下，你的恩賜，臣萬分感激。”
國王說：“我可以滿足你最大膽的要求，隻要你能想到的，你就可以得到它。”
宰相不做聲，低著頭沉思。
“不要害怕!”國王鼓勵說：“說出你的願望來吧，我會使你滿意的。”
“陛下，”宰相說，“那就請你在棋盤的第一個小格內賜給我1粒麥子吧。”
“什麼?1粒麥子?”國王感到非常意外，驚訝地問。
“是的，陛下，1粒普通的麥子。”宰相說，“請在第二個小格內賜給我2粒，第三個小格內賜給我4粒，第四個小格8粒，第五個小格16粒，照這樣下去，每一小格是前一小格的2倍。把擺滿棋盤64個小格的所有麥子賞賜給你的仆人吧!”
“竟是這種願望!你不是在開玩笑吧?”國王有些生氣了。他覺得這種要求是對國王財富的一種蔑視。他便用一種譏諷的口吻說：“老愛卿，這種要求大概你不會怕我滿足不了你吧?”
當時就叫侍從扛來一口袋麥子。
特殊的發獎儀式開始了。國王親手在第一小格內放了1粒麥子，在第二小格放了2粒，第三小格放了4粒，第四小格放了8粒。然後就很掃興地離開了，叫侍從代替他，並囑咐說：“填滿方格，給他送去就行了。”
老練的侍從沒有急著一格一格地去放麥粒，而是先計算了計算，看看總共需要幾口袋。
數目計算出來了。這個數，竟把侍從嚇呆了。他趕緊去報告國王。
“國王陛下，我已經準確地算出了宰相要的麥子數量，這個數目大到……”
“不管這個數目有多大，我的糧倉是絕不會空的。”國王驕傲地打斷侍從的話說，“我答應的賞賜，要一粒不少地給他。”
“這是絕對不可能的，陛下!”侍從說，“宰相所要求的，不僅您所有糧倉的麥子不夠，就是把全世界的麥子都給了他，也相差太遠太遠了。”
“能這樣嗎?你是不是算錯了?”國王懷疑地說。
“一點不錯，陛下，這是千真萬確的!”接著，侍從便算給國王聽。
宰相達依爾要求賞賜的麥子是多少呢?通過計算才知道，這需要：
1+2+22+23+24+…+262+263
＝18，446，744，073，709，551，615(顆麥子)
1立方米麥子約有15，000，000粒。照這樣計算，國王就得給宰相1，200，000，000，000立方米的麥子。這些麥子比全世界兩千年生產麥子的總和還多。假如造一個高4米、寬10米的糧倉裝這些麥子，這個糧倉就有30，000，000千米長，能繞地球赤道轉700圈，等於地球到太陽距離的兩倍。
國王哪有這麼多的麥子呢?他的慷慨的賞賜，成了欠宰相達依爾的一筆永遠也還不清的債。
國王舍罕，萬萬沒有想到，從1粒麥子開始，兩倍兩倍地增加，隻在64個小格內就變出那麼大個驚人的數目。宰相的智慧超出了國王的想像力。盡管國王滿口答應一定要滿足宰相提出的任何要求，但是，無論如何，國王是拿不出那麼多麥子的。
這使國王大傷腦筋，終日心事重重，一籌莫展。心想：就是祈求上帝幫助，這筆獎賞也肯定付不清了。
這件事讓一個教師知道了。他趕到京城，求見國王說：“陛下，聽說為了棋盤上的獎賞您正左右為難，悶悶不樂?”
“你既然已經知道了，就不需要我再重複了。”國王說。
“解決這個問題像1+1＝2那樣簡單，陛下怎麼倒叫它給難住了?”教師說得輕鬆而有把握。
“那就說說你的辦法吧!”國王態度仍然很冷淡。
“按照陛下答應的條件，宰相要求多少獎賞，您絲毫不打折扣地付給他就行了，這有什麼難處?”
“你是荒唐，還是無知?”國王被這“沒頭腦”的建議激怒了，“我能把全世界兩千多年生產的麥子都搬來給他嗎?”
“那倒不用。隻用你糧倉裏的麥子就足夠了。”
“什麼?隻用我糧倉裏的麥子就夠了?”國王像是沒聽明白，重複地問了一句。
“事情很簡單!”教師說，“宰相在棋盤上要求多少麥子就賞賜給他多少，然後把糧倉打開，讓宰相自己一粒一粒數出那些麥子就行了。”
這可是國王沒想到的，他不再放聲，默默地聽教師說。
“假設每數一粒麥子需要一秒鍾的話，一晝夜24小時是86，400秒。也就是說，宰相在第一晝夜能數出的麥子是86，400粒。數十晝夜還數不到100萬粒。照這樣連續不斷地數，一年才能數完2立方米的麥子。數上10年，才能數出20立方米，數100年，也隻能數出200立方米。從現在開始，數到宰相去見上帝，他隻能得到要求賞賜的極小極小的一部分。這樣，就不是國王不能付給宰相獎賞，而是宰相自己無能力拿走應得的全部獎賞了。”教師像在課堂上講課似的說給國王聽。