那麼，填滿直徑為1斯塔迪姆的圓球，一共需要多少顆砂粒呢?阿基米德的答案是：這個數目不會超過10萬個第三級單位。
接下來，阿基米德將圓球的直徑不斷擴大，逐一計算了當圓球的直徑是100、1萬、100萬、1億、100億個斯塔迪姆時，填滿它所需要的砂粒數。最後，阿基米德得出答案說：填滿整個宇宙空間所需要的砂粒數，不會超過1000萬個第八級單位。
這個數究竟有多大呢?用科學計數法表示就是1063。這是一個非常大的數，如果用一般的記數法表示，得在1的後麵接連寫上63個0。
古時候，人們把104叫做“黑暗”，把108叫做是“黑暗的黑暗”，意思是它們已經大得數不清了，而阿基米德算出這個數，不知要比“黑暗的黑暗”還要“黑暗”多少倍。由此可見，解答“砂粒問題”，不僅顯示了阿基米德高超的計算能力，也顯示了他驚人的膽識與氣魄。
不過，用1063顆砂粒是填不滿宇宙空間的，充其量也隻能填滿宇宙一個小小的角落。但是，這不是阿基米德計算的過錯。因為古希臘人心目中的“天球”，即使與現在已經觀測到的宇宙空間相比，充其量也隻能算是一個小小的角落。
斐波拉契數列
13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契，他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下麵這個題目：
“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生後的第3個月裏，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子?”
推算一下兔子的對數是很有意思的。為了敘述更有條理，我們假設最初的一對兔子出生在頭一年的12月份。顯然，1月份裏隻有1對兔子；到2月份時，這對兔子生了1對小兔，總共有2對兔子；在3月份裏，這對兔子又生了1對小兔，總共有3對小兔子；到4月份時，2月份出生的兔子開始生小兔了，這個月共出生了2對小兔，所以共有5對兔子；在5月份裏，不僅最初的那對兔子和2月份出生的兔子各生了1對小兔，3月份出生的兔子也生了1對小兔，總共出生了3對兔子，所以共有8對兔子……
照這樣繼續推算下去，當然能夠算出題目的答案，不過，斐波拉契對這種方法很不滿意，他覺得這種方法太繁瑣了，而且越推算到後麵情況越複雜，稍一不慎就會出現差錯。於是他又深入探索了題中的數量關係，終於找到了一種簡捷的解題方法。
斐波拉契把推算得到的頭幾個數擺成一串。
1，1，2，3，5，8……
這串數裏隱含著一個規律，從第3個數起，後麵的每個數都是它前麵那兩數的和。而根據這個規律，隻要作一些簡單的加法，就能推算出以後各個月兔子的數目了。
這樣，要知道1年後兔子的對數是多少，也就是看這串數的第13個數是多少。由5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，55+89=144，89+144=233，不難算出題目的答案是233對。
按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列。大家都叫它“斐波拉契數列”。這個數列有許多奇特的性質，例如，從第3個數起，每個數與它後麵那個數的比值，都很接近0618，正好與大名鼎鼎的“黃金分割律”相吻合。人們還發現，連一些生物的生長規律，在某種假定下也可由這個數列來刻畫呢。
托爾斯泰問題
19世紀時，俄國有位大文豪叫列夫·托爾斯泰。他的作品形象生動逼真，心理描寫細膩，語言優美，用詞準確鮮明，對歐洲和世界文學產生過巨大影響。如《戰爭與和平》、《複活》等等，至今仍然擁有千千萬萬的讀者。
這位大文豪又是一個有名的“數學迷”。每當創作餘暇，隻要見到了有趣的數學題目，他就會丟下其他事情，沉湎於數學演算之中。他還動手編了許多數學題，這些題目都很有趣而且都不太難，富於思考性，因而在俄羅斯少年中廣為流傳。例如：
一些割草人在兩塊草地上割草，大草地的麵積比小草地大1倍。上午，全體割草人都在大草地上割草。下午他們對半分開，一半人留在大草地上，到傍晚時把剩下的草割完；另一半人到小草地上去割草，到傍晚還剩下一小塊沒割完。這一小塊地上的草第二天由一個割草人割完。假定每半天的勞動時間相等，每個割草人的工作效率也相等。問共有多少割草人?
這是托爾斯泰最為欣賞的一道數學題，他經常向人提起這個題目，並花費了許多時間去尋找它的各種解法。下麵這種巧妙的算術解法，相傳是托爾斯泰年輕時發現的。
在大草地上，因為全體人割了一上午，一半的人又割了一下午才將草割完，所以，如果把大草地的麵積看做是1，那麼，一半的人在半天時間裏的割草麵積就是1/3。
在小草地上，另一半人曾工作了一個下午。由於每人的工效相等，這樣，他們在這半天時間裏的割草麵積也是1/3。
由此可以算出第一天割草總麵積為4/3。
剩下的麵積是多少呢?由大草地的麵積比小草地大1倍，可知小草地的總麵積是1/2。因為第一天下午已割了1/3，所以還剩下1/6。這小塊地上的草第二天由1個人割完，說明每個割草人每天割草麵積是1/6。
將第一天割草總麵積除以第一天每人割草麵積，就是參加割草的總人數。
43÷16=8(人)
後來，托爾斯泰又發現可以用圖解法來解答這個題目，他對這種解法特別滿意。因為不需要作更多的解釋，隻要畫出了這個圖形，題目的答案也就呼之即出了。
正確的意見
兩個技術員需要一個最多能稱3公斤的秤。他們手邊隻有兩個一模一樣的彈簧。每個彈簧隻能稱1.5公斤的東西。他們決定用這兩個彈簧代替秤來稱東西。
可是他們的意見不一致：一個人主張把兩個彈簧疊起來，另一個人主張把兩彈簧並排地放著稱。
請問：哪一個的意見正確？
［答案：第二個人的主張是正確的。彈簧的最大載重量不是由它的長度和螺旋紋的圈數決定的。也不能由它疊起來稱東西，看起來長，可是它最大的載重量仍然是1.5公斤。
按照第二個人的主張，每個彈簧能載重1.5公斤，兩個彈簧並排放這就可以承受3公斤。］
奇特的墓誌銘
在大數學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米德生前最為欣賞的一個定理。
在數學家魯道夫的墓碑上，則鐫刻著圓周率π的35位數值。這個數值被叫做“魯道夫數”，它是魯道夫畢生心血的結晶。
大數學家高斯曾經表示，在他去世以後，希望人們在他的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形的尺規作圖後，才決定獻身於數學研究的……
不過，最奇特的墓誌銘，卻是屬於古希臘數學家丟番圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數學題：
過路人，這座石墓裏安葬著丟番圖。他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是青少年時期。又過了生命的1/7他才結婚。婚後5年有一個孩子，孩子活到他父親一半的年紀便死去了。孩子死後，丟番圖在深深的悲哀中又活了4年，也結束了塵世生涯。過路人，你知道丟番圖的年紀嗎?”
丟番圖的年紀究竟有多大呢?
設他活了X歲，依題意有：
16X+112X+17X+5+12X+4=X。
這樣，要知道丟番圖的年紀，隻要解出這個方程就行了。
這段墓誌銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人們，不要忘記了丟番圖獻身的事業。
在丟番圖之前，古希臘數學家習慣用幾何的觀點看待遇到的所有數學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一個大代數學家，喜歡用代數的方法來解決問題。現代解方程的基本步驟，如移項、合並同類項、方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方程，發明了許多巧妙的方法，被西方數學家譽為這門數學分支的開山鼻祖。
丟番圖也是古希臘最後一個大數學家，遺憾的是，關於他的生平，後人幾乎一無所知，即不知道他生於何地，也不知道他卒於何時，幸虧有了這段奇特的墓誌銘，才知道他曾享有84歲的高齡。
推算科學家年齡
一位科學家在幾年前逝世，逝世時的年齡是他出生年數的129。如果這位科學家在1955年主持過一次學術討論會，求他當時的年齡。
分析：要想求出這位科學家在1955年時的年齡，首先必須知道他在哪一年出生。而這個出生年數應滿足條件：是29的倍數；小於1955。把小於1955的29的倍數羅列出來：
1943，1914，1885，1856……
在這些數中，哪一個是這位科學家的出生年數呢?如果是1885，那麼科學家在1955年的年齡就是：1955-1885=70，但他逝世時的年齡卻是1885÷29＝65，這顯然是個矛盾。即科學家不能在1885年出生；同樣的方法可以說明在比1885年更早的年數裏出生也不行。現在，還剩下1943和1914兩個數。如果在1943年出生，不難知道學者在1955年的年齡為12歲，這是不符合事實的，因為科學家不可能的情況都排除，就可以知道出生年數為1914年，1955年時他的年齡為41歲。解決這個問題的基本思路就是“篩”法，其中也運用了歸謬法的思路。
誰的算法對
伊格納托夫是前蘇聯著名的科普作家，他一生寫下了許多題材新穎、內容豐富、形式活潑的作品，伐木人的爭論是其作品中的一道題。
尼基塔和巴維爾是兩個伐木人。有一天，倆人幹完活正準備吃飯，迎麵走來一個獵人：“你們好哪，兄弟們!我在森林裏迷了路，離村莊又遠，餓得心慌，請分給我一些吃的吧!”
“行啊，行啊，你坐下吧!尼基塔有4張餅，我有7張餅，咱們在一起湊合著吃吧”巴維爾熱情地說。尼基塔也隨聲附和著。於是三人平均分吃了11張餅。吃過飯，獵人摸出11個戈比，說道：“請別見怪，我身上隻有這些錢了，你倆商量著分吧!”
獵人走後，兩個伐木人爭論起來。尼基塔說：“我看這錢應該平分!”巴維爾分駁說：“11張餅的錢是11個戈比。正好是1張餅1個戈比，你應得4個，我應得7個!”
他們倆的算法，誰的對呢?顯然尼基塔的算法是錯的，兩人帶的餅的數目不同，當然分得的錢也應不同。再看巴維爾的算法：11張餅，11個戈比，每張餅1個戈比，看起來非常合理，如果問題是“獵人用11個戈比買了11張餅”，那麼巴維爾的算法的確是正確的。可問題是“3個人平均分吃了11張餅，並且尼基塔和巴維爾帶的餅又不一樣多”，實際上，11張餅平均分給3個人，就是說，每人吃了113張餅。尼基塔有4張餅，自己吃了113張餅，他給獵人吃了4-113=13張。而巴維爾也吃了113張，他分給獵人7-113=103張。
獵人吃了113張餅，付給11個戈比，也就是說，每次13張餅獵人付給一個戈比。他吃了尼基塔13張餅，故尼基塔應得1戈比，他吃了巴維爾103張餅，巴維爾應得10戈比，兩個人的算法都錯了。
水位會升高嗎
有一艘玩具小艇，載著幾顆鐵彈放在一隻盛滿水的大臉盆裏。當把小艇上的鐵彈全部投進水裏之後，請問水位是升高、降低，還是保持原狀不變？
請你試一試，然後再想一想，為什麼？
［答案：試驗結果水位降低了。根據“阿基米德原理”，任何物體浮在水麵上，將排去和該物體同重力的水容量。如果將物體沉入水內，則所排去的水容量，僅和該物體的體積相等。因為鐵彈比較重，放在艇內，可以排去很多水，可使水位增高很多。如果投入水內，因為它體積小，排去的水就有限，所以水位比放在艇內時要低得多。］
三等分角問題
隻準用直尺和圓規，你能將一個任意的角兩等分嗎？
這是一個很簡單的幾何作圖題。幾千年前，數學家們就已掌握了它的作圖方法。
在紙上任意畫一個角，以這個角的頂點O為圓心，任意選一個長度為半徑畫弧，找出這段弧與兩條邊的交點A、B。
然後，分別以A點和B點為圓心，以同一個半徑畫弧，隻要選用的半徑比A、B之間的距離的一半還大些，這兩段弧就會相交。找出這兩段弧的交點C。
最後，用直尺將O點與C點連接起來。不難驗證，直線OC已經將這個任意角分成了相等的兩部分。
顯然，采用同樣的方法，是不難將一個任意角4等分、8等分或者16等分的；隻要有耐心，將一個任意角512等分或者1024等分，也都不會是一件太難的事情。
那麼，隻準用直尺與圓規，能不能將一個任意角3等分呢？
這個題目看上去也很容易，似乎與兩等分角問題差不多。所以，在2000多年前，當古希臘人見到這個題目時，有不少人甚至不假思索就拿起了直尺與圓規……
一天過去了，一年過去了，人們磨禿了無數支筆，始終也畫不出一個符合題意的圖形來！
由2等分到3等分，難道僅僅由於這麼一點小小的變化，一道平淡無奇的幾何作圖題，就變成了一座高深莫測的數學迷宮？
這個題目吸引了許多數學家。公元前3世紀時，古希臘最偉大的數學家阿基米德，也曾拿起直尺與圓規，用這個題目測試過自己的智力。
阿基米德想出了一個辦法。他預先在直尺上記一點P，令直尺的一個端點為C。對於任意畫的一角，他以這個角的頂點O為圓心，以CP的長度為半徑畫半個圓，使這半個圓與角的兩條邊相交於A、B兩點。
然後，阿基米德移動直尺，使C點在AO的延長線上移動，使p點在圓周上移動。當直尺正好通過B點時停止移動，將C、P、B三點連接起來。
接下來，阿基米德將直尺沿直線CPB平行移動，使C點正好移動到O點，作直線OD。